高中数学 二项式定理

1、二项式定理二项式定理 二项式定理二项式定理 帕斯卡三角形帕斯卡三角形 翰林版翰林版 2-4 二项式定理二项式定理 page 1/22 二项式定理二项式定理p.113 p.117 302203 1 3 3 1x yx yxyx y xxx 排列数排列数 xxy 排列数排列数 yyy 排列数排列数 xyy 排列数排列数 33223 () 3 3 xyxx yxyy 30211203 3!3!3!3! 3!0!2!1!1!2!0!3! x yx yx yx y 330321312303 0123 c x yc x yc x yc x y 翰林版翰林版 2-4 二项式定理二项式定理 page 2/22

2、 二项式定理：二项式定理： 即即 二项式定理二项式定理 nnnnnnn kk k nn n xyc x yc xyc xy c x y 011 01 0 () n nnn kk k k xyc xy 0 () p.113 p.117 翰林版翰林版 2-4 二项式定理二项式定理 page 3/22 利用二项式定理展开下列各式：利用二项式定理展开下列各式： (1) 。 (2) 。 1 p.114 xy 4 () xy 4 () (1) (2) xy c x yc x yc x yc x yc x y xx yx yxyy 4 440431422413404 01234 432234 () 464

3、xy xy c xyc xyc xyc xy c xy xx yx yxyy 4 4 440431422413 0123 404 4 432234 () () ()()()() () 464 翰林版翰林版 2-4 二项式定理二项式定理 page 4/22 (1) 试求试求 的展开式。的展开式。 (2) 试求试求 的展开式。的展开式。 2 p.115 ab 5 (32 ) n x(1) (1) (2) ab ab cacabcab cabcabcb aa ba ba babb 5 5 55541532 012 52351455 345 543 22 345 (32 ) (3( 2 ) (3 )(

4、3 ) ( 2 )(3 ) ( 2 ) (3 ) ( 2 )(3 ) ( 2 )( 2 ) 243810108072024032 n nnnnnnnn nn nnnnnn nn x cxcxcxcx cc xcxc x 011110 011 1 011 (1) 1111 翰林版翰林版 2-4 二项式定理二项式定理 page 5/22 (1) 试求试求 展开式中展开式中 项的系数。项的系数。 3 p.115 xy 6 (2) x y 33 (1) 由二项式定理知由二项式定理知 展开式中的项形如展开式中的项形如 要求要求 项的系数，故项的系数，故 此项为此项为 故所求系数为故所求系数为160 kk

5、kkkk kk cxycxy 66666 (2 )()2( 1) xy 6 (2) x y 33 cxyx y 6333333 3 2( 1)160 k3 翰林版翰林版 2-4 二项式定理二项式定理 page 6/22 (2) 试求多项式试求多项式 除以除以 的余式。的余式。 3 p.115 xx 29 (22)x 3 (1) (2) 故所求余式为故所求余式为 xx x cxcxcxcx c xcxcxcx cxc 29 29 9189169492 0178 9 9 39159139 017 929 89 (22) (1)1) (1)(1)(1)(1) (1) (1)(1)(1) (1) cx

6、cxx 9292 89 (1)91810 翰林版翰林版 2-4 二项式定理二项式定理 page 7/22 利用利用 的展开式求的展开式求 近似值。近似值。 (四舍五入取到小数点后第五位四舍五入取到小数点后第五位) 4 p.116 x 5 (1) 5 (0.998) 由二项式定理知由二项式定理知 故故 后面三项数值太小，不会影响小数前五位后面三项数值太小，不会影响小数前五位 故只取前三项并取到小数点后第故只取前三项并取到小数点后第 5 位得位得 0.99004 xxxxxx 52345 (1)1510105 5 5 234 5 45 (0.998) (10.002) 15 0.00210 (0.

7、002)10 (0.002)5 (0.002) (0.002) 10.010.000040.000000085 (0.002)(0.002) 翰林版翰林版 2-4 二项式定理二项式定理 page 8/22 试证明：试证明： 。 5 p.117 解法一解法一 将二项式定理将二项式定理 中中 令令 xy1 代入，即得欲证之等式代入，即得欲证之等式 nnnnnnnnn n xyc xc xyc xyc y 122 012 () nnnnn n cccc 012 2 翰林版翰林版 2-4 二项式定理二项式定理 page 9/22 试证明：试证明： 。 5 p.117 nnnnn n cccc 012

8、2 解法二解法二 考虑以下问题：一列考虑以下问题：一列 n 个方块，每个可以涂黑色或白色，个方块，每个可以涂黑色或白色， 有几种方法？有几种方法？ 可以有两种算法：可以有两种算法： (1) 由左至右涂，每个方块可以是黑色或白色，故有由左至右涂，每个方块可以是黑色或白色，故有 2n 种方法种方法 (2) 按照有几个黑方块来分类，黑方块可以有按照有几个黑方块来分类，黑方块可以有 0，1，2， ，n 个。若有个。若有 3 个黑方块就有个黑方块就有 种方法种方法 因此，一共有因此，一共有 种方法种方法 (1)、 、(2)是算同一个问题，答案必须要一样是算同一个问题，答案必须要一样 因此因此 n c3

