方差分析思考与练习带答案讲解

1、第九章 方差分析 第九章 方差分析 【思考与练习】 一、思考题 1. 方差分析的基本思想及其应用条件是什么？ 2. 在完全随机设计方差分析中 SS总、SS组间、 SS组内 各表示什么含义？ 3. 什么是交互效应？请举例说明。 4. 重复测量资料具有何种特点？ 5. 为什么总的方差分析的结果为拒绝原假设时，若想进一步了解两两之间的差 别需要进行多重比较？ 二、最佳选择题 1. 方差分析的基本思想为 A. 组间均方大于组内均方 B. 误差均方必然小于组间均方 C. 总变异及其自由度按设计可以分解成几种不同来源 D. 组内方差显著大于组间方差时，该因素对所考察指标的影响显著 E. 组间方差显著大于组

2、内方差时，该因素对所考察指标的影响显著 9-1 第九章 方差分析 3. 完全随机设计的方差分析中，下列式子正确的是 4. 总的方差分析结果有 P0.05，则结论应为 A. 各样本均数全相等 B. 各总体均数全相等 C. 各样本均数不全相等 D. 各总体均数全不相等 E. 至少有两个总体均数不等 5. 对有 k 个处理组，b 个随机区组的资料进行双因素方差分析， 其误差的自由度 为 A. kb k b B. kb k b 1 C. kb k b 2 D. kb k b 1 E. kb k b 2 6. 2 2析因设计资料的方差分析中，总变异可分解为 A. MS总 MSB MSA B. MS总 M

3、SB MS误差 C. SS总 SSB SS误差 D. SS总 SSB SSA SS误差 E. SS总 SSB SSA SSAB SS误差 7. 观察 6 只狗服药后不同时间点 （2小时、 4 小时、 8小时和 24小时）血药浓度的 变化，本试验应选用的统计分析方法是 A. 析因设计的方差分析 9-2 第九章 方差分析 B. 随机区组设计的方差分析 C. 完全随机设计的方差分析 D. 重复测量设计的方差分析 E. 两阶段交叉设计的方差分析 8. 某研究者在 4 种不同温度下分别独立地重复 10 次试验，共测得某定量指标的 数据 40 个，若采用完全随机设计方差分析进行统计处理，其组间自由度是 A

4、. 39 B. 36 C. 26 D. 9 E. 3 9. 采用单因素方差分析比较五个总体均数得 P 0.05 ，若需进一步了解其中一个 对照组和其它四个试验组总体均数有无差异，可选用的检验方法是 A. Z 检验 B. t 检验 C. Dunnettt 检验 D. SNKq 检验 E. Levene 检验 三、综合分析题 1. 某医生研究不同方案治疗缺铁性贫血的效果，将 36 名缺铁性贫血患者随机等 分为 3组，分别给予一般疗法、一般疗法 +药物 A低剂量，一般疗法 +药物 A 高 剂量三种处理，测量一个月后患者红细胞的升高数 (102/L) ，结果如表 9-1 所示。 问三种治疗方案有无差异

5、？ 表 9-1 三种方案治疗一个月后缺铁性贫血患者红细胞的升高数(102/L) 编号 一般疗法 一般疗法 +A1 一般疗法 +A2 1 0.81 1.32 2.35 2 0.75 1.41 2.50 3 0.74 1.35 2.43 4 0.86 1.38 2.36 5 0.82 1.40 2.44 9-3 第九章 方差分析 6 0.87 1.33 2.46 7 0.75 1.43 2.40 8 0.74 1.38 2.43 9 0.72 1.40 2.21 10 0.82 1.40 2.45 11 0.80 1.34 2.38 12 0.75 1.46 2.40 2. 在药物敏感试验中，欲比

6、较三种弥散法的抑菌效果，每种方法均采用三种药 物，观察其抑菌效果，以抑菌环的直径为观察指标，结果如表 9-2 所示，试比较 三种方法的抑菌效果。 表 9-2 三种药物在不同弥散法下的抑菌效果 (mm) 药物 弥散法 纸片 挖洞 钢圈 27.5 24.3 20.0 黄芪 27.6 24.6 21.0 26.9 25.0 20.6 27.3 27.7 20.8 20.9 24.6 19.1 大黄 21.2 24.7 19.3 20.5 23.9 18.7 21.3 24.8 18.5 27.4 22.0 29.6 青霉素 27.6 21.7 30.2 26.9 21.8 29.5 26.7 22.

