大学物理-经典力学习题课

1、经典力学经典力学 习题课习题课 1 一 运动学运动学：研究如何描写质点的运动研究如何描写质点的运动 （1）一个模型）一个模型质点：质点：忽略形状、大小，只有空间忽略形状、大小，只有空间 位置，且有质量的点位置，且有质量的点 a r v 描述质点运动状态的物理量描述质点运动状态的物理量 描述质点运动状态变化的物理量描述质点运动状态变化的物理量 （2）描述质点运动的物理量）描述质点运动的物理量 avrr , 速度速度： 矢量性矢量性,瞬时性瞬时性,相对性相对性,叠加性叠加性 r 描述质点位置变化的物理量描述质点位置变化的物理量 注意注意区别区别: 位移和路程，位移和路程，vvrr 与与, t r

2、v dt rd t r v t 0 lim 2 k dt zd j dt yd i dt xd a 2 2 2 2 2 2 222 zyx vvvvv 大小大小： 方向方向： v v v v v v z y x cos,cos,cos 自然坐标系坐标系： ev e dt ds v 2 2 dt rd dt dv a 直角系直角系： 自然系自然系： n e v e dt dv a 2 加速度：加速度： 直角系直角系： kvjvivk dt dz j dt dy i dt dx v zyx 3 (3)两个方程两个方程： 运动方程运动方程： 轨道方程轨道方程： )(trr )(xyy (4) 圆周运

3、动圆周运动： 线量： a n a 关系(大小): Rv Ra 2 Ran 运动方程运动方程:)(t 角量： dt d dt d 位矢随时间的位矢随时间的 某种函数关系某种函数关系 运动学的重要任务运动学的重要任务 v a )(tss )(t 运动方程的分量式运动方程的分量式 消去消去t )( )( txx tyy 4 r a v (5)运动学问题的两个类型运动学问题的两个类型: 求导求导 求导求导 积分积分 积分积分 讨论问题一定要先选取坐标系讨论问题一定要先选取坐标系 5 P1 一、一、5. 灯距地面高度为灯距地面高度为h1，一个人身高为，一个人身高为h2，在灯下以，在灯下以 匀速率匀速率v

4、沿水平直线行走，如图所示他的头顶在地上的影沿水平直线行走，如图所示他的头顶在地上的影 子子M点沿地面移动的速度为点沿地面移动的速度为vM = M h1 h2 x1 x2 ?, 21 1 21 2 1 dt dx vv dt dx h hh x x M P1 一、一、4.加速度很多写得不正确加速度很多写得不正确 21 1 hh vh vM 6 习题习题P23：1-4 如图所示，湖中有一小船，岸上有人用绳跨过定滑如图所示，湖中有一小船，岸上有人用绳跨过定滑 轮拉船靠岸，设滑轮距水面高度为轮拉船靠岸，设滑轮距水面高度为h，滑轮到原船位置的绳长为滑轮到原船位置的绳长为l0， 试求：当人以匀速试求：当人

5、以匀速v拉绳，船运动的速度拉绳，船运动的速度 v为多少？为多少？ 解：解： 注意：绳子上各点的移动速度注意：绳子上各点的移动速度 不相同不相同.(.(取绳上两点取绳上两点A,B,A,B,经过经过 t,t,运动到运动到A A、B B，如图，二如图，二 者位移的方向和大小都不同者位移的方向和大小都不同); ); 是绳端点的移动速度是绳端点的移动速度, ,即船速即船速. . v v是收绳的速率，等于绳上各点是收绳的速率，等于绳上各点 沿绳方向的速度分量沿绳方向的速度分量. .绳速绳速和和船船 速速是两个不同的概念是两个不同的概念. . v 0 l v v x l x O h 研究对象：船研究对象：船

