人教版初一数学下册多种方法解二元一次方程

1、 16-17 下学期七年级数学期末专题复习和训练一:解一次方程组y + z = 9y = 3把 和联立成方程组为： ， 解得 ： + 2z = 3z = 65y= 3代入解得： x = 0把 yx = 0班级：姓名：= 3故原方程组的解为 y专题透析：x = 6初中数学中的一次方程组包括二元一次方程组和三元一次方程组，其中主要掌握二元一次方程，人教版的三元一次方程组属选学内容；一次方程组在解决初中各类数学问题和实际问题有着广泛的应用，甚至物理和化学科经常也常要列方程或方程组来解决问题比较容易些.解一次方程组的基本思想是“消元”，从“多元”一步一步的转化为“一元”来使问题获得解决；“消元”思想所

2、派生出的 “代入消元法”（简称“代入法”）和“加减消元法”（简称“加减法”）是两种基本解法，当然还有一些其它特殊的解法，只要我们紧紧抓住“消元”这个根本，不管用什么方法都行. 一次方程组容易与其它数学知识点串联构成一定“含金量”的综合题，是统考和中考的的高频考点.下面就解法进行说明，并配有典例解析、点评、归纳和追踪训练：点评：代入法的“变形”要注意两点：其一.选择好变形的方程，首先考虑未知数系数含 1或常数项为 0的方程来变形；其二.用含一个未知数的式子来表示另一个未知数要特别留心符号和除以系数的计算和化简. 代入法的“代入”须代入另外的方程未作为消元变形的方程才能将“三元” “二元” “一元

3、”方程.代入法的“检验”虽然不要求书面写出来，但一定要养成检验的良好习惯，以确保解答的正确性.代入法的拓展：拓展 1.整体代入消元法.3x - 2y = 5方法 1.代入法：比如：.抓住 6x = 2 3x ，把 3x视为一个整体，将方程变形为代入法的基本步骤是整理 变形 （用一个未知数表示另一个未知数） 代入（代入另一个方程消元） 求解 检验 写解.- 3y = -26 x( )y - x = 33x 2y 5 整体代入得： ，然后再进一步求解. 此法可类推！2 2y + 5 - 3y = -2=+例 1.解方程组： - 5y = 97x拓展 2.利用等式性质得出简化后的同解方程再用代入消元

4、.3x - 2y = 15分析：由于方程的未知数项的系数分别为1，- 1，将方程变形后代入方程来求解.比如： .抓住系数的特殊性利用等式性质把方程 + 同解变形为= x + 3- = -2x 3y略解：由得： y55x 5y 10 x y 2( )- 5 x + 3 = 92x = 24-=,然后化简为 - = ，然后变形代入原方程组消元求解.把代入得：7x追踪练习：x = 121.已知二元一次方程 2x- 3y = 4 .= 12y = 15= 15把 x代入解得：.用含 x 的代数式表示 y 为；. 用含 y 的代数式表示 x 为.x = 12故原方程组的解为 x = a -1y2.已知方

5、程组 得到 y 与 x 的关系式为.y 2a +1=2x - 3y - z = -155x y 2- =- y = -3例 2.解方程组：x3.已知方程组 ，如果用代入消元法解方程组，选择（填方程番号）- 4 y = 33x变形，并且用含未知数3x + 2 y + 2z = -6的式子表示未知数更好.分析：由于方程的未知数项的系数分别为1，- 1，将方程变形后分别代入方程和后组1- y + 5 = 02x - y + 2的值为4.已知二元一次方程 x，求式子.成二元一次方程组后进一步求解.= y - 3略解：由得： x25.用代入消元法解下列方程组：( )- 3 - 3y - z = -15y

6、 + z = 9把代入得： 2 y， 即( )- 3 + 2y - 2z = -6 ，即5y + 2z = 3把代入得： 3 y 2x - y + 2z = 4x = 2x + 1 = y - =y x 3 + =3x 5y 12故原方程组的解为+ y = 6=. ； . ； . ； .3xy 0( ).+ 1 - y = 6- = -7x 5y3x 10 y = -3-2 x9x + 2 y - z = 93x - y + z = 4+ 3y - z = 102x = k例 3.解方程组： 2x6.若方程组 的解 x、y的值相等，求 k 的值.x + 2 y + z = 64x + 3y =

7、 6 - k分析：三个方程都含有 3个未知数的三元一次方程组，一般采用加减法更好些；将3个方程两两组合取两组，通过加减消元同一个未知数后组成一个二元一次方程组求解.本题由于未知数 z方法 2.加减法：均为 或者-1，所以组合。组合进行加法消元.1加减法的基本步骤是整理 变形（使对应的未知数项的系数的绝对值相等） 加减（系数互为相反数用加法消元，系数相等用减法消元） 求解 检验 写解.+=略解：由 + 得： 5x 2y 14 3x - 2y = 3+ y = 10由 + 得： 4x例 1.解方程组： - 4 y = 7=由2 - 得: 3x 6 解得： x 27x分析：由于方程组中不存在直接进行