7、3 30.4 3. 某试验研究饮食疗法和药物疗法降低高胆固醇血症患者胆固醇的效果有无差 别，随机选取 14 名高胆固醇血症患者，随机等分为两组，分别采用饮食疗法和 药物疗法治疗一个疗程，测量试验前后患者血胆固醇含量，结果如表9-3 所示， 请问两种疗法降胆固醇效果有无差异。 表 9-3 不同治疗方法下胆固醇变化情况 (mmol/L) 编号 饮食治疗 药物治疗 试验前 试验后 试验前 试验后 1 6.11 6.00 6.40 6.35 2 7.59 7.28 7.00 7.10 3 6.42 6.30 6.53 6.41 9-4 第九章 方差分析 4 6.94 6.64 7.31 6.83 5

8、9.17 8.42 6.81 6.73 6 7.61 7.22 8.16 7.65 7 6.60 6.65 6.98 6.52 4. 为研究某中学初一年级、初二年级和初三年级学生周日锻炼时间情况，从这 三个年级中各随机抽取 20名学生，调查得到学生周日锻炼时间如下表 9-4 所示 问这三个年级学生周日锻炼时间是否不同？ 表 9-4 初中不同年级学生的锻炼时间 （分 ） 一年级 二年级 三年级 37.856 59.164 48.778 70.793 36.650 51.057 86.928 38.511 47.609 58.785 48.945 48.428 73.923 29.367 42.8

9、14 61.435 41.988 52.303 64.130 69.419 54.327 67.169 33.109 35.591 49.099 38.872 55.013 62.728 53.401 36.084 52.534 62.814 21.307 45.230 38.454 46.419 40.400 32.802 41.836 44.399 37.683 37.481 33.091 48.944 35.781 63.469 48.869 31.354 41.704 41.920 45.190 62.268 46.859 40.924 58.209 65.067 38.877 63.

10、319 38.403 27.259 经数据分析结果见下表： 表 9-5 三个年级之间的 t 检验结果 组别 t P 一年级和二年级 2.85 0.0071 一年级和三年级 4.09 0.0002 二年级和三年级 1.12 0.2710 9-5 第九章 方差分析 问： (1) 该资料采用的是何种统计分析方法？ (2) 所使用的统计分析方法是否正确？为什么？ (3) 若不正确，可以采用何种正确的统计分析方法。请作分析？ 【习题解析】 一、思考题 1. 方差分析的基本思想是把全部观察值的总变异按设计和需要分解成两个或多 个组成部分， 然后将各部分的变异与随机误差进行比较， 来判断总体均数间的差 别是

11、否具有统计学意义。应用条件： 各样本是相互独立的随机样本， 且服从正态 分布，各样本方差齐性。 2. SS总 是各观测值与总均值之差的平方和， 即总离均差平方和， 表示总变异的大 小； SS组间 表示组间变异，指各处理组均值大小的不同，是由处理因素和随机误 差造成的； SS组内 表示组内变异，指同一处理组内部各观察值之间的变异，是由 随机误差造成的。 3. 交互效应是指某一因素的效应随另一因素不同水平的变化而变化，称这两个 因素之间存在交互效应。例如：某实验研究 A 、B 两种药物在不同剂量情况下对 某病的治疗效果，药物 A 在不同剂量时， B 药的效应不同，或者药物 B 在不同 剂量时， A

