高一数学集合函 数1-10讲讲义

1、 第一讲 1.1.1集合的含义与表示一知识点精讲1 集合：我们把研究的对象统称为元素（element），把一些元素的总体称为集合(set)。 集合用大写字母表示，如集合 元素与小写字母表示，如元素2.集合中的元素的特性：确定性、互异性与无序性；确定性：集合中的元素必须是确定的。这是判断能否组成集合的一个标准。例：个子高的同学，成绩好的同学，家乡的小河流都不能组成集合互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，因此，同一集合中不应重复出现同一元素；例：中的取值范围是_无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； 如 但数列与数列是两个不同的数列3 元素与集合的关系：属于

2、（）belong to或不属于（）not belong to若a是集合a的元素，记作；若b不是集合a的元素，记作；4集合的表示方法： 列举法、描述法或图示法；列举法： 把集合中的元素一一列举出来，写在花括号内；1，2描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例：区分下列集合的含义：； ； ； 5 集合的分类：有限集：含有有限个元素的集合 无限集：含有无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合，记作。如，或5 常用数集的表示非负整数集（或自然数集），记作

3、n； 正整数集，记作n*或n+；整数集，记作z； 有理数集，记作q； 实数集，记作r。二典例解析：例1 判断下列语句能否构成集合（1）不小于0小于10的奇数； （2）某校2012年在校的所有高个子学生；（3）方程的整数解； （4）满足的全体实数；例2 用“ ”或“”填空：（1）2 n (2) n (3) q (4) r例3 用列举法或描述法表示下列集合（1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程的所有实数根组成的集合；（3）由适合x2-x-20的所有解组成集合；（4）方程组的所有解组成的集合；（5）方程组的解集例4 用列举法表示集合;例5、由实数x,x,x,所组成的集合，最多含元素的个数

4、为 例6含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，则的值是 .例7 已知集合，若a中只有一个元素，求a的值，并求出这个集合.三 课堂练习：1下列集合中，是空集的是( ) a b. c d 2 若集合中的元素是的三边长，则一定不是 （ ）a锐角三角形 b直角三角形 c钝角三角形 d等腰三角形3 、已知,求实数的值.4、用列举法表示集合：5、已知集合（为常数），若,求的值第二讲 1.1.2 集合间的基本关系一 知识点精讲1集合的包含关系：（1）子集subset：集合a的任何一个元素都是集合b的元素，则称a是b的子集（或b包含a），记作ab（或）；注：有两种可能 （1）a是b的一部分；（2）a与b是同

5、一集合空集() empty set是任何集合的子集.2集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若ab且ba，则称a等于b，记作a=b；3真子集proper subset：若ab且ab，则称a是b的真子集，记作ab 空集是任何非空集合的真子集.4简单性质：aa； a； 若ab，bc，则ac；二 典例解析：例1：判断下列各式是否正确：（1）（2）（3）（4）（5） （6）例2 写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集.例3、分别写出集合的子集，由此猜测集合的子集的个数。结论：若集合a是n个元素的集合，则集合a有2n个子集（其中2n1个真子集）；例4 b=x|x,请用列举法写出b 探究与的关系例5、

6、求满足的集合a的个数.例6、设集合a=，b=，若，求的值.例7、已知m=，p=，则m与p的关系是 .例8、已知a=，b=，若,求实数所构成的集合m，并写出m的所有子集.例9、已知集合,若,且，求实数的值三 课堂练习：1已知p=0，1，m=xxp，则p 与m的关系为（ ） 2设集合，若，则下列关系正确的是（ ）a b c d3. 已知集合，试求集合的所有子集的个数第三讲 1.1.3 集合的基本运算一知识点精讲1交集：一般地，由属于集合a且属于集合b的元素所组成的集合，叫做集合a与b的交集。 2 并集：一般地，由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合，称为集合a与b的并集。 3全集：如果集合