8、加减消元的未知数项，但我们发现方程的“- 4y”项的= + =把 x 2 代入得： 4 2 y 10 解得： y 2- 2y= , = + + = =把 x 2 y 2 代入得： 2 2 2 z 6 解得： z 0系数是方程的“”的系数整数倍（2倍），将方程2得到方程可以与方程进行减法消元，从而使问题得以解决.=x 2- 4y = 6略解：由2得： 6x= 2故原方程组的解为 y.= 1由 - 得： xz = 0加减法的拓展：整体加减消元法.= 1y = 0把 x代入解得：x = 1故原方程组的解为 x + y = 5= 0y+ z = 6( )例.解方程组： y3 x - 132+ y =z

9、+ x = 72例 2.解方程组： 分析：本方程组中用常规的加减方法来解也不算繁琐.由于本方程组每个方程都是二元一次方+ y + z程，且未知数的系数都是 1，所里我们可以利用等式的性质将 3个方程相加计算出 x( )2x + 3 y + 1 = 7的的值，然后再整体消元求解更简单.略解：由 + + 得： 2x3x + 2y = 6+ 2y + 2z = 18x + y + z = 9，即分析：将方程组整理成一般形式 ，由于此方程组不存在直接进行加减消元的2x 3y = 4+=由 - 得： z 4 ，由 - 得： x 3 ，由 - 得： y 2 .=未知数项；若我们选择含“ y ”的未知数项进

10、行消元，找出最小公倍数将方程和方程同时变形使“ y ”未知数项系数绝对值相等，然后用加减消元法进行解答.由于本题整理后方程组的x = 3= 2故原方程组的解为 y.两个方程的未知数项系数的数字上来看具有“交叉对称性”，还可以利用等式的性质直接加减得出的同解方程组成方程组来解答比较简单.下面我们共同来赏析.z = 43x + 2y = 6点评：加减法解方程组若需要“变形”后再加减，也要注意两点：其一.选择变形的方程，首先考虑两个方程的系数成整数倍关系的对应未知数项来切入，然后将其中一个方程变形；其二.方程在略解：将方程组整理成一般形式 + 3y = 42x+ 5y = 10由 + 得： 5x进行

11、变形时每一项都不要漏乘（或漏除）.另外在进行减法消元时的对应项的本身的符号不要弄丢了，用加减法将“三元” 转化为“二元”时，两两组合进行加减消元要消去同一个未知数，除此之外，要注意一些加减法中的特殊解法，比如整体加减消元法比常规加减法显得更简捷，.x + y = 2- y = 2由 - 得： x由 + 得：2x = 4 ，解得： x= 0= 2 .由 - 得：2y，解得：y = 0 .追踪练习： = 3k = 33 = 9, y = 4 3 = 12x = 12x + 3y = 1所以 x.1.解方程组 用加减消元法消去 y 应为（ ）-6 y =7b.3x故原方程组的解为 2 -3 - 22

12、 +8x + 9 y = 233 + 2=a.c.d.y 0 : = :x y 3 2y = x - 32.已知方程组 和为 ，采用较为简便的解法应是 （ ）+ 5y = -917x -6 y = 74a.均用代入法 b.均用加减法 c.用代入法，用加减法 d.用加减法，用代入法: = :7x例 2.解方程组： y z 5 4+ + =x y z 6621a +79b = 71分析：本方程组中的方程和都是以比例形式出现的，我们把方程和联立起来化成连比的形式，可以用设参法来解答.3.已知方程组 .求 a + b的值比较简捷的办法是：第一步是（ 横+ 21b = 2979a线上填写“+”或“-”）

13、， 得: y = 3 : 2, y : z = 5 : 4x : y : z = 15 :10 : 8，第二步将未知数系数化为1得 a + b =.略解： x设每一份为 k ，则 x= 15k , y = 10k , z = 8k.x + y = 8m- 2y = -14.若方程组 的解满足 x，则=m.= 15k , y = 10k , z = 8k15k +10k + 8k = 66k = 2；解得：把 x代入方程得：x - y = 2m5.用加减法解下列方程：= 15k = 15 2 = 30, y = 10k = 10 2 = 20, z = 8k = 8 2 = 16所以 x.x =

14、 30 x y x - 1 y + 2a + b = 3+ = 7-= 33x = y -1故原方程组的解为= .0 5.y 204 30 2+ c = 4. ；. ；. ；.b.5x - y = 5= 16x y( )3x - 2 y - 1 = -6z+ = 8b + a = 52 23m + 4n = 15方法 4.换元法：m n+在一次方程组中的几个方程中的未知数部分的式子若结构相同,可以用换元法来解比较简捷.其操作是：把这些相同结构的式子看成一个整体，再用另外的字母去代替它组成一个换元后新6.已知方程组 ，不解出 m、n，求出的值.+ 3n = 6m - n4n未知数的方程组，求解后

