《导数及其应用》单元测试题(理科)

1、 导数及其应用单元测试题（理科）（满分 150 分 时间：120 分钟 ）一、选择题（本大题共 8 小题，共 40 分，只有一个答案正确）( )(x) = 2 x 21函数 fp的导数是（）(a) f (x) = 4px( ) = 4p(b) f x( ) = 8p2 x (c) f x 2 x(d) f (x) = 16px(x) = x e2函数 f的一个单调递增区间是（）-x -1,0 2,8 1,2 0,2(d)(a)(b)(c)(- x) = - f (，x)g-( x)= g( x 0， 且 x 时 ，3 已 知 对 任 意 实 数 x ， 有 f( ) ，0 ( )f x g x

2、 ，则 x 0， ( ) 0a f x g x( ) 0， ( ) 0b f x g x( ) 0( ) 0， ( ) 0， ，对于任意实数 x 都有7已知二次函数 f的导数为2 f (1)f (x) 0，则的最小值为（）f (0)5b232a3c2d: f (x) = e + ln x + 2x + mx +1 (0，+ ) 内单调递增，q : m -5，则 p 是 q 的8设 p在x2（）充分不必要条件充分必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件二填空题（本大题共 6 小题，共 30 分）9用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，则该长方体的长

3、、宽、高各为时，其体积最大.x2=1y围成的图形绕 轴旋转一周得到的几何体10将抛物线 y和直线 y2的体积等于(x) = x -12x + 8-3,3m ,m上的最大值与最小值分别为 ，则11已知函数 fm - m = 在区间312对正整数 n，设曲线 y = x (1 - x) 在 x2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 ，则数列nan a 的前 项和的公式是nnn +113点 p 在曲线 y范围是23= x - x +3上移动，设在点 p 处的切线的倾斜角为为a ，则a 的取值(1)若函数在(- ,+)总是单调函数，则a 的取值范围1= x + x + ax - 514已知函数y323是

4、. (2)若函数在1,+)上总是单调函数，则a 的取值范围.（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a 的取值范围是三解答题（本大题共 6 小题，共 12+12+14+14+14+14=80 分）.(x) = e - ef (x)f (x)2；15设函数 f（1）证明：的导数x- x（2）若对所有 x0都有f (x) ax，求a 的取值范围 16设函数 ( ) = - 3 + 3 + 2 分别在 、 处取得极小值、极大值. 平面上点 、 的xoy a bf x x x x x12坐标分别为（ , ( )）、（ , ( )），该平面上动点 满足q p= 4 ,点 是点 关于直线x f x

5、 x f xppa pb1122y = 2(x - 4)的对称点，.求(1)求点 、 的坐标；(2)求动点 的轨迹方程.a bq(x) = ax ln x + bx - c(x0)在 x = 1 处取得极值-3-c，其中 a,b,c 为常数。17已知函数 f44（1）试确定 a,b 的值；（2）讨论函数 f(x)的单调区间；(x) -2c（3）若对任意 x0，不等式 f2 恒成立，求 c 的取值范围。 ax3( )f (x) =- (a +1)x + 4x +1 a r18已知23（1）当a（2）当a= -1时，求函数的单调区间。 r时，讨论函数的单调增区间。 -1, 0（3）是否存在负实数

6、a ，使 x，函数有最小值3？(x) = x3 - 3x.19已知函数 f= f (x)x = 2处的切线方程；（1）求曲线 y在点（2）若过点 a(1,m) (m -2)可作曲线y = f (x)的三条切线，求实数m 的取值范围.( )2a ( )20已知函数（1）若 x= += + ln x，其中a 0， g x x f x xx( ) ( ) ( )=1=+是函数h x f x g x 的极值点，求实数 的值；a 1实数a 的取值范围( ) ( ), x 1，e ef x（2）若对任意的x（ 为自然对数的底数）都有 g x 成立，求212 理科测试解答一、选择题( )1 f (x) =

7、2px = 4p x , ( ) 2 4 2= p x = ( ) = 8p2 ;x222f xf x( ) ( )8 2xp或 ( ) 2 2p2p4p 2p（理科要求：复合函数求导）f x = x x = x =( )1- x ex1e - x ex(x) = x e = .xx 2 0, x 0. e 0, x 0( ) = e + e - 2 - 0时， g x ，（）若aaax- x(x) (0，+)在 上为增函数，故 g所以， x0时，g(x) g(0)f (x) ax，即 a + a - 42= ln的正根为 x（）若a此时，若 x 2，方程 g(x) = 0，21(0，x )(