12、 药的效应不同，则 A 、B 两药间存在交互效应。 4. 重复测量资料中的处理因素在受试者间是随机分配的，受试者内的因素即时 间因素是固定的，不能随机分配；重复测量资料各受试者内的数据彼此不独立， 具有相关性， 后一个时间点的数据可能受到前面数据的影响， 而且时间点离得越 近的数据相关性越高。 5. 方差分析中备择假设是多个总体均数不等或不全相等，拒绝原假设只说明多 个总体均数总的来说差别有统计学意义， 并不能说明任意两总体均数之间均有差 别。因此，若希望进一步了解两两间的差别，需进行多重比较。 二、最佳选择题 1. C 2. C 3. A 4. E 5. D 6. E 7. D 8. E 9

13、. C 9-6 第九章 方差分析 三、综合分析题 1. 解：本题采用完全随机设计的方差分析 表 9-6 三种方案治疗一 个月后缺铁性贫血患者红细胞的升高数 (102/L) 一般疗法 一般疗法 +A1 一般疗法 +A2 合计 0.81 1.32 2.35 0.75 1.41 2.50 0.74 1.35 2.43 0.86 1.38 2.36 0.82 1.40 2.44 X 0.87 1.33 2.46 0.75 1.43 2.40 0.74 1.38 2.43 0.72 1.40 2.21 0.82 1.40 2.45 0.80 1.34 2.38 0.75 1.46 2.40 ni 12

14、12 12 36 ( n) Xi 9.43 16.60 28.81 54.84( X ) Xi 0.7858 1.3833 2.4008 Xi2 7.4385 22.9828 69.2281 2 99.6494( X 2) (1) 方差分析 1) 建立检验假设，确定检验水准 H0 ： 1 2 3，即三种方案治疗后缺铁性贫血患者红细胞升高数相同 H1： 1、 2、 3 不全相同，即三种方案治疗后缺铁性贫血患者红细胞升高 数不全相同 =0.05 2) 计算检验统计量 C ( X)2 /N (54.84) 2 / 36=83.5396 22 SS总(X X)2X2 C 99.6494-83.5396

15、=16.1098 总 N 1 3613 5 2 28.812 12 ) 83.5396 16.0022 SS组间 ni(Xi X)2=(Xi )2niC 22 (9.432 16.602 ( 12 12 9-7 第九章 方差分析 组间 k 1 3 1 2 SS组内SS总 SS组间 16.1098 16.0022 0.1076 组内 N k 33 MS组间SS组间 /v组间 F 组间 组间 组间 = 2452.7216 MS组内SS组内 /v组内 方差分析结果见表 9-7 表 9-7 完全随机资料的方差分析表 变异来源 SS MS F P 总变异 16.1098 35 组间变异 16.0022

16、2 8.0011 2452.7216 0.01 组内变异 0.1076 33 0.0033 3) 确定 P 值，作出统计推断 查F 界值表(附表 4)得 P0.01，按 =0.05水准，拒绝 H0 ，接受H1，差别有 统计学意义，可以认为三种不同方案治疗后患者红细胞升高数的总体均数不全相 同。 (2) 用 Dunnett-t 法进行多重比较 1) 建立检验假设，确定检验水准 H 0 ：任一实验组与对照组的总体均数相同 H1：任一实验组与对照组的总体均数不同 0.05 2) 计算检验统计量 MSe 0.0033 n1 n 2 n 3 12 SXT XC MSe( 11 ) 0.0033 ( 1

17、1 ) 0.02 nTnC 表 9-8 多个样本均数的 Dunnett- t 检验计算表 对比组 (1) 均数差值 (2) 标准误 tD (3) (4) Dunnett- t 界值 般疗法与一般疗法 +A1 0.60 0.02 30 2.32 0.05 2.32 0.05 般疗法与一般疗法 +A2 1.62 0.02 81 3) 确定 P 值，作出统计推断 9-8 第九章 方差分析 将表 9-8 中tD 取绝对值，并以计算 MSe时的自由度 e 33和实验组数 a=k- 1=2（不含对照组 ）查 Dunnett-t 界值表得 P值，列于表中。按 =0.05 水准， 一般疗法 +A1 与一般疗法