7、s含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，通常用u表示。4补集： 无理数集可写作：, 注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。5集合的简单性质：（1）（2）（3） （4）；（5）摩根定律：，6. ab时，a有两种情况：a与a。二典例解析例1：设全集，求,例2、已知全集u=r,，求,例3、已知全集，若集合，求实数的值.例4.全集，如果则这样的实数是否存在？若存在，求出；若不

8、存在，请说明理由.例5.已知集合集合试判断集合是不是集合的子集？是否存在实数使成立？例6设集合,，求例7 求表达式有意义的的取值范围形成的集合例8定义集合运算：， ，则集合三 课堂练习1 已知, 求，2 设全集，则,3、已知集合，若有,求的值. 4（2012新课标）已知集合；,则中所含元素的个数为5若集合a=-1,1,b=0,2,则集合zz=x+y,xa,yb中的元素的个数为6求表达式有意义的的取值范围形成的集合7设，则 ， .8 若全集，则集合的真子集共有 （ ）a个 b个 c个 d个第四讲 求参数的取值范围一 知识点精讲：1 被2除的整数可写成 余数分两类被3除的整数可写成 余数分三类被4

9、除的整数可写成 余数分四类被5除的整数可写成 余数分五类2 ab时，a有两种情况：a与a。 常见空集的三种形式：，求的取值范围，求的取值范围，求的取值范围3 一般地，对任意两个有限集合a,b有二 典例解析：例1 .,则a,b的关系，,则a,b的关系，,则a,b的关系，,则a,b的关系,则a,b的关系例2设集合，则（ ） b mn c mn 例3 .集合a=x b= c=,又则有（ ）a（a+b） a b (a+b) b c (a+b) c d (a+b) a、b、c任一个例4已知全集，集合,则 a. b c d例5，且ab，求实数a的取值范围_变式，且ab，求实数a的取值范围是_例6、已知，（

10、1）若,求的取值范围；（2）若,求的取值范围例7若，求是实数的取值范围. 例8设。求实数的取值范围。例9某班有学生人，其中体育爱好者人，音乐爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人。三课堂练习：1若集合，且，则的值为（ ）a b c或 d或或2 已知集合(1) 若，求实数的取值范围。(2) 若，求实数的取值范围。3设集合,且，则实数的取值范围是 第五讲 绝对值 乘法公式 二次根式 分式一 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离两个数的差的绝对值

11、的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离例1 变式： 画 的图象例2 变式： 画 的图象例3解不等式：例4解不等式：二乘法公式（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 （3）立方和公式 ；（4）立方差公式 ；（5）三数和平方公式 ；（6）两数和立方公式 ；（7）两数差立方公式 例1 计算：例2 已知，求的值例3 已知，求的值例4 求证：三二次根式 1分母有理化 ，分子有理化： 2二次根式的意义： ， ，例1 试比较下列各组数的大小：（1）和； （2）和.例2 化简：例3 若，则_ _四分式 1分式的意义 2繁分式 例1根据， 推测 _ () （其中n是正整数）；_ () _ ()例2若，求常数

12、的值例3计算： ； （3）计算 例3 例4 计算：第六讲 分解因式 一 知识点精讲:1 分解因式的基本方法：首先提取公因式，然后考虑用公式，十字相乘试一试，分组、换元、配凑来压轴2关于十字相乘法分解因式: (1) 形如型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：二次项系数是1 常数项是两个数之积 一次项系数是常数项的两个因数之和反过来，就得到：(2) 一般二次三项式型的因式分解 反过来，就得到：二典例解析：例1把下列各式因式分解： （1） （2） （3） （4） （5）例2 分解因式：（1） （2）（3） （4） （5） （6） (7) （8）例3已知，求代数式的值例4已知，求证：例5

