专题_分式运算中的常用技巧

1、初中数学专题：分式运算中的常用技巧编稿老师徐文涛一校雪二校黄楠审核敏tfll谍标罡位 【明确学习目标.高效学习.有的放矢】 一、考点突破知识点考纲要求命题角度备注分式的性质学握利用分式的基本性质进行约分和通分分式的运算综合运用1. 利用设k的方法进行分式化简与计算2. 利用公式进行分式化简与计算3. 利用整体通分的思想对分式进行化简 与计算常考二、重难点酥点：1. 掌握设参数法进行分式运算;2. 利用公式变形进行分式运算;3. 掌握甦体通分的思想方法。难点：矣选用恰当的方法解决与分式有关的问题。ini iEm讲粘练【阿听名師点拨，夯实融提升能力】删程设啓值【考点精讲】运用巳知条件，求代数式的值

2、是数学学习的重要容之一。除了常规代入求值法，还要根 据题目的特点，灵活运用恰当的方法和技巧，才能达到预期的目的。如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数，以便沟通数 量关系，设k求值，也叫做设参数法。通常是用含有字母的代数式来表示变量，这个代数 式叫作参数式，其中的字母叫做参数。参数法，是许多解题技巧的源泉。【典例精析】例题1巳知十0,求的值。345a 2b-c思賂导航：首先设知*|彳则可得a = 3k, b = 4k, c=5k,然后将其代入3d - 2Z? + ca 2b-c,即可求得答案。答案：解：设专= 2 = k (k*0),则 a=3k, b = 4k, c

3、=5k,345_3a-2h + c 3x3k-2x4k+5k 6k 3所以=a 2b c3k 2x4k5k一105点评：本题考查了运用设k值的方法求分式的值，用“设k法”表示出a、b、c可以 使运算更加简便。亠 一., tIa+ 21 3b_c 2c-a 亠 c_2b 亠十例题2 巳知a, b, c均不为0,且一-=-=-,求 一 的值。5372h + 3ac2b思路导航：仔细观察，只要a、b、c用同一个未知数表示，就可以约去分式中2b + 3a的未知数。所以，设伫f =3b_c32c- a7=k,用k来表示a、b. c,然后将其代入所a + 2b 3b_c 2c-a求的分式即可。答案：解：设

4、 则 a + 2b = 5k, 3bc=3k, 2ca = 7k, 由+得，2b + 2c=12k, /.b + c=6k, 由+，得4b = 9k,9Ab=-k,分别代入、得, 41 a= k,2151c= k,415.9;3c_2b _ 42 _ 42h + 3a+6k2 2例题3巳知匕亠叱=出，计算( + W + W)。a b cabc思路导航：设 = 7 = =k，得 b + c = ak, a+c = bk, a+b=ck;然后 abc将三式相加即可求出k的值，代入即可求值。_ b + c a + c a + b. 一答案：解：设=k,得 b + c = ak, a+c = bk,

5、a+b = ck；把这abc3个式子相加得2 (a+b+c) = (a+b+c) k若 a+b + c = 0, a+b=c, 则 k= 1若 a+b + cHO,则 k=2(a+b)(b + c)(c + a) _ ck - ak - bk _ abcabc当k= 1时，原式=1,当k=2时，原式=8。点评：用含k的代数式表示出a, b, c的值是解决本题的突破点。【总结提升】设k求值解题的基本步骤(1) 设参数k,即选择适当的参数k (参数的个数可取一个或多个)；(2) 建立含有参数的方程或代数式；(3) 消去参数，即通过运算消去参数，使问题得到解决。例：巳知一=二，求x+y + z的值。

6、a_b b_c c-aXV7解：设一v= =一 = &,干是有 x = (a-b)k9y = (b-c)k.z = (c-a)k , a - b b_c c-a所以 x + y + Z = (a b)k + (b- c)k + (c a)k = O0微课程2：活用公式变形=【考点精讲】:(a + b)2 =a2 +2ab + b2 (a-b)2 =a2-lab + b2 LJ(a-b)(a + b) = a2 b完全平方公式和平方差公式是数学中的两个重要的乘法公式，也是同学们解题时常出错 的难点。在进行运算时，若能根据公式的结构特征，选择适当的方法，灵活应用公式，可使 问题化繁为简，收到事半功

7、倍的效果，同时掌握其变形特点并灵活运用，可以巧妙地解决很 多问题。【典例精析】例题1巳知 a? 5a+1 = 0( H 0),计算/ +的值。思路导航：让等式两边同时除以a,得到“ +丄=5,然后对进行公式变形即可。 aa答案：解：因为aHO,将a2-5a+l= 0两边都除以a整理得：“ +十=5,所以/ +-y = a4 +2-a2 A +丄_2= (a2 + 丄尸2 = (a2 + 2 6/ 4-v 2)2 2acr acra cr= + 丄)2_22_2= (52-2) 2_2 = 527点评：本题既考查了对完全平方公式的变形，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含 了整体的数学思想和正确