18、相比，疗效差别有统计学意义，可以认为一般疗法 +A1 与一般疗法治疗缺铁性贫血疗效不同。 同理，可以认为一般疗法 +A2 与一般疗法 治疗缺铁性贫血疗效不同 SPSS操作 数据录入： 打开 SPSS Data Editor窗口，点击 Variable View 标签，定义要输入的变量， group 表示组别 （1 为一般疗法， 2 为一般疗法 +药物 A 低剂量， 3 为一般疗法 + 药物 A 高剂量），x表示患者红细胞的升高数 （102/L）；再点击 Data View 标签，录 入数据（见图 9-1，图 9-2）。 图 9-1 Variable View 窗口内定义要输入的变量 group

19、 和 x 图 9-2 Data View 窗口内录入数据 分析： Analyze Compare Means one-Way ANOV A Dependent List 框： x 9-9 第九章 方差分析 Post Hoc Factor 框： group Equal Variances Assumed：Dunnett： Control Category ： first Continue Option. Statistics ：Homogeneity of Variances test Continue OK 输出结果 Multiple Comparisons Test of Homogenei

20、ty of Variances 红细胞升高数 (102/L) Levene Statistic df1 df2 Sig. .774 2 33 .469 ANOVA 红细胞升高数 (102/L) Sum of Squares df Mean Square F Sig. Between Groups 16.002 2 8.001 2452.722 .000 Within Groups .108 33 .003 Total 16.110 35 (I) G (J) G Mean Difference (I-J) Std. Error Sig. 95% Confidence Interval Lower

21、 Bound Upper Bound 2 1 .59750(*) .02332 .000 .5436 .6514 3 1 1.61500(*) .02332 .000 1.5611 1.6689 2 Dependent Variable: 红细胞升高数 (102/L) a Dunnett t (2-sided) a * The mean difference is significant at the .05 level. a Dunnett t-tests treat one group as a control, and compare all other groups against i

22、t. 2. 解：本题采用析因设计的方差分析。 表 9-9 九种不同处理情况下抑菌环的直径 (mm) 纸片弥散法 a1 黄芪 大黄 青霉素 挖洞弥散法 a2 黄芪 大黄 青霉素 钢圈弥散法 a3 黄芪 大黄 青霉素 合 计 b1b2b3b1b2b3 27.520.927.424.324.622.0 b1 20.0 19.1 29.6 9-10 27.6 21.2 27.6 24.6 24.7 21.7 21.0 19.3 30.2 26.9 20.5 26.9 25.0 23.9 21.8 20.6 18.7 29.5 27.3 21.3 26.7 27.7 24.8 22.3 20.8 18.

23、5 30.4 ni 4 4 4 4 4 4 4 4 4 36 Xi 109.3 83.9 108.6 101.6 98.0 87.8 82.4 75.6 119.7 866.9 nA 12 12 12 nB 12 12 12 XA 301.8 287.4 277.7 XB 293.3 257.5 316.1 第九章 方差分析 (1) 建立检验假设，确定检验水准 因素 A H0 ：三种弥散方法抑菌环直径的总体均数相等 H1：三种弥散方法抑菌环直径的总体均数不全相等 因素 B H0 ：三种药物抑菌环直径的总体均数相等 H1：三种药物抑菌环直径的总体均数不全相等 AB 交互作用 H0 ：不同药物对三

24、种弥散方法的抑菌效果无影响 H1 ：不同药物对三种弥散方法的抑菌效果有影响 =0.05 (2) 计算检验统计量 C ( X)2 / N (866.9)2 /36 20875.4336 SS总X 2 C 21322.83 20875.4336 447.3964 总 N 1 36 1 35 总 SS处理( Xi) ni 109.32 83.92 C= ( + 44 + 119.72 4 )-20875.4336=436.6339 2 SSA( XA)2 nA C (30112.8 处理 k 1 8 22 28172.4 27172.7 ) 20875.4336 24.5072 A A 的水平数 1

