2020高考解答题突破(六) 概率与统计

1、 2020 高考解答题突破(六) 概率与统计突破“两辨”辨析、辨型思维流程技法点拨概率与统计问题的求解关键是辨别它的模型，只要找到模型，问题便迎刃而解而概率模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程，常常因题设条件理解不准，某个概念认识不清而误入歧途另外，还需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系，注意放回和不放回试验的区别，合理划分复合事件考向一 古典概型的概率认真阅读题目，收集各种信息，理解题意判断试验为古典概型后用字母表示所求事件，利用列举法求出总的基本事件个数及所求事件中包含的基本事件个数，代入公式求解 列举基本事件并确定总数确定所求事件个数

2、代入古典概型公式求概率解题指导解 (1)由题意知，(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共 27 种古典概型概率问题的关注点求古典概型的概率，关键利用列举法求解基本事件数，求解时要

3、 避免“重”和“漏”要做到正确理解题意，明确一些常见的关键词，如“至多”“至少”“只有”等，还要熟练使用常用的列举方法，如表格法，树图法等只有有规律地列举基本事件，才能避免“重”和“漏”对点训练1某校拟从高二年级 2 名文科生和 4 名理科生中选出 4 名同学代表学校参加知识竞赛，其中每个人被选中的可能性均相等(1)求被选中的 4 名同学中恰有 2 名文科生的概率；(2)求被选中的 4 名同学中至少有 1 名文科生的概率解 将 2 名文科生和 4 名理科生依次编号为 1,2,3,4,5,6，从 2名文科生和 4 名理科生中选出 4 名同学记为(a，b，c，d)，其结果有(1,2,3,4)，(1

4、,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，(3,4,5,6)，共 15 种(1)被选中的 4 名同学中恰有 2 名文科生的结果有 (1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，共 6 种记“被选中的 4 名同学中恰有 2 名文科生”为事件 a，6 2则 p(a) .15 5(2)记“被选中的 4 名同学中至少有

5、 1 名文科生”为事件 b，则 事件 b 包含有 1 名文科生或者 2 名文科生这两种情况其对立事件 b 为“被选中的 4 名同学中没有文科生”只有一种结果(3,4,5,6)1因为 p( b ) ，151 14所以 p(b)1p( b )1 .15 15考向二 线性回归分析与独立性检验 1在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值2独立性检验的关键是根据 22 列联表准确计算出 k ，再做2判断理解图 计算公式中 确定回 作出解题指导表信息 的相关数据 归方程 预测解 (1)从特征量 y 的

6、 5 次试验数据中随机抽取两个数据的情况有601,605，601,597，601,599，601,598，605,597，605,599，605,598，597,599，597,598，599,598共 10 种；其中两个数据都不大于 600 的情况有597,599，597,598，599,598，共 3种记“至少有一个大于 600”为事件 a， 故特征量 x 为 570 时，特征量 y 的估计值为 604.2.线性回归分析与独立性检验问题的关注点(1)由回归方程分析得出的数据只是预测值不是精确值，此类问题的易错点是方程中b的计算，代入公式计算要细心(2)独立性检验是指利用 22 列联表，通过

7、计算随机变量 k 来确2定在多大程度上两个分类变量有关系的方法对点训练2(2018东北三校联考)为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性 是否达标有关，某大学实验室随机抽取了 60 个样本，得到了相关数据如下表：(1)根据表中数据，求出 s，t 的值，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过 1%的前提下认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？(2)若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了 6 个，现从这 6 个样本中任取 2 个，则取出的 2 个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？参考数据：0.050 0.025 0.0100.00120k2.706 3.841 5.024 6

8、.635 10.8280n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)参考公式：k .2解 (1)s301515，t30255.60(2515155)2由已知数据可求得 k 7.56.635.230304020因此，能在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关 (2)用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了 62530个，其中应抽取“混凝土耐久性达标”的个数为 65.“混凝土耐久性不达标”的个数为 1.“混凝土耐久性达标”的记为 a ，a ，a ，a ，a ，“混凝土耐12345久性不达标”的记为 b.从这 6 个样本中任取 2 个，共有 15 种可能

