全等三角形 经典例题[教学文书]

1、数学期末考试范围：数学期末考试范围： 七七下：下：第第3,4,5,63,4,5,6章章 （整式的乘除、因（整式的乘除、因 式分解、分式、数据与统计图表）式分解、分式、数据与统计图表） 八八上上：第第1 1章（三角形的初步知识）章（三角形的初步知识） 第第2 2章（章（2.12.32.12.3）（等腰三角）（等腰三角 形的性质为止）形的性质为止） 1上课教育 全等三角形全等三角形 2上课教育 如如图，图，BE=CDBE=CD，1=21=2，则，则AB=ACAB=AC吗？为什吗？为什 么？么？BD=CEBD=CE吗吗? ? 3上课教育 6. 如图，如图，CDAB于于D，BEAC与与 E，BE、CD

2、交于交于O，且，且AO平分平分 BAC，求证：，求证：OB=OC 图中有几对全等三角形图中有几对全等三角形? 4上课教育 如图，已知如图，已知RtABC RtADE，ABC ADE90， BC与与DE相交于点相交于点F，连接，连接CD，EB.21 (1)图中还有几对图中还有几对全等三角形；全等三角形； (2)求证：求证：CFEF. 5上课教育 A B C P 条件：条件：AP平分平分BAC，PBAB，PCAC 0 112() 34=90 () 结结论论 ：角角平平分分线线的的意意义义 ； 垂垂直直的的意意义义 ； 2() () PBPC 结结论论 ：角角平平分分线线的的性性质质定定理理 角角平

3、平分分线线上上的的点点到到角角两两边边的的距距离离相相等等 3 () 5= 6 () PABPAC ABAC 结结论论 ： 全全等等三三角角形形的的对对应应边边相相等等 全全等等三三角角形形的的对对应应角角相相等等 1 2 3 4 5 6 6上课教育 A B D C P O 条件：条件：CD是线段是线段AB的中垂线的中垂线 1;()AOBO CDAB结结论论 ：中中垂垂线线的的意意义义 ； 2()PAPB 结结论论 ：中中垂垂线线的的性性质质定定理理 ； 3 12; 34 () PAOPBO 结结论论 ：； 全全等等三三角角形形的的对对应应角角相相等等 12 34 7上课教育 要修建一个超市要

4、修建一个超市P，要满足三个村庄，要满足三个村庄A、B、C 都到超市的距离相等都到超市的距离相等(村庄的位置形成一个三村庄的位置形成一个三 角形角形)，请问如何确定这个超市的位置，说明，请问如何确定这个超市的位置，说明 理由？理由？ A B C P P如如图图：点点 为为所所求求位位置置 8上课教育 3、有三条笔直的公路a,b,c，要修建一个水 电站O，使点O到三条公路的距离相等. 这样的点这样的点 有几个？有几个？ 各内角与外角的角平分线各内角与外角的角平分线 4个个 9上课教育 6 6、作图，你能否找出一个点，使作图，你能否找出一个点，使 它到线段它到线段ABAB两端点的距离相等，并两端点的

5、距离相等，并 且到且到CODCOD两边的距离也相等两边的距离也相等 C DO A B 10上课教育 试说明：试说明：三三角形角平分线的交点到三角形角平分线的交点到三 角形三边的距离相等角形三边的距离相等 若若三角形三条边边长分别为三角形三条边边长分别为a,b,ca,b,c， 三条角平分线的交点到三角形三条边三条角平分线的交点到三角形三条边 的距离为的距离为r r，则三角形的面，则三角形的面积积 为为_ rcba)( 2 1 11上课教育 手拉手模型手拉手模型 12上课教育 常见图形常见图形5(背靠背背靠背) 例例3：把两个含有把两个含有45角的直角三角板如图角的直角三角板如图 1放置，点放置，

6、点D在在BC上，连结上，连结BE，AD，AD 的延长线交的延长线交BE于点于点F求证求证：(1)BE=AD； (2) AFBE A F B CE D 13上课教育 变形_1: 以点A为顶点作二个等腰直角等腰直角三角三角 形形（ABC，ADE），如图所示，连接 BD，CE （1）求证：BD=CE （2）求BFC的度数 如图,已知中,BE,CF都是的高,P是BE上一点且BP=AC,Q是CF延长线上一点且CQ=AB,连接AP,AQ,QP,求证: 14上课教育 以点以点A为顶点作为顶点作二二个个等边三角形等边三角形 （ABC，ADE），连接），连接CD，连接，连接 BE. 有有哪些结论？哪些结论？ 1

7、5上课教育 变形_2: ：以点A为顶点作二个等边三角等边三角 形形（ABC，ADE），连接CD，连接 BE. （1）求证：BD=CE （2）求BFC的度数 16上课教育 已知如图，已知如图，ABC与与EDC都是等边三角都是等边三角 形，且形，且ADE在同一条直线上，若在同一条直线上，若 DBE86 则则ADB A E D C B 17上课教育 例三：已知在已知在ABC中，中，AB=AC，在，在ADE中，中， AD=AE，且，且1=2，请问，请问BD=CE吗？吗？ 2 1 图13 18上课教育 如图（如图（1 1），等边），等边ABCABC 中，中，D D是是ABAB边上的动点，边上的动点， 以

