【精品】浙教版2018届中考数学专题复习八三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形试题

1、 三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形教学准备一. 教学目标：（1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有关概念。（2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知识进行计算、解答有关综合题。（3）培养学生的转化、数形结合、及分类讨论的数学思想的能力二. 教学重点、难点：三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基础知识、基本技能是本节的重点。难点是综合应用这些知识解决问题的能力。三. 知识要点：知识点 1 三角形的边、角关系三角形任何两边之和大于第三边；三角形任何两边之差小于第三边；三角形三个内角的和等于 180；三角形三个外角的和等于 360；三角形一个外角等于和它不相邻的两个内

2、角的和；三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。知识点 2 三角形的主要线段和外心、内心三角形的角平分线、中线、高；三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等；连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。知识点 3 等腰三角形等腰三角形的识别：有两边相等的三角形是等腰三角形；有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；三边相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60的等腰三角形是等边三

3、角形。等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；等边三角形的三个内角都等于 60。知识点 4 直角三角形直角三角形的识别：有一个角等于 90的三角形是直角三角形；有两个角互余的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。知识点 5 全等三角形定义、判定、性质知识点 6 相似三角形1 定义两对应边的比相等

4、,夹角相等相似三角形判定方法 两个对应角相等三条对应边的比相等对应边的比对应高的比 等于相似比相似三角形的性质周长比面积比 = 相似比平方知识点 7 锐角三角函数与解直角三角形视角问题常用术语 坡度方位角例题精讲例 1. （1）已知：等腰三角形的一边长为 12，另一边长为 5，求第三边长。（2）已知：等腰三角形中一内角为 80，求这个三角形的另外两个内角的度数。分析：利用等腰三角形两腰相等、两底角相等即可求得。解：（1）分两种情况：若腰长为 12，底边长为 5，则第三边长为 12。若腰长为 5，底边长为 12，则第三边长为 5。但此时两边之和小于第三边，故不合题意。因此第三边长为 12。（2）

5、分两种情况：若顶角为 80，则另两个内角均为底角分别是 50、50。若底角为 80，则另两个内角分别是 80、20。因此这个三角形的另外两个内角分别是 50、50或 80、20。说明：此题运用“分类讨论”的数学思想，本题着重考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系。例 2. 已知：如图，abc 和ecd 都是等腰三角形，acbdce90，d 为 ab 边上的一点，求证：（1）acebcd，（2）ad ae de 。a222d分析：要证acebcd，已具备 acbc，cecd 两个条件，还需 aeebc2 bd 或acebcd，而acebcd 显然能证;要证 ad ae de ，需条件dae90，

6、因为bac22245，所以只需证caeb45，由acebcd 能得证。证明：（1）dceacb90，dceacdacbacd，即acebcd，acbc，cecd，acebcd。（2）acebcd，caeb45，bacb45，dae90，ad2 ae2de2 。例 3. 已知：点 p 是等边abc 内的一点，bpc150，pb2，pc3，求 pa 的长。a分析：将bap绕点 b 顺时针方向旋转 60至bcd，即可证得bpd 为等边三角形， pcd 为直角三角形。解：bcba，将bap 绕点 b 顺时针方向旋转 60，使 ba 与 bc 重合，得bcd，连结 pd。pbcbdbp2，padc。bp

7、d 是等边三角形。bpd60。dpcbpcbpd1506090。d+ pc = 2 +3 = 1313dc pdpadc。222213【变式】若已知点p 是等边abc 内的一点，pa请试一试。，pb2，pc3。能求出bpc 的度数吗？例 4. 如图，p 是等边三角形 abc 内的一点，连结 pa、pb、pc，以 bp 为边作pbq60，且 bqbp，连结 cq（1）观察并猜想 ap 与 cq 之间的大小关系，并证明你的结论（2）若 pa：pb：pc3：4：5，连结 pq，试判断pqc 的形状，并说明理由解：（1）把abp 绕点 b 顺时针旋转 60即可得到cbq利用等边三角形的性质证abpcb