6、;建立坐标系建立坐标系 如图如图,O点选在定滑轮处点选在定滑轮处. h y x x o r v x x B B A A cosvv 问题问题:是否有是否有 ? 7 i dt dr r h ihr dt d i dt tdx dt rd v 2 1 2 2 22 1 船的运动速度为船的运动速度为 h y x x o r v 解法一：取直角坐标系。解法一：取直角坐标系。 船的运动方程为船的运动方程为 jhitxtr 8 收绳的速率收绳的速率 dt dr v 又因为又因为vtlr 0 i v i vtl h vv cos 1 2 1 2 0 2 由上式可看出由上式可看出,认为认为 是错误的是错误的,

7、 即船速不是人收绳的速度在水平面上的分量即船速不是人收绳的速度在水平面上的分量, 真实的图像是真实的图像是:人收绳的速度只是船速沿绳方人收绳的速度只是船速沿绳方 向的分量向的分量(船速可分解为沿绳方向和垂直绳方船速可分解为沿绳方向和垂直绳方 向两个分量）向两个分量）. 水平面与绳子的夹角水平面与绳子的夹角随船的靠岸越来越大随船的靠岸越来越大, 所以船速越来越快所以船速越来越快,船做船做变加速运动变加速运动C. cosvv 9 i vtl h vv 2 1 2 0 2 1 解法二：解法二： h y x x o r v 利用图中的三角关系利用图中的三角关系 222 rhx 对上式两边同时求导对上式

8、两边同时求导,可得可得 dt dr dt dx r x dt dr r dt dx x 22 dt dr v又因为又因为vtlr 0 dt dx v 2 2 1sin1cos r h r x 解法三解法三： dt dx vhvtlx )( 22 0 有有 10 一种做法一种做法: 船行走的位移船行走的位移: 有 22 0 22 0 )(hvtlhlS i dt dS v 这样得到的结果虽然只差一个负号这样得到的结果虽然只差一个负号,但却把速度的但却把速度的 定义理解错了定义理解错了,不应位移对时间求导不应位移对时间求导,正确的应是正确的应是 位矢对时间求导位矢对时间求导. 由运动方程求运动状态

9、的典型题目由运动方程求运动状态的典型题目:关键写出关键写出 运动方程运动方程, 而且用到复合函数的求导而且用到复合函数的求导 11 2. 某物体的运动规律为，式中的某物体的运动规律为，式中的k为大于零的常为大于零的常 量当时，初速为量当时，初速为v0，则速度与时间，则速度与时间t的函数关系是的函数关系是 (A) , (B) , (C) , (D) C 0 2 2 1 vvkt 0 2 2 1 vvkt 0 2 1 2 1 vv kt 分离变量法分离变量法 0 2 1 2 1 vv kt ktdtdv v tkv dt dv 2 2 1 tv v ktdtdv v 0 2 0 1 1.2圆周运动

10、圆周运动 一选择题和填空题一选择题和填空题 P2 12 一、牛顿定律一、牛顿定律 牛顿第二定律：牛顿力学的核心牛顿第二定律：牛顿力学的核心 矢量式：矢量式： 注意微分形式注意微分形式 am dt vd mvm dt d F )( 应用时写成所取坐标系中的投影形式：应用时写成所取坐标系中的投影形式： zyxi ma dt dv m dt dp F i ii i , 直角系中：直角系中： 质点动力学：研究在周围物体的作用下，所研究的物体的运动质点动力学：研究在周围物体的作用下，所研究的物体的运动 13 自然坐标系中自然坐标系中 2 mmaF dt d mmaF nn tt 注意：注意：1.定律的矢

11、量性、瞬时性；定律的矢量性、瞬时性； 是作用在质点上各力的矢量和，一般是作用在质点上各力的矢量和，一般 情况下为变力。情况下为变力。 2.2.F 作题步骤：作题步骤： 隔离物体、具体分析隔离物体、具体分析(受力和运动受力和运动)、 选择坐标、选择坐标、 建立方程建立方程 强调：画图分析受力强调：画图分析受力(不要人为增加或减少力，不要人为增加或减少力， 注意寻找施力物体注意寻找施力物体),标明所取坐标标明所取坐标 14 一一. . 功和动能定理功和动能定理 b a b a rdFdWW l rdF cos 1. 功功: 力的空间积累效应力的空间积累效应. 1 1、功是过程量、功是过程量 2 2

