三角形重心、外心、垂心、内心地向量表示及其性质85474

1、 实用文案三角形“四心”向量形式的充要条件应用1o 是 dabc的重心 oa ob oc 0+=;13= s= s=s若 o 是 dabc的重心，则s故d abcoa ob oc 0=+d b ocd aocd aob;u u urpgu u ur( pau u ur+ pbu u ur+ pc13 g 为dabc 的重心.=)2o 是 dabc的垂心 oa ob ob oc oc oa=;若 o 是 dabc(非直角三角形)的垂心，则s： s： s= tan a：tan b：tan cdbocdaocdaob故tan aoa tan bob tan coc 0=+3o 是 dabc的外心 |

2、 oa |=| ob |=| oc|(或oa2)ob oc=2=2：s ：s= sinboc：sinaoc：sinaob= sin2a : sin2b : sin2c若 o 是 dabc的外心则sdbocdaocdaob故sin 2aoa sin 2bob sin 2coc 0=+abacacbabccacb4o 是内心 dabc的充要条件是oa (-) = ob (-) = oc (-) = 0| ab | ba | bc | ca | cb |引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记ab, bc, ca 的单位向量为e ,e ,e ，则刚才 o 是123oa (e + e ) = ob (e

3、 + e ) = oc(e + e ) = 0dabc内心的充要条件可以写成，o 是131223dabc 内 心 的 充 要 条 件 也 可 以 是aoa bob coc 0=+。 若 o 是 dabc 的 内 心 ， 则s： s： s= a： b： cdbocdaocdaob故+= 或aoa bob coc 0 sin aoa sin bob sin coc 0+=;auuur uuur uuur uuur uuur uuur r| ab | pc+ | bc | pa+ | ca | pb = 0 puuur uuur向量 ( ab ac )(是dabc 的内心;e20)cl uuur +

4、 uuur l 所在直线过 dabc的内心 (是 bac 的角平b| ab | | ac |p分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例 1 o 是 平 面 上 的 一 定 点 ， a,b,c 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 p 满 足ab ac+ab ac)op = oa + l ()，l 0,+ 则 p 点的轨迹一定通过 dabc 的（）标准文档 实用文案（a）外心（b）内心（c）重心（d）垂心uuuruuur uuurabab解析：因为是向量 ab 的单位向量设 ab 与 ac 方向上的单位向量分别为e 和 e ， 又12op - oa = ap ，则

5、原式可化为 ap = l (e + e ) ，由菱形的基本性质知 ap 平分 bac ，那么在12dabc 中，ap 平分bac ，则知选 b.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”h是abc所在平面内任一点，点 是abc的垂心.h例 2由ha hb = hb hc = hc ha ,ha hb = hb hc hb (hc - ha) = 0 hb ac = 0 hb ach abc的垂心. （反之亦然（证略）.故 是 bc同理，hc abha例 3.(湖南)p 是abc 所在平面上一点，若 pa pb = pb pc = pc pa ，则 p 是abc 的（d ）a外心 b内心

6、c重心 d垂心解析:由 pa pb = pb pc得pa pb - pb pc = 0 .即 pb(pa- pc) = 0,即pbca = 0则 pb ca,同理pa bc, pc ab 所以 p 为 dabc 的垂心. 故选 d.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”gg例 4重心.证明 作图如右，图中gb + gc = gebe cece=gb be=gc bgced bcad bc的中点， 为连结和 ，则，为平行四边形是边上的中线.将代入=0，gb + gc = gega+ gb + gcgabc的重心.（反之亦然（证略）得=0，故 是ga+ eg ga = -ge = -2g

7、dp是abcg abc的重心所在平面内任一点. 是13例 5证明) .(pa+ pb + pcpg =pg = pa+ ag = pb + bg = pc + cg 3pg = (ag + bg + cg) + (pa + pb + pc) 是abc的重心 g=0=0，即 ag + bg + cg 3pg = pa+ pb + pcga+ gb + gc标准文档 实用文案13由此可得(pa+ pb + pc) .（反之亦然（证略）pg =uuur uuur uuur r例 6 若o 为 dabc 内一点，oa+ ob + oc = 0 ，则o 是dabc 的（）a内心b外心c垂心d重心uuur