8、以CDCD为一边，向上作等边为一边，向上作等边DECDEC ，连结，连结AEAE。 1 1）试说明）试说明AEAEBCBC的理由的理由 3 3）如图（）如图（2 2），将（），将（1 1）中点）中点D D运动到边运动到边BABA的延长的延长 线上，所作仍为等边三角形。请问是否仍有线上，所作仍为等边三角形。请问是否仍有 AEAEBCBC？证明你的猜想。？证明你的猜想。 (1) E D C B A (2) E D C B A 19上课教育 如图如图, ,已知在已知在ABC中中,ABAC,ABAC,BEBE , ,CFCF 都都 是是ABC高高, ,P P 是是BEBE 上上一点一点且且BPBP=

9、=ACAC , ,Q Q 是是CFCF 延长线上一点且延长线上一点且CQCQ= =ABAB , ,连接连接 APAP , ,AQAQ , ,QPQP , ,求证求证: : （1）AP=AQ; （2）APAQ. 20上课教育 如图如图1313，已知，已知BAC=BAC=DAEDAE，1=1=2 2， BD=CEBD=CE，请说明，请说明ABDABDACEACE吗吗？为什么？为什么？ 21上课教育 如图，已知如图，已知ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BAC=90BAC=90，直角，直角 EPFEPF的顶点的顶点P P是是BCBC中点，两边中点，两边PEPE、PFPF分别交分别交ABAB、

10、ACAC 于点于点E E、F F，给出以下四个结论：，给出以下四个结论：(1)AE=CF(1)AE=CF； (2)(2)EPFEPF是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；(3) (3) ； (4)(4)当当EPFEPF在在ABCABC内绕顶点内绕顶点P P旋转时旋转时EF=AP(EF=AP(点点E E 不与不与A A、B B重合重合) )。上述结论中始终正确的有。上述结论中始终正确的有()() ABCAEPF S 2 1 S 四边形 22上课教育 截长补短法作辅助线截长补短法作辅助线 要证明两条线段之和等于第三条线段，可要证明两条线段之和等于第三条线段，可 以采取以采取“截长补短截长补短”法。法

11、。 截长法截长法，即，即在较长线段上截取一段等在较长线段上截取一段等 于两较短线段中的一条，再证剩下的一段于两较短线段中的一条，再证剩下的一段 等于另一段较短线段。等于另一段较短线段。 补短补短法法，即把两短线段补成一条，再即把两短线段补成一条，再 证它与长线段相等。证它与长线段相等。 23上课教育 如如图，在四边形图，在四边形ABCD中，中，AB/DC，BE， CE分别平分分别平分ABC，BCD，且点，且点E在在 AD上上.求证：求证：BC=AB+DC. 常规结论有哪些：常规结论有哪些： 24上课教育 如如图，在四边形图，在四边形ABCD中，中，AB/DC，BE， CE分别平分分别平分ABC

12、，BCD，且点，且点E在在 AD上上.求证：求证：BC=AB+DC. 25上课教育 如如图，图，ABC的两条角平分线的两条角平分线BD，CE交交 于点于点O，A=60.求证：求证：CD+BE=BC. 在线段在线段BC取点取点F，使得，使得BF=BE，连结，连结OF。 结论结论1：BOE BOF， 需要证：需要证：CF=CD 你能有哪些结论？你能有哪些结论？ 角平分线，构筝形角平分线，构筝形 线段和差，截长补短线段和差，截长补短 26上课教育 如如图，图，ABC的两条角平分线的两条角平分线BD，CE交交 于点于点O，A=60.求证：求证：CD+BE=BC. 在线段在线段BA或延长线上取点或延长线

13、上取点H，使得，使得BH=BC， 连结连结OH。 结论：结论：BOH BOC 要证：要证：EH=CD 即即证：证：EOH DOC 27上课教育 如如图，图，ABC的两条角平分线的两条角平分线BD，CE交交 于点于点O，A=60.求证：求证：CD+BE=BC. 在线段在线段BA或延长线上取点或延长线上取点H，使得，使得CD=EH， 连结连结OH。 要证要证BOH BOC， 已已有条件有条件BO=BO， HBO=CBO. 原因：没有用到角平分线模型原因：没有用到角平分线模型 28上课教育 如如图，图，ABC的两条角平分线的两条角平分线BD，CE交交 于点于点O，A=60.求证：求证：CD+BE=B

14、C. 方法总结：方法总结： BE=BFBH=BC 统一模型：角平分线统一模型：角平分线轴轴对称模型对称模型 29上课教育 如如图，图，ABC的两条角平分线的两条角平分线BD，CE交交 于点于点O，A=60.求证：求证：CD+BE=BC. 想一想，你还有什么方法？想一想，你还有什么方法？ 提示：利用角平分线性质定理提示：利用角平分线性质定理. 30上课教育 例例7、已知：如图所示，、已知：如图所示，ABCD，PB和和PC分别分别 平分平分ABC和和DCB，AD过点过点P，且与，且与AB垂垂 直直 求证：求证：PA=PD E 31上课教育 在在ABC中，中，C=90，AD平分平分 BAC，DEAB

