2020年高考数学：正弦定理的常见变形及推广

1、2020 年高考数学：正弦定理的常见变形及推广（1）已知 abc 中， a = 60， a = 3 ,则a + b + c sina + sinb + sinc=a 1c3（2）已知 abc 中， b = 45 a 2 3c 3，b =2 3b2d无法求解，则其外接圆半径等于b 6d无法求解（3）在 abc 中，若a : b : c =123，则 abca123 b321c1 3 2【参考答案】（1）b；（2）b；（3）c【试题解析】（1）根据正弦定理的变形，可得d2 3 1a +b +c a= =2 故选 bsin a +sin b +sin c sin ab 2 3（2）根据正弦定理的推广

2、，可得 = =2 6 =2 r ，即 r = 6 ，sin b sin 45故 abc 的外接圆的半径为 6 ，故选 b（3）设 ak，b2k，c3k，由a+b +c180，得 6k180，k30，a30，b60 ，c90，abcsin asin bsin c1 3 2故选 c 【解题必备】正弦定理的常 见变形及推广如下：（1sin a a sin c c sin b b= , = , = , a sin b =b sin a, a sin c =c sin a, b sin c =c sin b sin b b sin a a sin c c）（2）a b c a +b a +c b +c

3、a +b +c= = = = = =sin a sin b sin c sin a +sin b sin a +sin c sin b +sin c sin a +sin b +sin c （3）a : b : c =sin a :sin b :sin cp（4）正弦定理的推广：a b c= = =2 r sin a sin b sin c，其中 r 为 abc 外接圆的半径（5）a b c= = =2 r sin a sin b sin c的两种变形的应用：（边化角）a =2 r sin a, b =2 r sin b , c =2 r sin c；（角化边）sin a =a b c,sin

4、 b = ,sin c =2 r 2r 2r熟记正弦定理的变形，可使解题过程更加简捷，从而达 到事半功倍的效果1abc中，角 a ， b ，c的对边分别为 a ，b ， c ，若a =60, a =3 ，abc的外接圆的面积为acp2pbd2 p34 p2在 abc 中，角 a ， b ，c 的对边分别为 a ，b ，c ，若 abc 的外接圆的半径是 3 ，a =3，则 a =a30b60c60或120d30或1503在 abc 中，角 a ， b ， c 的对边分别为a， b ， c ，若sina cosb cosc= =a b c，则 abc 中最长的边是aabbccd b或c4已知 abc 的外接圆的半径 r =3 3 cm，a60，则 bc 边的长为_ cm1【答案】c【解析】由asina=2 r得 r =1 ，所以abc的外接圆的面积为 ，故选 c2【答案】da【解析】根据正弦定理 ，得a a 3 1 =2 r ， sina = = =sina 2r 6 2，0a180， a =30或a =150故选 d3【答案】a【解析】由正弦定理可知sinb =cosb，sinc =cosc，所以 b =c =45 ，故 a =90