8、 uuur uuur r uuur uuur uuur解析：由oa+ ob + oc = 0得ob +oc = -oa ，如图以 ob、oc 为相邻两边构作平行四边形，则uuur uuur uuur uuuruuur， oa = 2 oe ，同理可证其它两边上的这个性1，由平行四边形性质知ob + oc = odoe = od2质，所以是重心，选 d。(四) 将平面向量与三角形外心结合考查uuur uuur uuur例 7 若o 为 dabc 内一点， oa = ob = oc ，则o 是dabc 的（）a内心b外心c垂心d重心解析：由向量模的定义知 到dabc 的三顶点距离相等。故 是d的外

9、心 ，选 b。ooabc(五)将平面向量与三角形四心结合考查例 8已知向量，满足条件+=0，|=|=|=1，opopopopopopopopop123123123求证 p p p是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五 组第 6 题）b1 2 31证明 由已知+=-，两边平方得op op= ，-opopop1231221同理op op=op op= ，-23312p p|是正三角形.p|= ，从而p p31 2 3|=|=|p p1 2p p2 33 1op p p的中心，则显然有反之，若点 是正三角形+=0 且|=|=|.op1 2 3opopopopop123123oabc所在平面内一

10、点，即 是p p的中心.o p| 点 是正op1 2 3+=0 且|=|=|opopopopop123123例 9在abc 中，已知 q、g、h 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：q、g、h 三点共线，且 qg:gh=1:2。【证明】：以 a 为原点，ab 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设 a(0,0)、b标准文档 实用文案（x ,0）、c(x ,y )，d、e、f 分别为 ab、bc、ac 的中点，则有：122xx + x yx yxd（ ,0)、e (, )、f ( , ) 由题设可设q（ , y )、h (x , y ),112222122uuuur22 2uuur

11、2324x + x yxx y(, ) ah = (x , y )，qf = ( - , - y )yg122212332 2 224322uuurbc = (x - x , y )212uuuur uuurah bcuuuur uuurfhqegah bc = x (x - x ) + y y = 022124x (x - x )qx y = -22y14adb(x ,0)2uuur uuuurqf acuuur uuuur1qxxyqf ac = x ( - ) + y ( - y ) = 02122 2x (x - x ) y2223 y =+22122y232uuuurqh = (x

12、- , y - y ) =（x2x - x3x (x - x ) y,- )121222y122222432uuurqg = (x + x x y- , - y ) =（2x - x yx (x - x ) y, - )2112212222y1232 33x (x - x ) y632322x - x1 2x - x- ) = (3x (x - x ) y= (,-,- )261226y1221222y12632222uuuur= qh13uuuur uuur即qh =3qg ，故q、g、h三点共线，且q g：g h=1：2o、habc的外心和垂心 .求证例 10若分别是oh = oa+ ob

13、 + ochobodad cd连并延长交外接圆于 ，连结， .，ch ab，h，cd.又垂心为 ，ad ab bcah bcah cd ch ad ， ，四边形ahcd为平行四边形，标准文档 实用文案，故.oh = oa+ ah = oa+ ob + ocah = dc = do + oc著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的 2 倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.o g h例 11

14、设 、 、 分别是锐角abc的外心、重心、垂心.1求证og = oh3g是abc的重心13证明 按重心定理(oa+ ob + oc)og =1按垂心定理由此可得og = oh.oh = oa+ ob + oc3一、“重心”的向量风采uuur uuur uuur【命题 1】 g 是abc 所在平面上的一点，若 ga+ gb + gc = 0，则g 是abc 的重心如图.cpabmgacabo图图【命题 2】 已知 o 是平面上一定点， a，b，c 是平面上不共线的三个点，动点p满足uuur uuuruuur uuurl (0， ，+ ，则 p 的轨迹一定通过 abc 的重心.)op = oa +

