《球的体积和表面积》教案

1、 球的体积和表面积教案教学目标1、知识与技能通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割求和化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识.能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题.培养学生的空间思维能力和空间想象能力.2、过程与方法4通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式 和面积公r33式 的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体4 r2现了极限思想.3、情感与价值观通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心.教学重难

2、点重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法.难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成.教学过程一、创设情景提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考.设疑引课：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式.二、探究新知1探究球的体积公式回顾祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等.构造新的几何体，结合祖暅原理推导球的体积公式(见p32页). 43=r3球的体积公

3、式：vp.2.探究球的表面积公式设球 的半径为 r ，我们把球面任意分割为一些“小球面片” ，它们的面积分别用o,ds+ ds+ds ,ds ,= ds + ds +表示，则球的表面积: s12i12i以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小ds锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积可近似地等于“小棱锥”的底面积，球i1= h ds的半径 r 近似地等于小棱锥的高h ，因此，第i 个小棱锥的体积v，当“小锥体”i3iii的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积:1v (h ds + h ds + + h ds + ) ，31122ii

4、+ ds+h rs = ds + ds +又，且i12i1 rs可得v，34134=rrs =又vp，pr3，333= 4 r即为球的表面积公式2 sp三、例题示范a, b,c例 已 知 过 球 面 上1三 点 的 截 面 和 球 心 的 距 离 为 球 半 径 的 一 半 ， 且a b= b c= c a=2，求球的表面积.解：设截面圆心为o ，连结o a ，设球半径为 ，r232 33 = 则o a2 =，3 2oc在 rtdooa= + b中，oa o a o o ，222o432 31=a= () + r r2，r，2234p64p9= 4 r = s2dca例 半球内有一个内接正方体

5、，正方体的一个面在半球2bd的底面圆内，若正方体棱长为 6 ，求球的表面积和体积.caobcaroca 解：作轴截面如图所示，cc = 6 ， ac=2 6 = 2 3 ，设球半径为 ，r= oc + cc则 r222= ( 6) + ( 3) = 922 r= 3，s = 4 r = 36 ，v=4p3pr = 36pp23球球d例 表面积为324p 的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个3ccaab正四棱柱的表面积od解：设球半径为 ，正四棱柱底面边长为a ，rb =则作轴截面如图， aa 14，=2a，acp又 4 r= 324p=c， r9，a2= 8=2- ac cc2=，a，oac

6、8 2cas = 64 2 + 3214 = 576表例 . 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.42求证：( ) 球的体积等于圆柱体积的 ；13( ) 球的表面积等于圆柱的侧面积。2证明:(1) 设球的半径为 r,则圆柱的底面半径为 r,高为 2r.4v = p r ,3pp3v圆柱= r 2r = 2 r .因为球322= v .所以,v球3圆柱= 4 r s(2) 因为 sp,p= 2 r2r = 4 r,p22球圆柱侧= s所以, s.球圆柱侧四、练习反馈1三个球的半径之比为1: 2:3 ，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的_倍；2.若球的大圆面积扩大为原来的4 倍，则球的体

7、积比原来增加_倍；.把半径分别为 ， ， 的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是_；3 3 4 54.正方体全面积是24 ，它的外接球的体积是_，内切球的体积是_ 43p答案： .1 3.2 7.3 64. 4 3p ，、 、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球 的表面上，o o o3512求三个球的表面积之比分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可a解：设正方体棱长为 ，则三个球的半径依次为 、23a ，aa222: s : s = 1: 2 : 3三个球的表面积之比是s123五、小结归纳球的表面积公式的推导及应用；球的内接正方体、长方体及外切正方体的有关