9、nnnn n cccc 012 nnnnn n cccc 012 2 翰林版翰林版 2-4 二项式定理二项式定理 page 10/22 帕斯卡三角形帕斯卡三角形(杨辉三角形杨辉三角形)： 观察帕斯卡三角形可以看出：观察帕斯卡三角形可以看出： (1) 数字呈现左右对称，且两端的数都是数字呈现左右对称，且两端的数都是 1。 这是因为这是因为 ，且，且 。 帕斯卡三角形帕斯卡三角形p.118p.122 nn kn k cc nn n cc 0 1 翰林版翰林版 2-4 二项式定理二项式定理 page 11/22 帕斯卡三角形帕斯卡三角形(杨辉三角形杨辉三角形)： 观察帕斯卡三角形可以看出：观察帕斯卡

10、三角形可以看出： (2) 每个数等于其左上的数与右上的数的和每个数等于其左上的数与右上的数的和 即即 。 nnn kkk ccc 11 1 帕斯卡三角形帕斯卡三角形p.118p.122 翰林版翰林版 2-4 二项式定理二项式定理 page 12/22 帕斯卡定理：帕斯卡定理： nnn kkk ccc 11 1 帕斯卡三角形帕斯卡三角形p.118p.122 翰林版翰林版 2-4 二项式定理二项式定理 page 13/22 6 p.119 解法一解法一 nn kk n k cc nn knkknk n knknkk nn knkk nk n c knk 11 1 (1)!(1)! (1)!()!(

11、1)! (1)!11 (1)!(1)! (1)! (1)!(1)!() ! !()! 试证明帕斯卡定理试证明帕斯卡定理 。 nnn kkk ccc 11 1 翰林版翰林版 2-4 二项式定理二项式定理 page 14/22 解法二解法二 我们计算在我们计算在 1，2，3， ，n 之中取出之中取出 k 个相异数字的组合个相异数字的组合 有几种方法，考虑以下两种算法：有几种方法，考虑以下两种算法： (1) 显然答案为显然答案为 种方法种方法 (2) 按照按照 “n” 是否被选到分成两类是否被选到分成两类 若 若 “n” 被选到，则还要从被选到，则还要从 1，2，(n1) 之中选出之中选出 k1 个

12、，有个，有 种方法 种方法 若 若 “n” 未被选到，则还要从未被选到，则还要从 1，2，(n1) 之中选之中选 出 出 k 个，有个，有 种方法种方法 因此，一共是因此，一共是 种方法种方法 n k c n k c 1 1 n k c 1 nn kk cc 11 1 6 p.119 试证明帕斯卡定理试证明帕斯卡定理 。 nnn kkk ccc 11 1 翰林版翰林版 2-4 二项式定理二项式定理 page 15/22 试证明帕斯卡定理试证明帕斯卡定理 。 6 p.119 nnn kkk ccc 11 1 解法二解法二 (1)、 、(2)是算同一个问题，答案必须一样是算同一个问题，答案必须一样

13、 故故 ，故得证，故得证 nnn kkk ccc 11 1 翰林版翰林版 2-4 二项式定理二项式定理 page 16/22 帕斯卡三角形的性质：帕斯卡三角形的性质： (1) 每一列数字的和等于每一列数字的和等于 2 的次方，即的次方，即 。 帕斯卡三角形帕斯卡三角形 nnnnn n cccc 012 2 p.118p.122 翰林版翰林版 2-4 二项式定理二项式定理 page 17/22 帕斯卡三角形的性质：帕斯卡三角形的性质： (2) 每一列数字正负符号交错后，其和等于每一列数字正负符号交错后，其和等于 0，即，即 。 帕斯卡三角形帕斯卡三角形 nnnnn n cccc 012 ( 1)

14、0 p.118p.122 翰林版翰林版 2-4 二项式定理二项式定理 page 18/22 7 p.121 (1) 试求试求 的值。的值。 ccccc 34567 33333 (1) 解法一解法一 34567 33333 ccccc 直接求值得直接求值得 14102035 70 翰林版翰林版 2-4 二项式定理二项式定理 page 19/22 7 (1) 解法二解法二 将将 ， ， 这些数在帕斯卡三角形中标示出来这些数在帕斯卡三角形中标示出来 c 7 3 c 4 3 c 3 3 p.121 (1) 试求试求 的值。的值。 ccccc 34567 33333 如下图如下图 翰林版翰林版 2-4 二项式定理二项式定理 page 20/22 7 (1) 解法二解法二 34567 33333 ccccc 因为因为 ，把，把 换成换成 (相当巧妙！相当巧妙！)cc 34 34 1c 3 3 c 4 4 p.121 (1) 试求试求 的值。的值。 ccccc 34567 33333 再一路利用帕斯卡定理，得到再一路利用帕斯卡定理，得到 44567 43333 ccccc 5567 4333 cccc 8 4 70c 翰林