人教A版精编高中数学必修4第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数一导学案

1、 .1.2.1.任意角的三角函数(一)学习目标 .1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.知识点一.任意角的三角函数使锐角 的顶点与原点o重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点p，作pmx轴于 m，设 p(x，y)，|op|r.思考 1.角 的正弦、余弦、正切分别等于什么？yrxryx答案.sin ，cos ，tan .思考 2.对确定的锐角 ，sin ，cos ，tan 的值是否随 p

2、点在终边上的位置的改变而改变？答案.不会.因为三角函数值是比值，其大小与点p(x，y)在终边上的位置无关，只与角 的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.思考 3.在思考 1中，当取|op|1时，sin ，cos ，tan 的值怎样表示？y答案. sin y，cos x，tan .x梳理.(1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点 o为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.(2)定义在平面直角坐标系中，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点p(x，y)，那么：y叫做 的正弦，记作 sin ，即 sin y；x叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x；yxyx 叫做 的正切，记作 tan

3、 ，即 tan (x0).对于确定的角 ，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以. .单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.知识点二.正弦、余弦、正切函数的定义域思考.对于任意角 ，sin ，cos ，tan 都有意义吗？答案.由三角函数的定义可知，对于任意角 ，sin ，cos 都有意义，而当角 的终边y在 y 轴上时，任取一点 p，其横坐标 x 都为 0，此时 无意义，故 tan 无意义.x梳理.三角函数的定义域函数名正弦函数余弦函数定义域rr2正切函数x|xr，且xk ，kz知识点三.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考.根据三角函数的

4、定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？答案.由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设 是一个任意角，它的终边与单位圆yx交于点 p(x，y)，则 sin y，cos x，tan .当 为第一象限角时，y0， x0，故 sin 0，cos 0，tan 0，同理可得当 在其他象限时三角函数值的符号，如图所示.梳理.记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.知识点四.诱导公式一思考.当角 分别为30，390，330时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？答案.它们的终边重合.由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等.梳理.诱导公式一sin( k2 )sin ，cos(

5、k2 )cos ，tan( k2 )tan. .其中 kz.类型一.三角函数定义的应用命题角度 1.已知角 终边上一点坐标求三角函数值例 1.已知 终边上一点 p(x，3)(x0)，且 cos 10x，求 sin ，tan .10解.由题意知 r|op| x9，2xrx由三角函数定义得 cos .x92又cos 10x，x10x.1010x92x0，x1.当 x1时，p(1，3)，3 3 103此时 sin ，tan 3.1011322当 x1时，p(1，3)，33 10，tan 3.13此时 sin 210(1) 32反思与感悟.(1)已知角 终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：先利用直

6、线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值.yr在 的终边上任选一点 p(x，y)，设 p到原点的距离为 r(r0)，则 sin ，cos xr.当已知 的终边上一点求 的三角函数值时，用该方法更方便.(2)当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练 1.已知角 的终边过点 p(3a，4a)(a0)，求 2sin cos 的值.解.r (3a) (4a) 5|a|.22若 a0，则 r5a，角 在第二象限，y 4a 4 x 3a 3sin ，cos ，r 5a 5 r 5a 5. .8 32sin cos 1.5

7、 5若 a0 时，r 10k， 是第四象限角，y 3k3 10101rx10kksin ，cos 10，r10k33 103 1010sin 10 cos 10 3 103 100.(2)当 k0，则 为第一象限角，r2a，3a2a3 ，2所以sin a 1cos ，2a 23aatan 3.若a0，则 为第三象限角，r2a，3a2a3 ，2所以sin a2a1cos ，23aatan 3.类型二.三角函数值符号的判断例3.(1)若 是第二象限角，则点p(sin ，cos )在(.)a.第一象限c.第三象限答案.db.第二象限d.第四象限解析. 为第二象限角，sin 0，cos 0，点p 在第

8、四象限，故选d.(2)确定下列各三角函数值的符号.7sin 182；cos(43)；tan .4解.182是第三象限角，sin 182是负的，符号是“”.43是第四象限角，cos(43)是正的，符号是“”.7 是第四象限角，47tan 是负的，符号是“”.4反思与感悟.角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三. .正切，四余弦.跟踪训练 3.(1)已知点p(tan ，cos )在第三象限，则 是第答案.二象限角.解析.由题意知 tan 0，cos 0， 是第二象限角.(2)判断下列各式的

