Matlab数学实验论文

1、实验一 二阶微分方程的应用一、 实验课题一条光滑的细链acb，它的一部分ac位于倾角a的光滑斜面上，另一部分cb横跨斜面上的边缘c悬挂在空中，当ac的长为b，cb的长为a时，细链开始下落。1) 求细链完全脱离斜面所需的时间；2) 若斜面换成平桌，细链完全脱离斜面所需的时间；3) 若细链挂在水平光滑的钉子上时，细链完全脱离钉子所需的时间。4) 若a=2m，b=1m，a=45，0.5s后细链下落的距离是多少xab-xax二、 预备知识在动力学中，f=ma。其中f是物体所受到的力，m是物体的质量，a是物体运动的加速度，并且加速度a是距离对时间的二阶导数，即a=d2xdt2。重力加速度g为常数，由于g

2、随纬度变化不大，因此国际上将在纬度45的海平面精确测得物体的重力加速度g=9.80665m/s2作为重力加速度的标准值。三、 实验过程1) 分析这是动力学中已知作用力，求质点运动的问题。首先建立合适的直角坐标系，然后弄清楚细链的受力情况，根据牛顿第二定律列出微分方程，用matlab求解微分方程，可以得到运动距离和时间的关系。然后令运动距离为b，可以解出t的表达式。若斜面换成平桌，此时相当于a=0，带入(1)中方程即可。若细链挂在水平光滑的钉子上，此时相当于a=90，同理带入(1)中方程。若a=2，b=1，a=45，t=0.5s，代入x与t的表达式求出x的大小。2) 流程i. 表达出细链所受的力

3、f以b为坐标原点，向下为x轴建立直角坐标系。当细链的a端沿斜面上升到a1时，b端下落到b1。令bb1=x，则cb1=a+x，这时a1c=b-x。设细链单位长度重量为m，则细链a1c的重量为m(b-x)，这一重力竖直向下，并且沿斜面的分力为m(b-x)sina，这个分力阻止细链下落。悬挂部分cb1段的重量为m(a+x)。由于斜面和细链都是光滑的，他们之间的摩擦力忽略不计，所以使细链下落的力f=ma+x-m(b-x)sinii. 建立微分方程由牛顿第二定律，细链的运动方程为：f=m(a+b)gd2xdt2=ma+x-m(b-x)sin初始条件：x|t=0=0，dxdt|t=0=0iii. 用mat

4、lab解微分方程，得到x与t的关系式x=f(t)；iv. 当x=b时，细链完全脱离斜面，令f(t)=x=b，用matlab解出t的表达式。至此，（1）已解出v. 在上面得到的t的关系式中，分别将a=0和a=90代入，得到斜面换成平桌和细链挂在水平光滑的钉子上时，细链完全脱离斜面所需的时间vi. 将a=2，b=1，a=45代入，计算细链完全脱离斜面所需的时间。若所需时间t0.5s，则将t=0.5代入x与t的关系式x=f(t)中计算；若所需时间t syms a b m alpha t x g; equ=m*(a+x)-m*(b-x)*sin(alpha)=m*(a+b)/g*d2x; %列出微分方

5、程 x=dsolve(equ,x(0)=0,dx(0)=0, t); %微分方程求解 x=simple(x) %化简x=(2*sinh(t*(a*g + b*g + a*g*sin(alpha) + b*g*sin(alpha)(1/2)/(2*(a + b)2*(a - b*sin(alpha)/(sin(alpha) + 1) tr =solve(x-b,t); %x是t的线性方程 tr=simple(tr)tr =-(2*asinh(2*b*(sin(alpha) + 1)/(a - b*sin(alpha)(1/2)/2)*(a + b)/(g*(a + b)*(sin(alpha)

6、+ 1)(1/2)(2*asinh(2*b*(sin(alpha) + 1)/(a - b*sin(alpha)(1/2)/2)*(a + b)/(g*(a + b)*(sin(alpha) + 1)(1/2) tr=tr(2) %因为t0，舍去负值tr=(2*asinh(2*b*(sin(alpha) + 1)/(a - b*sin(alpha)(1/2)/2)*(a + b)/(g*(a + b)*(sin(alpha) + 1)(1/2) t1=subs(tr,alpha,0); t1=simple(t1)t1 =(2*asinh(2*b)/a)(1/2)/2)*(g*(a + b)(1

7、/2)/g t2=subs(tr,alpha,pi/2); t2=simple(t2)t2 =(asinh(4*b)/(a - b)(1/2)/2)*(2*g*(a + b)(1/2)/g t3=subs(tr,a,b,alpha,g,2,1,pi/4,9.80665); vpa(t3,4)ans =0.6286 x3=subs(x,a,b,alpha,g,t,2,1,pi/4,9.80665,0.5); vpa(x3,4)x3 = 0.5926四、 实验结果细链完全脱离斜面所需的时间t=若斜面换成平桌，细链完全脱离斜面所需的时间t1=若细链挂在水平光滑的钉子上时，细链完全脱离钉子所需的时间t

8、2=若a=2，b=1，a=45，0.5s后细链下落的距离x3=0.5926m实验二 自己编写标准正态分布函数normvalue.mfunction y = normvalue(x) fun=(x)1/sqrt(2*pi)*exp(-x.2./2); y=quadgk(fun,-inf,x);endnormvalue2.mfunction y = normvalue2( x,mu ) if nargin2|mu=0 mu=1e-16; end fun=inline(1/sqrt(2*pi)*exp(-x.2./2); y=quadl(fun,0,x,mu)+0.5;endnormvalueinv.mfunction y = normvalueinv( x )