8、运算的能力。解答本题的关键是将丄看做一个敕体代入。例題 2 计算（x +丄）（F +）（_? +4）（/ + 4）（严 +4）（疋一 1） XJTX4XX16思賂导航：将原式乘以代数式（X-丄），同时再除以代数式（X-丄），即可连续利用平方XX差公式。解：原式= 一丄）a+丄）（十+丄）（扌+4心8+丄）（严+亠）肿一丄） X XXXXXX=（X2 -亠）（疋 + -L）（X4 + 厶）（严 + l）（x16 + -L）（x2 1；r ；r x4 x5 xx= （x32-L）（X2-1）x 几jr 一 1=（宀严 1点评：在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平

9、方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。例题3巳脳+着5,求加冷的值。zfZ 思路导航：本题将的分子、分母颠倒过来，即变为求迸二/+1+丄的值，再利用公式变形求值就简单多了。答案：解：t Q = 5,二(a h) = 25 ,即 cr h= 23 , aacrR+/+2 t 1 c；=ci +1 + = 23 + 1= 24oCCaa21 a4-a2- _ 24点评：利用X和丄互为倒数的关系，沟通巳知条件与所求未知式的关系，可以使一些 X分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程更加简捷。【总结提升完全平方公式的常见变形：(1) a2 + b2= (a+b) 2 2ab,(2) a2

10、 + b2= (ab) 2 + 2ab,(3) (a+b) 2- (a-b) 2 = 4ab,(4) a2 + b2+c2= (a+b + c) 2 2 (ab + ac + bc) 平方差公式的常见变形：(1) 位直变化：(a+b) (-b + a) =- (b2-a2)；(2) 符号变化:(-a-b) (a-b) =- (a2-b2);(3) 系数变化:(3a+2b) (3a-2b) = 9a2-4b2;(4) 指数变化：(a3+b2) (a3-b2) =aG-b4;(5) 项数变化：(a + 2b c) (a-2b+c) =a2- (2b-c) 2;(6) 连用变化：(a+b) (ab)

11、 (a2+b2) = (a2b2) (a2+b2) =a4 b40微课程3:整体通分【考点精讲】分式的加减运算过程中，一般要按照运算法则同级运算从左到右计算。异分母分式加减 的运算法则是“异分母的分式相加减，先通分变为同分母的分式，然后再加减。”但对于一 些较为特殊的异分母分式加减运用此规则显得麻烦。因而需根据题型，灵活运用其法则及有 关知识进行解答。在分式计算题中，如果出现了部分整式，我们可以把整式看成一个整体进行通分，从而 最终达到解决整个问题的目的。【典例精析】例題1计算：x-l思路导航：题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求能作为整体的部分，那 么计算起来可以简便一些。对于本题

12、可以将后面的部分看做一个整体进行通分。r 亠 X* , “ x3 (x-l)(x2 +X + 1) X3X3 -1答案：解：原式=一 -(x2+x + l) = 一 一 一=x-1x-lx-lx-1 无一11OX-1点评：本题是求一个分式与一个多项式的和，若把整个多项式看作分母为1的分式， 再通分相加，可以使解法更简便。2001例題2计算：嘉一严7-宀1ci I200 16671334 j思路导航：将后三项看做分母是1,变为飞厂-:一，整理后，利用完全CI 11平方公式即可解答。答案：解:2001(严 +d和 +1原式严-11严 严1(严-1)(严+严+1)(严一1点评：本题考查分式的加减，在

13、计算过程中要注意整体思想的运用，运用分式的通分必须注意整个分于和整个分母。注意到71334与之间的关系，利用换元法，可以将问题转化为我们熟悉的形式。【总结提升】若题目为整式和分式相加减运算，可把整式看做一个整体进行通分计算。解此类题可运 用整依思想，把整式看做分母是“1”的一个整依参与计算，可达到简化目的，使计算简便。4例如：计算分式。+ 2 - 一 时，可将a + 2看做一个整体，将其分母看做“1”进行2-a通分，可使运算过程大大简化。1*同玲练习 【精选好题学以数用，趕熬打铁】(答题时间：60分钟)设k求值一、选择题1.巳知 X： 2=y： 3=z： 0.5,则一、的值是()2x-y +

14、zA.丄B. 7C. 3D.-73小卄宀迤 ,。 bed . ab + bc + cd + da _ z 、2若实数a、b、c、d满足= - = = ,则 一严 了 的值是( )A1或0B.-l或00.1或一2。1或一123.若x是一个不等干0的数，且x2-3x+l=0,则一等干()x + 3对 +111A.B.C10D. 121012二填空题4. 若二二亠0,则心+ 2 =。3 57%5. 若 2a=3b = 4c,且 abc#=0,贝1+ ” 的值是c_2b三、解答题卄 a 2a2-3ab + 2b2 “若：=二，求 ; 的值。b 72(r +ab 3b2355v-v巳知满足二求了1的值。