25、 2 9-11 第九章 方差分析 MSASSA24.507 12.2536 A2 222 SSB( XB)2 nB C (29132.325172.531162.1 ) 20875.4336 145.4289 B B 的水平数 -1 =2 MSB SSB145.4289 72.7145 SSAB SS处理 SSA SSB 266.6978 AB 处理 A B 4 MSAB SSAB 266.6978 66.6745 AB SS误差SS总 SS处理 10.7625 误差 N k 36 9 27 MS误差 SS误差 10.7625 0.3986 27 FAB MSA 12. 25 3 MS误差 0

26、. 3 98 6 MSB 72.7145 MS误差 0.3986 MSAB 66.6745 182.4247 FB 误差 0. 74 16 167.2717 MS误差0.3986 方差分析结果见表 9-10 表 9-10 析因设计资料的方差分析表 变异来源 SS MS F P 总变异 447.3964 35 处理 436.6339 8 A 24.5072 2 12.2536 30.7416 0.05 B 145.4289 2 72.7145 182.4247 0.05 AB 266.6978 4 66.6745 167.2717 0.05 误差 10.7625 27 0.3986 (3) 确定

27、 P 值，作出统计推断 9-12 第九章 方差分析 根据 ，查F 界值表（附表4）得相应P值。交互作用的 F=167.2717，P0.05， 按 =0.05水准，拒绝 H0，接受 H1 ，差别有统计学意义，可以认为弥散方法和药 物抑菌效果两者之间存在交互作用。 这时，如要分析 A因素或 B因素的单独效应， 应固定在 A 因素的基线水平来分析 B因素的作用，或者固定在 B因素的基线水平来 分析 A因素的作用。 SPSS操作 数据录入： 打开 SPSS Data Editor窗口，点击 Variable View 标签，定义要输入的变量， g1表示三种弥散方法 （1为纸片， 2为挖洞， 3为钢圈）

28、，g2表示三种药物 （1为黄 芪， 2为大黄， 3为青霉素），x表示抑菌效果 （mm）；点击 Data View标签，录入 数据 （见图 9-3，图 9-4）。 图 9-3 Variable View 窗口内定义要输入的变量 g1、 g2 和 x 图 9-4 Data View 窗口内录入数据 9-13 第九章 方差分析 分析： Analyze General Linear Model Univariate Dependent List 框： x Fixed Factor 框： g1、 g2 OK 输出结果 Tests of Betw een-Subjects Effects Dependen

29、t Variable: 抑 菌 效 果 (mm) Source Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. Corrected Model 436.634a 8 54.579 136.924 .000 Intercept 20875.434 1 20875.434 52370.426 .000 g1 24.507 2 12.254 30.741 .000 g2 145.429 2 72.714 182.420 .000 g1 * g2 266.698 4 66.674 167.267 .000 Error 10.763 27 .399 Total

30、 21322.830 36 Corrected Total 447.396 35 a. R Squared = .976 (Adjusted R Squared = .969) 3. 解：本题可采用 t 检验分析， 但最好采用重复测量资料的方差分析。 因重复测 量资料的方差分析计算量较大，故本题不给出笔算结果，仅提供SPSS软件分析 结果。 (1) 建立检验假设，确定检验水准 处理因素 K H0 ：饮食疗法和药物疗法降低胆固醇值的总体均数相同 H1 ：饮食疗法和药物疗法降低胆固醇值的总体均数不相同 时间因素 I H 0 ：试验前后患者胆固醇值的总体均数相同 H1：试验前后患者胆固醇值的总体均数

31、不相同 交互作用 KI H 0 ：时间对两种方法降低胆固醇的效果无影响 H1 ：时间对两种方法降低胆固醇的效果有影响 =0.05 (2) 计算检验统计量 9-14 第九章 方差分析 本例是最简单的重复测量设计， 时间因素只有两个水平， 可以用重复测量的 方差分析进行计算，由于时间点只有两个水平， 可以不考虑球形对称问题。列出 方差分析表见表 9-11： 表 9-11 重复测量资料的方差分析表 变异来源 SS MS F P 总变异 14.197 27 处理 0.168 1 0.168 0.153 0.703 个体间误差 13.196 12 1.100 时间 0.445 1 0.445 13.92