9、符号.sin 145cos(210)；sin 3cos 4tan 5.解.145是第二象限角，sin 1450.210360150，210是第二象限角，cos (210)0，sin 145cos(210)0. 3 34 52，22sin 30，cos 40，tan 50，sin 3cos 4tan 50.类型三.诱导公式一的应用例 4.求下列各式的值.(1)sin(1 395)cos 1 110cos(1 020)sin 750；116125(2)sin costan 4.解 .(1) 原 式 sin( 4360 45)cos(3360 30) cos( 3360 23 1 160)sin(2

10、36030)sin 45cos 30cos 60sin 30 2 2 2 4621 1 6.44(2)原式sin 2 cos 22521tan(40)sin cos 0 .6652反思与感悟.利用诱导公式一可把负角的三角函数化为 0 到 2 间的三角函数，也可把大于2 的角的三角函数化为 0 到 2 间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.跟踪训练 4.求下列各式的值.253154(1)costan ；(2)sin 810tan 765cos 360.4解.(1)原式cos 8 tan 43 1cos tan 1 .4 2332. .(2)原式sin(902360)tan(452360)co

11、s 360sin 90tan 4511111.1.已知角 的终边经过点(4，3)，则cos 等于(.)4535a.b.345c.5d.答案.d解析.由题意可知x4，y3，r5，xr4所以cos .故选d.5112.cos()等于(.)61a.212b.3c.3d.22答案.c11解析.cos(663)cos(2 )cos .6233.若点p(3，y)是角 终边上的一点，且满足y0，cos ，则tan 等于(.)5334a.4b.4c.343d.答案.d33 ，52解析.cos 3 y2 3 y 5，y 16，2224y0，cos 0 时，令x24k，y7k，则有r (24k) (7k) 25k

12、，22y 7x 24r 25y 7x 24sin ，cos ，tan .r 25当k0 时，令x24k，y7k，则有r25k，24 y 7y7xsin ，cos ，tan .r25 25 x 24r1.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.2.角 的三角函数值的符号只与角 所在象限有关，角 所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.3.终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等.课时作业一、选择题1.sin(1 380)的值为(.)112a.2b.d.33c.2

13、2答案.d解析.sin(1 380)sin(360460)3sin 60 .222.已知 是第二象限角，p(x， 5)为其终边上一点，且cos x，则x 的值为(.)4a. 3b. 3d. 3c. 2. .答案.d解析.cos xrx2 x，4x52x0或 2(x5)16，x0或 x3，22x0( 是第二象限角，舍去)或 x 3(舍去)或 x 3.故选 d.3.已知 sin 0，且 tan 0，即需cos ，tan 同号，. .所以 是第一或第二象限角.11.若角 的终边与直线y3x重合且sin 0，又p(m，n)是 终边上一点，且|op|10，则mn答案.2.解析.y3x且sin 0，点p(

14、m，n)位于y3x在第三象限的图象上，且m0，n0，cos x0，sin xcos x0，y0；当x为第二象限角时，sin x0，cos x0，sin xcos x0，y2；当x为第三象限角时，sin x0，cos x0，y4；当x为第四象限角时，sin x0，sin xcos x0，y2.|sin x| |cos x| 2|sin xcos x|故函数y的值域为4，0，2.sin xcos xsin xcos x三、解答题13.化简下列各式：754(1)sin cos cos(5 )tan ；22(2)asin 810bcos 9002abtan 1 125.2232解.(1)原式sin cos cos 1210111.(2)原式asin 90bcos 1802abtan(336045)22ab2abtan 45ab2a b(ab).22222. .四、探究与拓展14.已知角 的终边上有一点 p(x，1)(x0)，且 tan x，则 sin cos .答案.0或 2解析. 的终边过点 p(x，1)(x0)，1tan .x又 tan x，x1，即 x1.222当 x1时，sin ，cos ，22因此 sin cos 0；22当 x1时，sin ，cos ，22因此 sin cos