15、x y-z z + xy + 2z“a + b-c _u-b + c _-a + b + c + (a + b)(a + c)(b + c) 巳知=-=,求cba6.7.8.abc的值。活用公式变形一选择题4 2的结果是（ aD一2a1. 化简（亠-亠）a 2 a + 2A. -4B. 4C. 2a2巳知山+丄=3,那么山-丄的结果是（ mA. V?3设竺也=2,x+ yA 39A.25Be /5C /(3x + 2y)-(3 = (4x-y)2_(2x+2刃2 B.25D.D.3920填空题4.巳知 x2_4x+1=0,求 一的 X + JT + 15.巳知：1a -1a2+ = 6 (Ov

16、avl).则= crcr +a三解答题r 圧”幺匚七佶(6/+ l)(tz-2)aa + 6先化简，后求值：s 一-a -4/+ 4- la a-21 严S * 工-204S _ 27计算：巳知x + = 2,求帀拧-的值。.XX I XSi体通分 一选择题/一11.当a = 3时，则a-2+一的值为（）D. 6a-A. 3B. 4C. 52巳知丄一丄=丄，则卫的值是（） a b 3 a-bA. 3B. 丄C. 333.计算2 0 3的结果为（）a-a a2 +2a-6A.1-6/-a2 -46/+ 4C.a 1B -/+4 + 2 a-D百二、填空题2mnm + 2n , x2 -2x z

17、一 2x-l、(1)+； (2)-)m-n n - in n - inx -1x + 1(x2 +x + l)5. 巳知丄 _ y = ,则=a b a+ b a b三、解答题6. 计算：7. 计算：x-18. 先化简，再求值：（xy +竺）（x+y-竺），其中x=3, y=2。x-yx+y人的天取在肅干棵棄真理.昌白尼设毬值一选择题1. B 解析：设 x： 2=y： 3 = z： 0.5 = a,则可以得出：x=2a, y=3a, z=0.5a,代、x + 3y-z . 亠 2a + 9a-0.5a10.5a_入 一:一中，得原式= 一I一=-=7o2x- y + z4a -3a + 0.5

18、a.5a2. D 解析：ift = = = =k, pli b2 = ac, c2 = bd, d2 = ac=b2, a2 = bd=c2,b c d a由=k 得，a=bk,由=k 得，d = ak=bk2,由=k 得，c=dk=bk3, 再由-=k badc得，r=k,即：k4=l, k=lo 当 k=l 时，原式=1;当 k= l 时，原式=一1。 bkx23. A解析：解：设4,=k9x +3厂+1则 7=%2+3 + - = (% + -)2+1 ,k对x.X2 -3x+l = 0,x + = 3, x.-.1 = 32+1 = 10, k =丄。10 故选A。二、填空题4. 5解

19、析:由题意，i殳 x=3k, y=5k, z=7k,原式=3k + 5k + 7k3k5. -2 解析：设 2a=3b = 4c=12k (k*0),则 a=6k, b = 4k, c=3k,所以，原式=_2。三解答题6. 解：设c = 2k ,则b = 7k 原式=2)(心)(2a + 3b)(a-h)a-lb2a + 3b 2k 14k4k +1221k2527解：设一=x3 _ 5 _ 1 y-z z+x k则 x = 2k.y-z = 3k.x + z = 5k、:. y = 6k,z = 3k5x - y _ 5 x 2k - 6k _ 4k _ 1y + 2z 6k + 2x3k

20、12k3c e 5 u + b-c a-b + c -a + b + c f8解：设=k9cba则a+b = (k + l)c,a + c = (k + )b 9 b + c = (k + )ci o 由+有 2(“ + b + c)=伙 +1)(“ + Z? + c),所以（a+b+c） （k-1） = 0,故有斤=1或d + b + c = 0。当& =时，空空空也=竺竺2 = 8。abcabc当+b + c = 0时，（卄必十）（宀）=（一。）（一）（一”）=_1。abcabc活用公式变形一、选择题1. A 解析：原式=一 (a+2) + (a-2) =一4。2. D 解析：(m_丄)2

21、(加+二)2-42二=(m+丄)2_4 = 9_4 = 5,.m-丄mnimm=/5 o3. A 解析：解：V 3V2V=2,x+ y:.3x-2y = 2x + 2y ,x = 4y ,.(12)，+ 2)y_(4y 3y)2 _ (14,-1)尸 _ 195 _ 39京兀一 (16y y)2_(8y + 2y)2 (152 -102)y2 125 25二-填空题4 1?解析：解:m。,X H= 4 ,X则F = 1 =1=丄=丄 *+宀1丄+宀(“丄)24-1 15JTX宀1 (/ + 1)(/_1) /_ (-)2 =二/+丄一2 = 6-2 = 4解析：解:=；=(Icr +a a(a2 + 1)aa且由0vovl,可得a-丄0,