12、、功是标量，但有正负。、功是标量，但有正负。 3 3、合力的功为各分力的功的代数和。、合力的功为各分力的功的代数和。 4 4、功具有相对性、功具有相对性 注意注意 难点难点: 变力做功变力做功 本章主要研究了力在空间上的积累效果，本章主要研究了力在空间上的积累效果， 以及由此导出的定理和定律。以及由此导出的定理和定律。 15 2、动能定理、动能定理 (1) 质点的动能定理质点的动能定理 22 2 1 2 1 ABAB mvmvW (2)质点系的动能定理质点系的动能定理 W外 外 W内 内 EKB - EKA 对应对应: 冲量冲量 动量变化动量变化做功做功动能变化动能变化 ppp b a EEE

13、rdFW ba 保保 二二. . 势能势能 Ep: 只取决于质点间的相互作用和相对位置只取决于质点间的相互作用和相对位置 保守力对物体作的功等于物体势能增量的负值保守力对物体作的功等于物体势能增量的负值 保守力保守力:做功只与系统的始末位置有关做功只与系统的始末位置有关. 0rdF 16 三、质点系的功能原理、机械能守恒定律三、质点系的功能原理、机械能守恒定律 W外 外 W非保内 非保内 EB - EA1.质点系的功能原理质点系的功能原理 2. 机械能守恒定律机械能守恒定律 0 非保内外 WW 条件：条件： 则系统则系统任一状态任一状态的的 E=EK + EP常量常量 势能是针对保守力提出；只

14、有相势能是针对保守力提出；只有相 对意义，与零势能点的选取有关对意义，与零势能点的选取有关 注意注意 17 课本课本P61 3.1选择题选择题 1. 如图如图 2a 2a y1=a 22ay 18 3.4-1势能势能P7 一选择题和填空题一选择题和填空题 1. 如图，一质量为如图，一质量为m的物体，位于质量可以忽略的直立弹簧正上方高度为的物体，位于质量可以忽略的直立弹簧正上方高度为h处，处， 该物体从静止开始落向弹簧，若弹簧的劲度系数为该物体从静止开始落向弹簧，若弹簧的劲度系数为k，不考虑空气阻力，则物体，不考虑空气阻力，则物体 下降过程中可能获得的最大动能是下降过程中可能获得的最大动能是 h

15、 m k gm mgh 2 22 C 动能最大处应该为新体系的平衡位置动能最大处应该为新体系的平衡位置 k mg x mgkx O k gm mghmvxhmgmvkx 22 1 )( 2 1 2 1 22 222 机械能守恒机械能守恒 19 3.4-2 机械能守恒定律机械能守恒定律 P8 一选择题和填空题一选择题和填空题 1. 劲度系数为劲度系数为k的轻弹簧，一端与倾角为的轻弹簧，一端与倾角为 的斜面上的固定档板的斜面上的固定档板A相接，相接， 另一端与质量为另一端与质量为m的物体的物体B相连相连O点为弹簧没有连物体、长度为原长时点为弹簧没有连物体、长度为原长时 的端点位置，的端点位置，a点

16、为物体点为物体B的平衡位置现在将物体的平衡位置现在将物体B由由a点沿斜面向上点沿斜面向上 移动到移动到b点（如图所示）设点（如图所示）设a点与点与O点，点，a点与点与b点之间距离分别为点之间距离分别为x1和和 x2，则在此过程中，由弹簧、物体则在此过程中，由弹簧、物体B和地球组成的系统势能的增加为和地球组成的系统势能的增加为 O B a b A k x1 x2 sin 2 1 2 2 2 mgxkx sin)()( 2 1 12 2 12 xxmgxxk sin 2 1 )( 2 1 2 2 1 2 12 mgxkxxxk cos)()( 2 1 12 2 12 xxmgxxk (B) (C)