32、1 0.003 处理 时间 0.004 1 0.004 0.122 0.733 个体内误差 0.384 12 0.032 (3) 确定 P 值，作出统计推断 时间因素和治疗方法之间的交互作用， F 值为 0.122， P值为 0.733，按 =0.05 水准，不拒绝 H 0 ，差异无统计学意义，尚不能认为时间和疗法之间存在交互作 用；对于时间因素， F 值为 13.921，P 值为 0.003，P0.05，按 =0.05水准，不拒绝H 0 ， 差异无统计学意义，尚不能认为饮食疗法和药物疗法之间具有差别。 SPSS操作 数据录入： 打开 SPSS Data Editor窗口，点击 Variabl

33、e View 标签，定义要输入的变量， no 表示编号， g 表示分组 (1 为饮食疗法， 2 为药物疗法 )， t1 表示实验前患者胆 固醇的值 (mmol/L) ，t2 表示实验后患者胆固醇的值 (mmol/L) ；击 Data View 标签， 录入数据 (见图 9-5，图 9-6)。 9-15 第九章 方差分析 图 9-5 Variable View 窗口内定义要输入的变量 no、g、 t1 和 t2 图 9-6 Data View 窗口内录入数据 分析： Analyze General Linear Model Repeated Measures Within-Subject Fac

34、tor name ：改为 t Number of Levels ：键入 2 Add Define ： Within-Subjects Variables t ： t1 t2 Between- Subjects Factor s ： g Model ： Custom Within-Subjects Model ： t Between-Subjects Model ： g Continue OK 输出结果 Mauchlys Test of Sphericity(b) 9-16 第九章 方差分析 Measure: MEASURE 1 Within Subjects Effect Mauchlys W

35、 Approx. Chi-Square df Sig. Greenhouse-G eisser Epsilon(a) Huynh-Feldt Lower-bound time 1.000 .000 0 1.000 1.000 1.000 Tests of W ithin-Subjects Effects Measure: ME ASURE 1 Source Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. time Sphericity Assum ed .445 1 .445 13.921 .003 Greenhouse-Geisser .445 1

36、.000 .445 13.921 .003 Huynh-Feldt .445 1.000 .445 13.921 .003 Lower-bound .445 1.000 .445 13.921 .003 time * g Sphericity Assum ed .004 1 .004 .122 .733 Greenhouse-Geisser .004 1.000 .004 .122 .733 Huynh-Feldt .004 1.000 .004 .122 .733 Lower-bound .004 1.000 .004 .122 .733 Error(time) Sphericity Ass

37、um ed .384 12 .032 Greenhouse-Geisser .384 12.000 .032 Huynh-Feldt .384 12.000 .032 Lower-bound .384 12.000 .032 Tests of Betw een-Subjects Effects Measure: MEASURE_1 Transformed Variable: Average Source Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. Intercept 1368.223 1 1368.223 1244.068 .000 g .168

38、 1 .168 .153 .703 Error 13.198 12 1.100 4. (1) 该资料采用的是两独立样本 t 检验作两两比较。 (2) 所使用的统计分析方法错误。欲比较三组均数是否两两不同，用两独立样 本 t 检验作多次比较，会增大犯 I 型错误的概率。 (3) 应当先采用完全随机设计方差分析，若分析结果拒绝 H0，则进一步采用 SNK 法作三组间的两两比较。 完全随机设计方差分析 1) 建立检验假设，确定检验水准 H 0 ：三个年级锻炼时间的总体均数相等 H1：三个年级锻炼时间的总体均数不全相等，即至少有两个总体均数不等 9-17 第九章 方差分析 =0.05 2) 计算检验统计量 C ( X)2 /N (2887.142) 2 / 60=138926.4821 22 SS总(X X)2X2 C 148914.9985-138926.4821=9988.5164 总 N 1 6 0 1 59 1137.4692 20 SS组间ni(Xi X)2= ( Xi )2 ni C 911.241 838.432 ) 138926.4821 243