15、 l (ab + ac)uuuruuur uuuruuur uuur)l(l()l (0， )【解析】 由题意 ap = ab + ac ，当 + 时，由于 ab + ac 表示 bc 边上的中线所在直线的向量，所以动点 p 的轨迹一定通过abc 的重心，如图.二、“垂心”的向量风采标准文档 实用文案【命题 3】是abc 所在平面上一点，若，则 是的垂心ppa pb pb pc pc pa=pabcuuur uuur uuur uuuruuur uuur uuuruuur uuuruuur uuur 同理可证【解析】 由 pa pb = pb pc ，得 pb (pa - pc) = 0 ，即

16、 pbca = 0 ，所以 pb cauuur uuur uuur uuurpc ab ， pabc p 是abc 的垂心如图.acemchpbpbaf图图o【命题 4】 已知 o 是平面上一定点， a，b，c 是平面上不共线的三个点，动点p 满足uuurabuuuruuuracuuur uuurop= oa+ uuur， (0，+ ) ，则动点 的轨迹一定通过的垂心llpabcab cos b ac coscuuurabuuuracuuurabuuuracuuuruuur bc = 0 ，【解析】 由题意ap = l uuur+ uuur，由于 uuur+ uuurab cos b ac c

17、oscab cos b ac coscuuur uuurab bcuuur uuurac bcuuuur uuuur= bc - cb = ,所以uuuruuru即0表示垂直于 bc 的向量，即 点在过点 且appauuur+ uuurab cos b ac cosc垂直于 bc 的直线上，所以动点 p 的轨迹一定通过abc 的垂心，如图.三、“内心”的向量风采【 命 题 5 】 已 知 i 为 abc 所 在 平 面 上 的 一 点 ， 且 ab = c ， ac = b ， bc = a 若uur u ur u uraia+bib+cic = 0，则 i 是abc 的内心cboacpiba

18、acb标准文档 实用文案图图uur uur uuur uur uur uuuru ur uuur uuur【解析】 ib = ia+ ab ， ic = ia+ ac ，则由题意得(a + b + c)ia + bab + cac = 0，uuur uuurab acuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurbab + cac = ac ab + ab ac = ac ab uuur + uuurab ac，uuur uuurab acuuur + uuurab acuuurabuuuracuurai =uuur uuur和 ac 方向上的单位向量，bca

19、+ b + c uuur 与 uuur 分别为 ababacuur ai 与bac 平分线共线，即 ai 平分bac 同理可证： bi 平分abc ，ci 平分acb 从而 i 是abc 的内心，如图.【命题 6】 已知 o 是平面上一定点， a，b，c 是平面上不共线的三个点，动点p 满足uuur uuurab acuuur uuurr + uuur ， + ) ，则动点 p 的轨迹一定通过abc 的内心l (0，op = oa+ l uuuab acuuur uuurab acuuuruuur表示bac 的平分线所在直线【解析】 由题意得r + uuur ，当l + ) 时， apap =

20、 l uuu (0，ab ac方向的向量，故动点 p 的轨迹一定通过abc 的内心，如图.四、“外心”的向量风采uuuur uuuur uuuur【命题 7】 已知o 是abc 所在平面上一点，若oa2，则o 是abc 的外心2= ob= oc2bcpmboacao标准文档 实用文案图图uuur uuur uuuruuuroauuurobuuuruuur uuur uuur， oa = ob = oc ，则 是oc222=2=2=oabc【命题 7】 已知 o 是平面上的一定点， a，b，c 是平面上不共线的三个点，动点 p 满足uuurop，l (0，+ ) ，则动点 的轨迹一定通过=+pa

21、bc2uuur uuurob +ocuurubc)l2的向量（注意：理由见二、4 条解释。），所以 p 在 bc 垂直平分线上，动点 p 的轨迹一定通过abcoabc1已知 、 、 是平面上不共线的三点， 是三角形1 1p+2oc ),则点 一定为三角形3 2边中线的三等分点（非重心）c.重心边的中点1 1abm+op，由3 22标准文档 实用文案= 3om + 2mc，即点 为三角形中ab边上的中线的一个三等分点，且p3op，2mp = mc3p点 不过重心，故选 b.uuuuur uuuuuur uuuuuur uuuuur uuuuuurbc ob ca oc22在同一个平面上有 dab