8、 ) 0( )，故 g x 在该区间为减函数，则 g x1(0，x )( ) (0) = 0时， g x g( ) 0( ) = 0），令 f x，解得 x=1（2）由（i）知 f xxx （ x30 x 1时， f (x) 1时， f (x) 0，此时f (x)为增函数当 x(x) 的单调递减区间为(0，1)f (x) 的单调递增区间为( 1，+)因此 f，而(x) x =1在f (1)= -3- c，此极小值也是最小值，要使（3）由（ii）知， f处取得极小值f (x) -2c （ x2 0）恒成立，只需-3- c -2c22c - c -30 ，从而(2c -3)(c +1)0即2，3解

9、得c或c -123所以的取值范围为(-，-1，+ c2( ) = (- + 3 + 2) = -3 + 3 = 0x= 1或 = -117解: (1)令 f xx3xx 2解得 x -1 f (x) 0-1 x 0x 1 f (x) 0,当 时,当 x时, 当时,= -1x =1取 得 极 大 值 , 故所 以 , 函 数 在 x处 取 得 极 小 值 , 在x = -1, x = 1, f (-1) = 0, f (1) = 412所以, 点 a、b 的坐标为 a(-1,0), b(1,4).() ()(m,n) q(x, y) pa pb = -1- m,-n 1- m,4 - n = m

10、 -1+ n - 4n = 422(2) 设 p，1y - n1y + nx + mk = - ，= - ，y = 2(x - 4)上，所以= 2- 4所以又 pq 的中点在2x - m222pq( ) ( ),nx - 8 + y + 2 = 9消去 m 得22.( )+ n - 2 = 9,其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为 3 的圆；另法：点 p 的轨迹方程为m22设点（0，2）关于 y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点 q 的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为 3 的圆，b - 21 b + 2 a + 0 = 2 - 4= - a=8,b=-2得由，- 0222a()( ) (

11、 )( ) ( )f x 递增; （2）1、当ax - 2,2 ,= 0,18（1）或f x 递减;x - ,-2 , x 2,+ ,2() f(x)0, f(x)0 a 1, ( )或x 1,2( ) f(x)或x 2,+ , ( )f x 递增; 当f 递增;当1, - ,+ ,a = xx ,+ ,x - , , aa 递增;（3）因a -xmin4a a 22( )=f( )=-3，化简得：3a2 + 3a -1 = 0 ，解得2、当由单调性知： f x -1, a -2,minaa3- 3 21 -2,不合要求；综上，a = - 为所求。a =46( ) = 3 - 3, (2) =

12、 9, (2) = 2 - 32 = 219解（1） f xxff2 分23= f (x) x = 2在y - 2 = 9(x - 2) ，即9x - y -16 =0；4 分曲线 y处的切线方程为（2）过点 a(1,m)向曲线y = f (x)( , )作切线，设切点为 x y00= x - 3x ,k = f (x ) = 3x - 3.则 y3200000- (x - 3x ) = (3x - 3)(x - x )则切线方程为 y326 分00002x - 3x + m + 3 = 0 (*)整理得3200(1,m) (m -2)y = f (x)的三条切线过点 a可作曲线方程（*）有三

13、个不同实数根.(x) = 2x - 3x + m + 3,g(x) = 6x - 6x = 6x(x -1)记 g322( ) = 0, = 0令 g xx或 1.10 分则 x, g(x), g(x)的变化情况如下表(0,1)(-,0)(1,+)0x1+00+g(x)极大极小= 0, g(x)m + 3; x =1,g(x)g(0) 0有极小值m + 2.当 x有极大值12 分由 g(x),的简图知，当且仅当 g(1) 0, -3 m -2时，+ 2 0 1 = 0，即3- a2 = 0 x a是函数h x 的极值点，h= 3， a( )=1是函数h x的极值点，= 3经检验当a时， x=

14、3 a ( )a( )0，+ ，其定义域为2h x = 2x + + ln x解法2：x( ) h x 2a 12= - +x x2( )a 12 =令 h x 0，即 2- + =0，整理，得2x2+ x - a = 02x x2d =1+8a 0，2-1- 1+8a2-1+ 1+8a2( ) = h x 0的两个实根 x=（舍去）， x，4412( ) ( )当 x 变化时，h x ， h x 的变化情况如下表：xx( )x ,+220( )h x极小值-1+ 1+8a2=1=，即a 3，依题意，24 0=3 a， a ( ) ( ) g x 成 立 等 价 于 对 任 意 的 1，ef x（ 2 ） 解 ： 对 任 意 的 x , x都 有1212 ( )( )g x x , x 1，e 都有 f x 12minmax( )1= + 0当 x 1，e 时， g x 1x( ) = x + ln x 1，e上是增函数函数 g x在( )( )g x = g e = e +1max( )( )x + a x - a ，且 x 1,e ， a 0( )a2= - = f x 1xx22( )( )x + a x - a( ) a 0 ，当01， 时， f xx2( )函数 f xa2= x +在1，e 上是增函数，x( )( ) f x = f 1 =1+