2020年高考理科数学大一轮提分讲义第9章 第10节 圆锥曲线中的范围、最值问题

1、 第十节 圆锥曲线中的范围、最值问题求参数范围的 4 种方法(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围(4)数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解3 2的面积的取值范围222所以 (6km) 4(23k21322221 3333.解得 k 或 kb0)过2a2 b22 3点1， ，且椭圆 c 关于直线 xc 对称的图形过坐标原点2(1)求椭圆 c 的方程；12(2)过点 ，0作直线 l 与椭圆 c 交于 e，f 两点，线段 ef 的中点为 m，点a 是椭圆 c 的右顶点，求直线 ma 的斜率 k 的取值范围319 1，解 (1)椭圆 c 过点1，

2、，24a2b2椭圆 c 关于直线 xc 对称的图形过坐标原点，34a2c，a b ca ，2222，b2由得 a 4，b 3，22x2 y2椭圆 c 的方程为 1.4 31212(2)依题意，直线 l 过点 ，0且斜率不为零，故可设其方程为 xmy .12xmy，由方程组消去 x，并整理得x2 y24 3 14)y 12my450.4(3m22设 e(x，y )，f(x ，y )，m(x ，y )1122003m4，3m2yy 12y y23m1y04），22（3m2122y0mxmy 4，k4.003m2x 2 4m20当 m0 时，k01当 m0 时，k，4m4m3 当 m0 时，4m m

3、1 1 ， .8 81.如图，已知点 p 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛2(1)设 ab 中点为 m，证明：pm 垂直于 y 轴；y24(2)若 p 是半椭圆 x 1(x0)上的动点，求pab 面积2的取值范围1414解 (1)证明：设 p(x ，y )，a ， ，b ， .y2 yy2 y001122因为 pa，pb 的中点在抛物线上，14y2x0yy 24所以 y，y 为方程0，2122即 y 2y0y8x y 0 的两个不同的实根2200所以 yy 2y ，120所以 pm 垂直于 y 轴4 y 2y ，y120(2)由(1)可知 8 ，y yx y21 2001834所以|pm

4、|(y y )x y 3x ，22212000|y y |2 2（y 4x ）.21200所以pab 的面积( )13 2432|pm| |y y |y24x .spab 21200y2因为 x401(1x0b0)的焦距为 4，且过点( 2，2)a2 b2(1)求椭圆 c 的方程； (2)过椭圆焦点的直线 l 与椭圆 c 分别交于点 e，f，求oeof的取值范围y2 x2 1(ab0)的焦距是 4，所以焦点坐标是(0，2)，解 (1)椭圆 c：a2 b2(0，2)，2a 20 2（22）24 2，所以 a2 2，b2，y2 x2即椭圆 c 的方程是 1.8 4(2)若直线 l 垂直于 x 轴，

5、 则点 e(0，2 2)，f(0，2 2)，oe 8.of若直线 l 不垂直于 x 轴，设 l 的方程为 ykx2，点 e(x，y )，f(x ，y )，11225 将直线 l的方程代入椭圆 c 的方程得到：4kx40，4k121 22x y y (1k )x x 2k(x x )421 21 21 21210，所以8oe of 2，的取值范围是8，222(1)求椭圆 c 的离心率；求线段 ab 长度的最小值解 (1)由题意，椭圆 c 的标准方程为2所以 a 4，b 2，从而 c a b 2.22222 c2.故椭圆 c 的离心率 e a 2(2)设点 a，b 的坐标分别为(t，2)，(x ，

6、y )，其中 x 0.000 因为 oaob，所以oa0，ob2y2y 0，解得 t 0.x0即 tx00又 x2y 4，22002y 2所以|ab| (x0t)2(yx0 (y2)22) 2200 x004x 2（4x ）4y22204x00 4xy 2222x200 x2000x2 8 4(0x04)22 x200x2 8因为 0x2 x24(0b0)的离心率为 ，f 是椭a2 b2圆 e 的右焦点，直线 af 的斜率为2 3，o 为坐标原点3(1)求 e 的方程；(2)设过点 a 的动直线 l 与 e 相交于 p，q 两点，当opq 的面积最大时，求 l 的方程2 2 3解 (1)设 f

7、(c，0)，由条件知，c，得 c 3.3c3又 a 2a c 1.2 2，所以 a2，b2x24故 e 的方程为 y 1.2(2)当 lx 轴时不合题意，故设 l：ykx2，p(x，y )，q(x ，y )11227 x24将 ykx2 代入 y 1，2得(14k 16kx120.)x22当 16(4k 3)0，28k2 4k2334即 k 时，x1，2.24k211 4k 34 k22从而|pq| k 1|xx |.2124k212又点 o 到直线 pq 的距离 d.k214 4k231所以opq 的面积 sd|pq|4t.opq 24k214设 4k 3t，则 t0，sopq41.2t24

8、tt72当且仅当 t2，即 k 时等号成立，且满足 0.所以当opq 的面积最大时，l 的方程为 2y 7x40.利用函数性质求最值在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 c：x 2py(p0)的焦点为 f，点232a 在 c 上，若|ao|af| .(1)求 c 的方程；(2)设直线 l 与 c 交于 p，q，若线段 pq 的中点的纵坐标为 1，求opq 的面积的最大值32p p 34 2 2 解 (1)点 a 在 c 上，|ao|af| ，p2，c 的方程为x24y.(2)设直线方程为 ykxb，代入抛物线方程，可得 x24kx4b0，8 设 p(x，y )，q(x ，y )，则 x x 4

9、k，x x 4b，1122121 2y2b，y 4k212线段 pq 的中点的纵坐标为 1，2k b1，212opq 的面积 s16bb 22b 2 b b3b 16k22(0b1)，设 yb b2b0，故函数单调递增，2，y3b23b1 时，opq 的面积的最大值为 2.若题目中的条件和要求的结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，然后根据其结构特征，构建函数模型求最值，一般情况下，可以构建二次型函数、双曲线型函数、多项式型函数等教师备选例题212ss2(2)设 a(x ，y )，b(x ，y )，c(x ，y )，重心 g(x ，y )，令 y 2t，t0，aabbccgga2a

10、由于直线 ab 过 f，故直线 ab 的方程为 xt2y1，y40，22t9 2ty 4，即 y ，b( ， )，ttbb13 (x x x )，y (y y y )，重心在 x 轴上，2t0，tgabcgabcc 2 2 2t24tt直线 ac 的方程为 y2t2t(xt )，得 q(t2212sas 122t42|424t22sm1s2m2123，此时 g(2,0)ss2已知抛物线 y 4x 的焦点为 f，过点 f 的直线交2(2)设点 m 在线段 ab 上运动，原点 o 关于点 m 的对称10 点为 c，求四边形 oacb 面积的最小值解 (1)依题意知 f(1，0)，设直线 ab 的方程为 xmy1.将直线 ab 的方程与抛物线的方程联立，消去 x 得 y 4my40.2设 a(x，y )，b(x ，y )，1122所以 yy 4m，y y 4.121 2因为af2fb，所以 y 2y . 1224联立和，消去 y，y ，得 m .12所以直线 ab 的斜率是2 2