人教A版数学必修四第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换导学案

1、.3.2简单的三角恒等变换学习目标.1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.答案.结果是cos2cos2112sin2cos2sin2.思考2.根据上述结果，试用sin，cos表示sin，cos，tan.知识点一.半角公式思考1.我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2替换，结果怎样？22222222221cos答案.cos2，cos1cos2，22222同理sinsin1cos，tan

2、cos1cos1cos.思考3.利用tan和倍角公式又能得到tan与sin，cos怎样的关系？22221cos2222221cos2sin222sincos2sinsin2cossin答案.tan，coscos2cossinsin2sintan.coscos2sin梳理2sin1cos2，.2cos1cos2，tan1cos1cos21cossin.1cossin.知识点二.辅助角公式思考1.asinxbcosx化简的步骤有哪些？答案.(1)提常数，提出a2b2得到a2b2sinxbcosx.aa2b2a2b2(2)定角度，确定一个角满足：cosaa2b2，sinba2b2(或sinaa2b2

3、，cosba2b2).一般为特殊角，等，则得到a2b2(cossinxsincosx)(或a2b2(sinsinxcosasinxbcosxa2b2sin(x).(其中tan)43cosx).(3)化简、逆用公式得asinxbcosxa2b2sin(x)(或asinxbcosxa2b2cos(x).思考2.在上述化简过程中，如何确定所在的象限？答案.所在的象限由a和b的符号确定.梳理.辅助角公式：ba例1.已知sin，3，求cos和tan.解.sin，且3，cos1sin25由cos2cos21，得cos2.类型一.应用半角公式求值45522245523.1cos1222542222553，c

4、os1cos5.21cossintan2.跟踪训练1.已知sin，且，求sin，cos和tan.解.sin，cos.又，.反思与感悟.(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论.(2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤：先化简所求的式子；观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手).83172222831517217332224221721717217sincos1cos21cos211517417，151，2222tan1tan21sin4cos41tan2sin4(1cos4)sintan4.cos类型二.三角恒等式的证明1sin4cos41sin4cos

5、4例2.求证：.1sin4cos42tan证明.要证原式，可以证明.sin4(1cos4)左边2sin2cos22sin222sin2cos22cos222sin2(cos2sin2)tan2，1tan22cos2(sin2cos2)2tan右边tan2，左边右边，原式得证.反思与感悟.证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、.1sincos22222221tan21tan2.“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌

6、握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.sin111跟踪训练2.证明：tan.2tan11tan2证明.左边2tan1tan2122tan22tan1222221tan22tan1tan2tan121tan12222例3.已知函数f(x)3sin2x2sin2x(xr).解.(1)f(x)3sin(2x)2sin2x3sin2x1cos2x23sin2xcos2x12sin2x12sin2x1，f(x)的最小正周期为t2.2222tan211tan右边，原等式成立.类型三.利用辅助角公式研究函数性质612(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.612121

7、2121221212632.(2)当f(x)取得最大值时，sin2x1，有2x2k，即xk(kz)，所求x的集合为x|xk，kz.跟踪训练3.已知函数f(x)cosxcosx，g(x)sin2x.解.(1)f(x)cosxsinxcosxsinxcos2xsin2x1cos2x3(1cos2x)cos2x，f(x)的最小正周期为t2.(2)h(x)f(x)g(x)cos2xsin2x.353212512反思与感悟.(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角

8、的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.113324(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)f(x)g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合.33221122134488112421122cos2x，224当2x2k(kz)时，h(x)有最大值.此时x的取值集合为x|xk，kz.8242类型四.三角函数在实际问题中的应用例4.如图，abcd是一块边长为100m的正方形地皮，其中ast是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点p在st上，相邻两边cq、cr正好落在正方形的边bc、cd上，求矩形停车场pqcr面积

9、的最大值和最小值.解.如图连接ap，设pab(090)，延长rp交ab于m，则sincost218100(t)2950.则am90cos，mp90sin.所以pqmb10090cos，prmrmp10090sin.所以s矩形pqcrpqpr(10090cos)(10090sin)100009000(sincos)8100sincos.令tsincos(1t2)，2.t21所以s矩形pqcr100009000t81002102910故当t9时，s矩形pqcr有最小值950m2；当t2时，s矩形pqcr有最大值(1405090002)m2.反思与感悟.此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，有