22、c 及一点满足关系式：2o a222uuuuuur2，则为dabc的（ d ）c 重心 d 垂心ab 外心 内心uuur uuur uuur2已知abc 的三个顶点 a、b、c 及平面内一点 p 满足： pa+ pb + pc = 0 ，则 p 为dabc 的（ c ） 外心3已知 o 是平面上一 定点，a、b、c 是平面上不共线的三个点，动点 p 满足：（ c ） 内心c 重心d 垂心op = oa+ l (ab + ac)，则 p 的轨迹一定通过abc 的 外心 内心 c 重心 d 垂心4已知abc，p 为三角形所在平面上的动点，且动点 p 满足：uuur uuur uuur uuur u

23、uur uuurpa pc + pa pb + pb pc = 0，则 p 点为三角形的（ d ） 外心 内心c 重心d 垂心uuuruuuruuur5已知abc，p 为三角形所在平面上的一点，且点 p 满足：a pa+ b pb + c pc = 0 ，则 p 点为三角形的 外心（ b ） 内心c 重心d 垂心6在三角形 abc 中，动点 p 满足：ca2 = cb2 - 2abcp，则 p 点轨迹一定通过abc 的：（ b ） 外心 内心 c 重心d 垂心abacab ac 1= , 则abc 为( )7.已知非零向量ab与ac满足(+)bc=0 且 2|ab| |ac|ab| |ac|a

24、.三边均不相等的三角形b.直角三角形c.等腰非等边三角形d.等边三角形标准文档 实用文案uuurabuuurac解析：非零向量与满足 (abc， ab ac= ，又uuur + uuur )=0 ，即角| ab | | ac |的平分线垂直于uuur uuurab ac1paabcd为等边三角形，选 ， = ，所以cos a = uuur uuur =2| ab | | ac |38.dabc的外接圆的圆心为 o，两条边上的高的交点为 h，oh m=(oa+ ob + oc)，则实数 m =19.点 o 是dabc 所在平面内的一点，满足 oaob = ob oc = oc oa ，则点 o

25、是dabc 的（b）（a）三个内角的角平分线的交点（c）三条中线的交点（b）三条边的垂直平分线的交点（d）三条高的交点10. 如图 1，已知点 g 是dabc 的重心，过 g 作直线与 ab，ac 两边分别交于 m，n 两点，且uuuuv uuuvam = xab，uuuvuuuv1 1，则an = yac+ = 3 。x yuuuv uuuv uuuvo点 g 是dabc 的重心，知ga+ gb + gc = ，证uuuv uuuv uuuvuuuv uuuvuuuvuuuv uuuv1得-ag + (ab - ag) + (ac - ag) = ，有o。又 m，n，g 三点共线（a 不在直

26、线ag = (ab + ac)3mn 上），uuuvuuuuvuuuvm ( l m 1)l ml于是存在 , ，使得 ag = am + an+ =且，uuuvuuuvuuuvuuuv uuuv(ab + ac)13lm有 ag = xab + yac =，l m 1 + =1 1得，于是得+ = 3 。x y13l mx = y =标准文档 实用文案1、课前练习1.1 已知 o 是abc 内的一点，若222oa = ob = oc，则 o 是abc 的 d、内心a、重心b、垂心c、外心( ) ( )1.2 在abc 中，有命题 ab - ac = bc ； ab + bc + ca = 0

27、；若 ab + ac ab - ac = 0，则abc 为等腰三角形；若 ab ac 0 ，则abc 为锐角三角形，上述命题中正确的是 a、b、c、d、例 1、已知abc 中，有1,试判断abc 的形状。ab ac+ab acab ac= 0 和=bc2 ab ac 练习 1、已知abc 中，ab = a ，bc = b ，b 是abc 中的最大角，若 a b 0 ，试判断abc的形状。4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例 2、已知 o 是abc 所在平面内的一点，满足o 是abc 的 222222oa + bc = ob + ac = oc + ab ，则标准文档 实用文案a、重心b、垂心c、外心d、内心5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题( )ab ac例 3、已知 p 是abc 所在平面内的一动点，且点 p 满足op = oa + +,l 0,l，+ ab ac 则动点 p 一定过abc 的 a、