15、于于E，F在在AC上，且上，且 CF=EB ，求证：，求证： （1）BD=DF （2）AB+AF=2AE 32上课教育 0 ADBACDEABE DFA 20ABD. CFBECF DAF 如如图图：是是的的平平分分线线，于于 ， 于于 ，且且 已已知知，求求的的度度数数 A D B C F E33上课教育 变：如图，在四边形ABCD中，AC平分 BAD，CEAB于点E，ADC与ABC 互补. 求证：2AE=AD+AB 34上课教育 如如图，在图，在四边形四边形ABCD中，中，AC平分平分BAD， CEAB于点于点E，2AE=AD+AB.求求 ADC+ABC的度数的度数. 35上课教育 如图如

16、图,在四边形在四边形ABCD中中,AC平分平分 BAD,CEAB于点于点E,且且B+D=180. 求证：求证：AE=AD+BE. F 36上课教育 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点， F是AD的延长线上一点，且DF=BE. (1)求证：CE=CF; (2)若点G在AD上，且GCE=45，则 GE=BE+GD成立吗？为什么？ 37上课教育 (变式)如图，在正方形ABCD中，E是AB上 一点，点F在AD上，且EF=BE+FD. 求证：FC平分EFD. 38上课教育 在在ABC中，中，AD平分平分BAC,AB+BD=AC,求求 B: C 39上课教育 已知：如图，在ABC中，ABAC， 1=

17、2，P为AD上任一点 求证：AB-ACPB-PC。 40上课教育 倍长中线倍长中线 41上课教育 1 1. .在在ABCABC中中, ,AB=8,AC=6,AB=8,AC=6,则则BCBC上的中线上的中线ADAD的的 取值范围取值范围. . A A B BC C D E 42上课教育 1.有两边和第三边上中线对应相等的两个 三角形全等。 43上课教育 . . 1.已知：如图，在和中， ，和是和上的中线， 且 求证： ABCA B CABA B ACA CADA DBCB C ADA D ABCA B C 44上课教育 2.已知：如图AC=BD，CAD=CDA， AE是ACD的中线. 求证：B=

18、CAE 45上课教育 变式：如图，在ABC中，BD=CD=AC， E是DC的中点，求证： (1)AD平分BAE. (2)AB=2AE 46上课教育 3.如图，在四边形ABCD中，AD/BC，E是 CD的中点，连结AE，BE，BEAE.求证： AB=BC+AD. 47上课教育 4.已知：如图，AD为ABC的中线， ADB，ADC的平分线分别交AB于E、 交AC于F求证：BE+CFEF 48上课教育 5.如图，已知在ABC中，ACB=90， AC=BC，BD平分ABC交AC于点D， AEBD交BD的延长线于点E.求证： BD=2AE. F 49上课教育 50上课教育 (1)如图如图1：在四边形：在

19、四边形ABCD中，中，AB=AD， BAD=120，B=ADC=90E，F 分别是分别是BC，CD上的点且上的点且 EAF=60探究图中线段探究图中线段BE，EF，FD 之间的数量关系之间的数量关系 51上课教育 (2)如图如图2，若在四边形，若在四边形ABCD中，中，AB=AD， B+D=180E，F分别是分别是BC，CD上上 的点，且的点，且EAF= BAD，上述结论是否，上述结论是否 仍然成立，并说明理由；仍然成立，并说明理由； 52上课教育 三垂直三垂直 53上课教育 P31 EX17P31 EX17 （1）如图甲所示，在）如图甲所示，在ABC中，中， BAC=90，AB=AC，直线直

20、线m经过点经过点A， BD直线直线m，垂足为垂足为D， CE直线直线m，垂垂 足为足为E.证明：证明：DE=BD+CE. 54上课教育 (2)如图乙所示，将第（如图乙所示，将第（1）题中的条件改为）题中的条件改为 在在ABC中，中，AB=AC，D，A，E三点都在直三点都在直 线线m上，并且有上，并且有BDA=AEC=BAC=， 其中其中为任意锐角为任意锐角.请问结论请问结论DE=BD+CE是否是否 成立？若成立，请给出证明；若不成立，请成立？若成立，请给出证明；若不成立，请 说明理由说明理由. 55上课教育 P31 EX16P31 EX16 如图，过正方形如图，过正方形ABCD的顶点的顶点B作直线作直线L， 过过A，C，D作作L的垂线垂足分别为点的垂线垂足分别为点E， F，G若若AE=2，CF=6，则，则CF+AE+DG 的值为的值为 56上课教育 P30 EX12P30 EX12 如图，如图，在在ABC中，中，C=90，P、E分分 别是边别是边AB、BC上的点，上的点，D为为ABC外一外一 点点，DEBC，DE=E