8、q，得到 apcq（2）连接 pq，则pbq 是等边三角形pqpb，apcq 故 cq：pq：pcpa：pb：pc3：4：5，pqc 是直角三角形点评：利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明例 5. 如图，有两个长度相同的滑梯（即bcef），左边滑梯的高度ac 与右边滑梯水平方向的长度 df 相等，则abcdfe_分析：abc 与dfe 分布在两个直角三角形中，若说明这两个直角三角形全等则问 题便会迎刃而解解答：在 rtabc 和 rtdef 中，bcef，acdf，abcdef，abcdef，abcdfe90，因此填 90点评：此例主要依据用所探索的直角

9、三角形全等的条件来识别两个直角三角形全等，并运用与它相关的性质进行解题例 6. 中华人民共和国道路交通管理条例规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过 70 千3 米/时”一辆小 汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边 25 米处有“车速检测仪 o”，测得该车从北偏西 60的 a 点行驶到北偏西 30的 b 点，所用时间为 1.5 秒（1）试求该车从 a 点到 b 的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速解析：（1）要求该车从 a 点到 b 点的速度只需求出 ab 的距离，在oac中，oc25 米oac906030，oa2co50 米-oc = 50 - 253由勾股定理

10、得 ca oa2222 25（米）在obc 中，boc3012533bcob。（2bc） bc 252bc（米）222253503503100933333abacbc25/秒）（2）（米）从 a 到 b 的速度为1.5（米10093米/秒69.3 千米/时69.3 千米/时0）。acb90，cdab。cdadbd，26。ab5 62 15。又acadab，ac 。62k3k，k22例 11. 已知abc中，acb90，chab，heb c，hfac。求证：（1）hef ehc；（2）hefhbc。分析：从已知条件中可以获得四边形 cehf是矩形，要证明三角形全等要收集到三个条件，有公共边 eh

11、，根据矩形的性质可知 efch，hfec。要证明三角形相似，从条件中得fhechb90，由全等三角形5 可知，hefhcb，这样就可以证明两个三角形相似。证明：hebc，hfac，cehcfh90。又acb90，四边形 cehf是矩形。efch，hfec，fhe90。又heeh，hfe ehc。hefhcb。fhechb90，hefhbc。说明：在这一题的分析过程中，走“两头凑”比较快捷，从已知出发，发现有用的信息，从结论出发，寻找解决 问题需要的条件。解题中还要注意上下两小题的“台阶”关系。培养学生良好的思维习惯。例 12. 两个全等的含 30，60角的三角板 ade和 abc如图所示放置，

12、e，a，cb三点在一条直线上，连接bd，取 bd的中点 m，连结me，mc。试判断emc是什么m样的三角形，并说明理由。de c分析：判断一个三角形的形状，可以结合所给出的图形作出假设，或许是等a腰三角形。这样就可以转化为另一个问题：尝试去证明emm c，要证线段相等可以寻找全等三角形来解决，然而图中没有形状大小一样的两个三角形。这时思考的问题就可以转化为这样一个新问题：如何构造一对全等三角形？根据已知点m是直角三角形斜边的中点，产生联想：直角三角形斜边上的中点是斜边的一半，得：mdmbma。连结 m a后，可以证明mdemac。答：emc是等腰直角三角形。证明：连接 am，由题意得，deac

13、，adab，daebac90。dab90。dab为等腰直角三角形。又mdmb，mamdmb，amdb，madm ab45。mdemac105，dma90。mdemac。dmeamc，memc。又dmeema90，amcema90。mcem。emc是等腰直角三角形。说明：构造全等三角形是解决这个问题的关键，那么构造全等又如何进行的呢？对条件的充分认识和对知识点的联想可以找到添加辅助线的途径。构造过程中要不断地转化问题或转化思维的角度。会转化，善于转化，更能体现思维的灵活性。在问题中创设以三角板为情境也是考题的一个热点。6 课后练习1. 如图，abc中，d、e分别是 ac、ab上的点，bd与 ce

