高中数学必修2二面角的有关概念

1、2.3.2 2.3.2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 第一课时第一课时 二面角的有关概念二面角的有关概念 问题提出问题提出 1. 1.空间两个平面有平行、相交两空间两个平面有平行、相交两 种位置关系，对于两个平面平行，种位置关系，对于两个平面平行， 我们已作了全面的研究，对于两个我们已作了全面的研究，对于两个 平面相交，我们应从理论上有进一平面相交，我们应从理论上有进一 步的认识步的认识. . 2. 2.在铁路、公路旁，为防止山体滑坡，在铁路、公路旁，为防止山体滑坡， 常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面 与水平面成适当的角度；修筑水坝时，与水平面成

2、适当的角度；修筑水坝时， 为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与 水平面成适当的角度，如何从数学的观水平面成适当的角度，如何从数学的观 点认识这种现象？点认识这种现象？ 公路公路 知识探究（一）：知识探究（一）：二面角的有关概念二面角的有关概念 思考思考1:1:直线上的一点将直线分割成直线上的一点将直线分割成 两部分，每一部分都叫做两部分，每一部分都叫做射线射线. . 平平 面上的一条直线将平面分割成两部面上的一条直线将平面分割成两部 分，每一部分叫什么名称？分，每一部分叫什么名称？ 半平面半平面 半平面半平面 射线射线射线射线 思考思考2:2:将一条直线沿直线上

3、一点折起，将一条直线沿直线上一点折起， 得到的平面图形是一个角，将一个平得到的平面图形是一个角，将一个平 面沿平面上的一条直线折起，得到的面沿平面上的一条直线折起，得到的 空间图形称为空间图形称为二面角二面角，你能画一个二，你能画一个二 面角的直观图吗？面角的直观图吗？ 思考思考3:3:在平面几何中，我们把角定在平面几何中，我们把角定 义为义为“从一点出发的两条射线所组从一点出发的两条射线所组 成的图形叫做角成的图形叫做角”，按照这种定义，按照这种定义 方式，二面角的定义如何？方式，二面角的定义如何？ 从一条直线出发的两个半平面所组从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角成的图形叫做

4、二面角 思考思考4:4:下列两个二面角在摆放上有下列两个二面角在摆放上有 什么不同？什么不同？ l l 思考思考5:5:一个二面角是由一条直线和一个二面角是由一条直线和 两个半平面组成，其中直线两个半平面组成，其中直线l叫做叫做二二 面角的棱面角的棱，两个半平面，两个半平面、都叫都叫 做做二面角的面二面角的面，二面角通常记作，二面角通常记作 “二面角二面角-l-”.-”.那么两个相交平那么两个相交平 面共组成几个二面角？面共组成几个二面角？ l 棱棱 面面 知识探究（二）：知识探究（二）：二面角的平面角二面角的平面角 思考思考1:1:把门打开，门和墙构成二面把门打开，门和墙构成二面 角；把书打

5、开，相邻两页书也构成角；把书打开，相邻两页书也构成 二面角二面角. .随着打开的程度不同，可得随着打开的程度不同，可得 到不同的二面角，这些二面角的区到不同的二面角，这些二面角的区 别在哪里？别在哪里？ 思考思考2:2:我们设想用一个平面角来反我们设想用一个平面角来反 映二面角的两个半平面的相对倾斜映二面角的两个半平面的相对倾斜 度，那么平面角的顶点应选在何处？度，那么平面角的顶点应选在何处？ 角的两边在如何分布？角的两边在如何分布？ l 思考思考3:3:在二面角在二面角-l-的棱上取一的棱上取一 点点o o，过点，过点o o分别在二面角的两个面分别在二面角的两个面 内任作两条射线内任作两条射

6、线oaoa，obob，能否用，能否用 aobaob来刻画二面角的张开程度？来刻画二面角的张开程度？ l o o a a b b 思考思考4:4:在上图中如何调整在上图中如何调整oaoa、obob的的 位置，使位置，使aobaob被二面角被二面角-l-唯一唯一 确定？这个角的大小是否与顶点确定？这个角的大小是否与顶点o o在在 棱上的位置有关？棱上的位置有关？ l o o a a b b l o o a a b b 思考思考5:5:上面所作的角叫做上面所作的角叫做二面角的二面角的 平面角平面角，你能给二面角的平面角下，你能给二面角的平面角下 个定义吗？个定义吗？ 以二面角的棱上任意一点为顶点，以

7、二面角的棱上任意一点为顶点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条在两个面内分别作垂直于棱的两条 射线，这两条射线所成的角叫做二射线，这两条射线所成的角叫做二 面角的平面角面角的平面角. . l o o a a b b 思考思考6:6:二面角的大小可以用它的平二面角的大小可以用它的平 面角来度量，二面角的平面角是多面角来度量，二面角的平面角是多 少度，就说二面角是多少度少度，就说二面角是多少度. .平面角平面角 是直角的二面角叫做是直角的二面角叫做直二面角直二面角. . 当当 二面角的两个面重合时，二面角的二面角的两个面重合时，二面角的 大小为多少度？当二面角的两个面大小为多少度？当二面角的两个面

8、合成一个平面时，二面角的大小为合成一个平面时，二面角的大小为 多少度？一般地，二面角的平面角多少度？一般地，二面角的平面角 的取值范围如何？的取值范围如何？ 0 ,180 思考思考7:7:如图，过二面角如图，过二面角-l-一个一个 面内一点面内一点a a，作另一个面的垂线，垂，作另一个面的垂线，垂 足为足为b b，过点，过点b b作棱的垂线，垂足为作棱的垂线，垂足为o o， 连结连结aoao，则，则aobaob是二面角的平面角是二面角的平面角 吗？为什么？吗？为什么？ a bo o l 思考思考8:8:如图，平面如图，平面垂直于二面角垂直于二面角 的棱的棱l，分别与面，分别与面、相交于相交于o

9、aoa、 obob，则，则aobaob是二面角的平面角吗？是二面角的平面角吗？ 为什么？为什么？ l a a o o b b 理论迁移理论迁移 例例1 1 在正方体在正方体abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1中，中， 求二面角求二面角b b1 1-ac-b-ac-b大小的正切值大小的正切值. . a a a a1 1 b b c c d d b b1 1 c c1 1 d d1 1 o 60 例例2 2 如图所示，河堤斜面与水平面如图所示，河堤斜面与水平面 所成二面角为所成二面角为 ，堤面上有一条直，堤面上有一条直 道道cdcd，它与堤角的水平线，它与堤角的水平线abab的夹角的夹角 为为 ，