15、把解再返回换元的部分的式子并组成方程组，即可求出原方程组解.这种解法叫换元法，4x + y = 5ax + by = 37.已知关于 x、y 的方程组 和方程组 有相同的解，求a、b的值.ax - by = 13x - 2y = 1( ) ( )3 x + y - 2 x - y = -2例.解方程组： .( ) ( )+ y + 3 x - y = 162 x方法 3.设参法：分析：本方程组若先去括号进行整理，过程较繁琐且易出错；由于方程和方程均对应有结x + y x - y和 用另外的未知数代替它再进一步求解.在方程组中的某个方程以比例(或可化为比例)的形式出现时,可引入辅助参数消元，也称

16、为设参法.其操作是：先把以比例形式出现的方程的比值（常数值）视为一个“参数”（通常用一个字母表示），通过题中的另一个方程求出这个参数，再返回求出原方程组的未知数的值.设参法也可以称为“辅助未知数法”，+ y x - y和构相同的 x，我们可以把3a- 2b = -2+ 3b = 16+ y = a, x - y = b解：若设 x. 原方程组可变形为 ,2a x y= =a 2 + =x y 2解这个方程组得 .3 4,即例 1.解方程组： =- =x y 4 + 得： 2x 6 ；解得： x 3 ； - 得： 2 yb 42x - y = 6= -2 ；解得： y = -1 ；x = 3分析

17、：本方程组中采用“代入法”或“加减法”也不算难.因为方程是以比例形式出现，若我所以这个方程组得 .y = -1x y= = kx = 3k, y = 4k，从而可以代入方程消元求解更简捷.们设（参数），则点评：3 4“设参法”是设辅助参数来消元求解；“换元法”是通过换元的方程组来进一步求解；两种解法虽形式上不同，但都是通过另外的“未知数”来把方程组化繁为简，使解答起来显得更快捷.其根本的思想都是“转化”.x y= = kx = 3k, y = 4k.略解：设，则3 4= 3k, y = 4k把 x2 3k - 4k = 6 k = 3；解得：代入方程得： ( )追踪练习： m - n x +

18、y = 5x = 1x、y2.已知关于x、y的值.() (2a - b + c : a + 2b - c)的方程组 的解是 ，求= 2 : 3 : 41.若 a :b : c，则的值为.nx + my = 6y= 2( )2 x + y - x + y = 4 + = -2x 5y - =3x 5y 3626+ y = m, x - y = n2.已知 ；设 x，则原方程组换元为 ( )3.已知方程组 和方程组 的解相同.3x 3y - 2 x - y = 6+ax - by = -4+ = -bx ay8( )3.用设参法或换元法解下列方程组：+ 2017的值.这两个方程组的相同解是多少；.

19、求 2a ba b x y zx = 3=4 5= =( ) ( )x : y = 5 :73 m + n + 2 m - n = 36- =4.甲、乙两人同求方程 ax by 7 的整数解.甲求得一组解为 ；而乙看把7 错看成了 1 ，3 5 7. . . . =( )y 4- y = 3+ -2 m n 3m 3n 24+ =2x2a - b = 63x + y - z = 14x 1=、；求 a b 的值.求得一组解为 y = 2归纳：解法优选1.若方程组中的某方程未知数项的系数为含 1或常数项为 0，把此方程用一个未知数表示另一mx + ny = -8 (1)5.甲、乙两人同时解方程组

20、由于甲看错了方程中的m ，得到的解是mx - ny = 2 ( 2 )x = 2，乙看错了方程的n ，得到的是个未知数比较容易，表示的式子也较简单，此时我们选择代入法来解.2.若方程组中的两个方程对应的未知数项的系数绝对值相等，可以用加减法直接消元；若对应项的系数成整数倍关系，我只需要把一个方程变形来使对应项系数的绝对值相等，所以此时我们选用加减法消元来解.x = 4，试求正确m、n的值.y = 2y = 53.若方程组中的某个方程以比例(或可化为比例)的形式出现时,可以用“设参法”解比较简捷.4.若方程组中的几个方程中的未知数部分若出现结构相同的式子时,可以用换元法来解较简捷.-a、b6.若单项式 x - y + 与单项式 3x y + 是同类项，试求正确的值.2a b a b42b 2( ) ( )5.注意利用等式的性质将方程组进行同解变形后的简化了的方程或组成的方程组来解方程组.6.如果方程组没有以上几种特征，一般我们要选用加减法进行解答比其它方法好些.+ +7.若 a 2b 4