10、利于表示所需线段，其次要确定角的范围.跟踪训练4.某工人要从一块圆心角为45的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图).解.连接oc，设cob，.s矩形abcdabbc(1cos2)sin2(sin2cos2)2cos(245).2则00，cos24443a.b.c.d.答案.bcos2sin2解析.coscos2sin2.1cos6.21324132523.函数f(x)sin2x3sinxcosx在区间，上的最大值是(.).1tan2.1tan242a.1b.2c.32d.31cos2x31解析.f(x)sin2xsin2x，

11、x，52x，1sin2x，1，4.函数f(x)sinxcosx，x0，的最小值为.解析.f(x)2sinx，x0，.x，f(x)min2sin1.(1sincos)sincoscoscos2cos22sinsin2答案.c2262426366213f(x)max122，故选c.2答案.1424444225.化简：.(180360)22cos22222解.原式4cos222222coscossinsincos22cos2.cossin2cos2coscoscoscos因为180360，所以90180，所以cos0，所以原式cos.2222.22221.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，

12、而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.2.辅助角公式asinxbcosxa2b2sin(x)，其中满足：与点(a，b)同象限；tan(或sinbab，cosa2b2aa2b2).例如sinxcosx2sinx；sinx3cosx2sinx等.25222解析.是第三象限角，cos，3.研究形如f(x)asinxbcosx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一.对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，43课时作业一、选择题1

13、tan41.若cos，是第三象限角，则等于(.)1tan11a.b.c.2d.2答案.a45.2252222222222222225cos4253102.若tan2tan，则等于(.)5sincossinsinsinsinsin5tan215553.已知1800，ar)，且f(x)的图象在y轴61122a.b.c.d.答案.a13222332163226.设acos6sin6，b2sin13cos13，c213221cos50，则有(.)a.cbac.acbb.abcd.bcaysinx在0，上是单调递增的，m5m522答案.c解析.asin30cos6cos30sin6sin(306)sin

14、24，b2sin13cos13sin26，csin25，2acb.m342m7.已知sin，cos()，则tan等于(.)3331a.1c.5或b.51d.或5m5m5答案.bm342m解析.由sin2cos21，得()2()21，.解得m0或8，当m0时，sin0，不符合.sin，cos，11221costan8.设56，cosa，则sin答案.1a2，453(5，6)，.2m0舍去，故m8，512131313sin55.13二、填空题24的值为.21cos2解析.sin244241asin1cos222.答案.34444410.函数f(x)sin(2x)22sin2x的最小正周期是.9.s

15、in220sin80sin40的值为.4解析.原式sin220sin(6020)sin(6020)sin220(sin60cos20cos60sin20)(sin60cos20cos60sin20)sin220sin260cos220cos260sin22031sin220cos220sin220333sin220cos220.4答案.解析.f(x)22sin2x22cos2x2(1cos2x).2sin2xcos2x2sin(2x)2，t.4311.已知sinsin，0，求cos的值.解.sinsinsincoscossinsinsincos.3sincos，465sin.0，365cos.

16、coscos.222422三、解答题352333334322514225236666coscossinsin6666334133452521022cosxcos2x3xx22223xx223xx3xx3xx2222223xx3xx2222sinx3xx3xx3xx222222.3xx2sinx12.求证：tantan.3xxsinsin证明.左边tantancoscossincoscossinsincoscoscoscos2sinxcoscoscoscos.13.已知cos2，22cossin2sin()解.(1)因为cos2，解得tan，因为，所以tan.(2)因为，tan，所以sin，co

17、s，2sin()554355222sinx右边.22cossin2521tan2521cossincossin2214.已知ab，那么cosacosb的最大值是，最小值是.解析.ab，.cosxcos2x原等式得证.7252(1)求tan的值；2(2)求的值.4725cos2sin27所以，1tan27所以，3432432434552cos2sin所以44314.四、探究与拓展2331答案.23cos2acos2b.(1cos2a1cos2b)1(cos2acos2b)1coscos(ab)1cos(ab)，2当cos(ab)1时，原式取得最小值.15.已知函数f(x)sinxsinx3cos2x.(2)讨论f(