17、 (D) (A) 20 二。二。1 一链条总长为一链条总长为l ，质量为质量为m 。放在桌面上并使其一部放在桌面上并使其一部 分下垂，下垂的长度为分下垂，下垂的长度为a ，设链条与桌面的滑动摩擦系数为设链条与桌面的滑动摩擦系数为 ，令链条从静止开始运动，则：（，令链条从静止开始运动，则：（1）到链条离开桌面的）到链条离开桌面的 过程中，摩擦力对链条做了多少功？（过程中，摩擦力对链条做了多少功？（2）链条离开桌面时）链条离开桌面时 的速率是多少？的速率是多少？ a l-a x O 解：解：(1) 把整个链条作为一个把整个链条作为一个 系统，建坐标系如图系统，建坐标系如图 注意：摩擦注意：摩擦 力

18、作负功！力作负功！ dxxl l mg rdfW l a l a f )( 22 )( 2 ) 2 1 (al l mg xlx l mg l a gxl l m f)( 摩擦力摩擦力 21 (2)链条离开桌面时的速率链条离开桌面时的速率,对链条应用动能定理：对链条应用动能定理： 2 0 2 2 1 2 1 mvmvWWW fp 2 0 2 1 0mvWWv fp 2 222 2 1 2 )( 2 )( mv l almg l almg )()( 222 alal l g v得 前已得出：前已得出： l almg W f 2 )( 2 l almg xdx l mg rdPW l a l a

19、p 2 )( 22 重力作功重力作功 Ep a l-a x O 22 本章主要研究了力在时间上的积累效果，本章主要研究了力在时间上的积累效果， 以及由此导出的定理和定律。以及由此导出的定理和定律。 一.一. 动量定理和动量守恒定律动量定理和动量守恒定律: : 惯性系中成立惯性系中成立 动量定理动量定理 2 1 12 t t dtFIPP 计算冲量有两种方法：计算冲量有两种方法： (1)已知力与时间的关系，利用定义式。已知力与时间的关系，利用定义式。 (2)已知合力作用前后动量的增量，由动量已知合力作用前后动量的增量，由动量 定理的积分式表示。定理的积分式表示。 23 动量守恒定律动量守恒定律:

20、 1 1、动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某 一方向为零一方向为零.).) 2. 内力远大于外力内力远大于外力 3. 一定分清过程的始、末态。一定分清过程的始、末态。 1 常矢量 n i iiv mP 注意注意 条件条件: 0 和外力 F 24 第四章第四章 动量和冲量动量和冲量 4.2质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理 一选择题和填空题一选择题和填空题P9 2. 如图所示，圆锥摆的摆球质量为如图所示，圆锥摆的摆球质量为m，速率为，速率为v，圆半径为，圆半径为R，当摆，当摆 球在轨道上运动半周时，摆球所受重力球在轨道上运动半周时，摆球所受重力

21、冲量的大小冲量的大小为为 (A) 2mv (B) (C) (D) 0 22 )/()2(vvRmgm v/Rmg v/Rmg mR 很多错选成很多错选成D v/Rt 25 4.3动量守恒定律动量守恒定律P10 一一.1. 在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向 上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过 程中（程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力忽略冰面摩擦力及空气阻力） (A) 总动量守恒总动量守恒 (B) 总动量在炮身前进的方向上的分量守恒，其它方向动量总动量在炮身前进的方向上

22、的分量守恒，其它方向动量 不守恒不守恒 (C) 总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量 不守恒不守恒 (D) 总动量在任何方向的分量均不守恒总动量在任何方向的分量均不守恒 C 很多错选成很多错选成A。与炮弹在空中爆炸不同。与炮弹在空中爆炸不同 26 二计算题二计算题 1. 质量为质量为M的木块在光滑的固定斜面上，由的木块在光滑的固定斜面上，由A点从静止开始下滑，当经过路程点从静止开始下滑，当经过路程 l运动到运动到B点时，木块被一颗水平飞来的子弹射中，子弹立即陷入木块内设点时，木块被一颗水平飞来的子弹射中，子弹立即陷入木块内设 子弹的质量为子弹的质量为m，速度为，求子弹射中木块后，子弹与木块的共同速度，速度为，求子弹射中木块后，子弹与木块的共同速度 l B A M v m 1. 解：这个问题有两个物理过程：解：这个问题有两个物理过程： 第一过