14、交于点 o，给出下列三个条件：ebodco；beocdo；becd（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定abc是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明abc是等腰三角形2. （1）已知如图，在aob和cod中，o ao b，ocod，aobcod60。求证：acbd，apb60。（2）如图，在aob和cod中，oaob，ocod，aobcod，则 ac与 bd间的等量关系式为_；apb的大小为_。（3）如图，在aob和cod中，oakob，ockod（k1），aobcod，则 ac与 bd间的等量关系式为_；apb的大小为_。doooddcaccpbpapa

15、bb3. 一块直角三角形木板的一条直角边 ab长为 1.5m，面积为 1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形，请两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计的方案如图（2）。你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由。（加工损耗忽略，计算结果可保留分数）cbdbeedpaacg h f(2)f(1)4. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm3.5cm，放映的荧屏的规格为 2m2m，若放映机的光源距胶片 20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？7 5. 如图，已知mon90，等边三角形 abc 的一个顶点 a 是射线 om 上的

16、一定点，顶点 b 与点 o 重合，顶点 c 在mon 内部。（1）当顶点 b 在射线 on 上移动到 b 时，连结 ab 为一边的等边三角形 ab c （保留作图痕迹，不写111 1作法和证明）； ad = ab aq（2）设 ab 与 oc 交于点 q，ac 的延长线与 b c 交于点 d。求证： ac；111 1（3）连结 cc ，试猜想acc 为多少度？并证明你的猜想。116. 如图所示，设 a 城气象台测得台风中心在 a 城正西方向 600km 的 b 处，正以每小时 200km 的速度沿北偏东 60的 bf 方向移动，距台风中心 500km的范围是受台风影响的区域（1）a 城是否受到

17、这次台风的影响？为什么？（2）若 a 城受到这次台风的影响，那么 a 城遭受这次台风的影响有多长时间？37. （1）如图，在 rtabc 中，c90，ad 是bac 的角平分线，cab60，cd，bd32，求 ac，ab 的长（2）“实验中学”有一块三角形状的花园 abc，有人已经测出a30，ac40 米，bc25 米，你能求出这块花园的面积吗？（3）某片绿地形状如图所示，其中 abbc，cdad，a60，ab200m，cd100m，求 ad、bc 的长8. 高为 12 米的教学楼 ed 前有一棵大树 ab，如图所示8 （1）某一时刻测得大树 ab，教学楼 ed 在阳光下的投影长分别是 bc2

18、.5 米，df7.5 米，求大树ab 的高度；（2）现有皮尺和高为 h 米的测角仪，请你设计另一种测量大树 ab 高度的方案，要求：在图中，画出你设计的图形（长度用字母m，n表示，角度用希腊字母，表示）；根据你所画出的示意图和标注的数据，求出大树的高度并用字母表示9. 如图所示，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高 6 米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面 15米处要盖一栋高 20 米的新楼当冬季正午的阳光与水平线的夹角为 32时（1）问超市以上的居民住房采光是否受影响，为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼至少应相距多少米？（结果保留整数，参考数据：sin3

19、253，cos32）100练习答案1. 解：（1）或（2）已知求证abc 是等腰三角形证：先证ebodco得 oboc，得dbcecbabcacb即abc 是等腰三角形2. 证明：aob和cod为正三角形，oaob，odoc，aob60，cod60。aobboccodboc，aocbod。aocbod ，acbd。oacobd，apbaob60。（2）ac 与 bd 间的等量关系式为 acbd；apb 的大小为。（3）ac 与 bd 间的等量关系式为 ackbd；apb 的大小为 180。3. 解：方案（1）：有题意可知，deba，x 2 - x6, x = .2 7=得cdecba。1.5；方案（2）：作 bhac 于 h。deac，得bdebac。9 x 1.2 - x30376 30 ,图（1）加工出的正方形面积