9、设“取出的 2 个样本混凝土耐久性都达标”为事件 a，它的对立事件 a 为“取出的 2 个样本至少有一个混凝土耐久性不达标”，包 含(a ，b)，(a ，b)，(a ，b)，(a ，b)，(a ，b)，共 5 种可能，所以123455 215 3p(a)1p( a )1 .故取出的 2 个样本混凝土耐久性都达标2的概率是 .3专题跟踪训练(三十)1某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团825未参加演讲社团30(1)从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8

10、名同学中，有 5 名男同学 a ，a ，a ，a ，a 3 名女同学 b ，b ，b .现从这 5 名男同学和12345,1233 名女同学中各随机选 1 人，求 a 被选中且 b 未被选中的概率11解 (1)记“该同学至少参加上述一个社团为事件 a”， 825 1 .则 p(a)45313所以该同学至少参加上述一个社团的概率为 .(2)从 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人的基本事件有：(a ，1b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，1121321222331(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，

11、b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，3233414243515b )，(a ，b )共 15 个253根据题意，这些基本事件的出现是等可能的其中 a 被选中且 b 未被选中的基本事件有(a ，b )，(a ，b )共1112132 个，2所以 a 被选中且 b 未被选中的概率为 p .15112(2018安徽合肥模拟)某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的 100 人的成绩进行了统计，绘制的频率分布直方图如图所示规定 80 分以上者晋级成功，否则晋级失败(满分为 100 分)(1)求图中 a 的值；(2)估计该次考试的平均分 x (同一组中的数据用该组的区间中点值代表)；(3)

12、根据已知条件完成下面 22 列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关晋级成功男女合计 n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)参考公式：k ，其中 nabcd2p(k k) 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0252k0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024解 (1)由频率分布直方图中各小长方形面积总和为 1，得(2a0.0200.0300.040)101，解得 a0.005.(2)由频率分布直方图知各小组的中点值依次是 55,65,75,85,95，对应的频率分布为 0.05,0.30,0.40,0.20,0.05，

13、则估计该次考试的平均分为 x 550.05650.3750.4850.2950.0574(分)(3)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为 0.20.050.25，故晋级成功的人数为 1000.2525，填写 22 列联表如下：晋级成功男女344175合计25100n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)k 2100(1641349)2257550502.6132.072，所以有 85%的把握认为“晋级成功”与性别有关 3某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情

14、况，得到如下统计表：出险次数频数345605030302010(1)记 a 为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”求p(a)的估计值；(2)记 b 为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”求 p(b)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值解 (1)事件 a 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.6050由所给数据知，一年内出险次数小于 2 的频率为0.55，200故 p(a)的估计值为 0.55.(2)事件 b 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由所给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的概率为30302000.3，故 p(b)的

15、估计值为 0.3.(3)由所给数据得保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05调查的 200 名续保人的平均保费为085a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.1925a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.1925a.4已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关为了确定某一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的时段控制温度 x(单位：)对某种鸡的时段产蛋量 y(单位：t)和时段投入成本 z(单位：万元)的影响为此，该企业选取了 7 个鸡舍的时段控制温度 x 和产蛋

16、量 y (iii1,2，7，)的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图及一些统计量的值7777(x iiiixykx )k )x )(y y ) x )(k k )22ii17.40 82.30 3.60140.009.702935.1035.00177其中 k lny ， k k .iiii 1(1)根据散点图判断，ybxa 与 yc ec x(e 为自然对数的底数)12哪一个适宜作为该种鸡的时段产蛋量 y 关于鸡舍的时段控制温度 x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断及表中的数据，建立 y 关于 x 的回归方程；(3)已知时段投入成本 z 与 x，

17、y 的关系为 ze y0.1x10，当2.5鸡舍的时段控制温度为 28 时，鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值是多少？附：对于一组具有线性相关关系的数据(u ，v )，(u ，v )，1122(u ，v )，其回归直线 vu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为nnn(u u )(v v )iii 1 ， v u .n(u u )2ii 1参考数据：eeee320.090.080.472.721096.63解 (1)由题中散点图可以判断，yc ec x 适宜作为该种鸡的时12段产蛋量 y 关于鸡舍的时段控制温度 x 的回归方程类型(2)令 klny，建立 k 关于 x 的线性回归方程 kdxc(dc ，c27(x x )(k k )ii35.00