13、已知，代数式的值为 第七讲 一元二次方程一知识点精讲：1 一元二次方程的根的判断式一元二次方程，配方将其变形为：，记（1）当时，右端是正数，因此，方程有两个不相等的实数根：（2）当时，右端是零，因此，方程有两个相等的实数根：（3）当时，右端是负数，因此，方程没有实数根2一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程的两个根为，则，那么，说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形， ，二典例解析：例1 已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围（1）方程有两个不相等的实数根（2）方程有两个相等的实数根（3）方程有实数根（4）方程无实数根例2 已知实数、满足，试求、的值例3

14、 若是方程的两个根，试求下列各式的值（1） （2） （3） 第八讲 一元二次不等式一 知识点精讲:一元二次不等式的解法 二次函数（）的图象一元二次方程 口诀：当时“大于取两边，小于取中间”当时，（1）两边同除，就转化成开口向上的了。（2）画开口向下的抛物线。解一元二次不等式关键是分解因式： 2 十字相乘法：二 典例解析：例1 解下列不等式：1. 2. 3. 4. 5. 6.7. 8.例2 不等式对一切恒成立，求的取值范围。例3 已知关于的不等式的解集为（），求不等式的解集例4 一元高次不等式的解法: 数轴标根法：（1）各项中的系数为正， （2）根从小到大依次标在数轴上， （3）从右上方穿起。

15、口诀：奇穿偶不穿。 解下列不等式：1. 2. 3. 4. 例5分式不等式分式不等式的等价变形：0，0解下列不等式： 1. 2. 3.三 课堂练习1、解下列不等式（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）（8）（9）2、已知不等式,则= ;= 。3 、若不等式的解集为，求的取值范围。第九讲 常见函数的函数的图象及其的取值范围一 知识点精讲：图象定义域的范围值域的范围一次函数（） 正比例函数（） 反比例函数（） 一次分式型函数（） 二次函数（） 2 对于上述函数，如果对于给出了限制条件，则相应的函数值也就发生了变化，我们要根据函数的图象去求函数值的取值范围。3 函数自变量的取值范围（1

16、）整式函数，的取值为（2）分式函数，分母不能为， ， ， ，（3）对于无理函数，（4）， （5）如果函数是由几部分同时组成，则必须使这几部分的同时成立，求各部分取值范围的交集二典型例题1画下列函数的草图（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9） （10） （11）（12）（13）（14）（15）（16）（17） （18） （19） （20）探究：（21） （22） （23）2求下函数的取值范围（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7）（8） （9） （10）3求下列函数值的取值范围（1） （2） （3） （4） （5）（6） （7） （8） （9）（10） （11） （1

17、2） （13）（14） （15）探究：（15）第十讲 二次函数在闭区间上的最值一 知识点精讲：1区间：它表示一个范围内的数的集合。设,r ,且.我们规定：满足不等式b的实数x的集合叫做闭区间，表示为,；满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为（,）；满足不等式的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为，)满足不等式的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为(，.这里的实数和叫做相应区间的端点.在数轴上，这些区间都可以用一条以和为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：定 义名 称符 号数 轴 表 示x|b闭区间，b x|b开区间(，b) x|b左闭

18、右开区间，b） x|，的实数的集合分别表示为，+，（，+）,. 注意：书写区间记号时：有完整的区间外围记号（上述四者之一）；有两个区间端点，且左端点小于右端点；两个端点之间用“，”隔开. 2 求一元二次函数在闭区间上的最值，主要是借助函数的图像解答，充分体现了数学中数形结合的思想。二 典例解析：例1求函数在下列区间上的最值。（1） （2） （3） （4） （5）例2 已知二次函数，求函数的最大值例3 已知函数，求函数最小值。探究：已知函数，（1）若恒成立，求的取值范围。（2）若恒成立，求的取值范围。 重要结论：1. （），（1）若恒成立，则 （2）若恒成立，则2 （），（1）若恒成立，则 （2）若恒成立，则二次函数在闭区间上的最值 课下限时作业1求