必修213空间几何体表面积体积知识点

1、H体错体、台体的丧面枳埒体积必修2 1.3空间几何体的表面积、体积Sm - 2Sft （7i）J* 积:Vrtlt=Sft丧面职止农=2 + 2/体积浮*=礼宀表面积：薯=S.十S韭（S正矗.=gh 检锥体积八匕4 = SA表面积；S nr1 斗 nr + jtr/ 圆锥Y休W.4 =2前宀表血枳 E-st +倂+和（免*器） 接台体积：耳（裁=-估十s/S+SA衣面积!S = S| 4f+S#i （*餉=弓-fC+Ln =輝“+f r 岡台休积F 薛=-nlr2 rr + /2 ）h4已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体SABC （图6）,求它的表面积.分析:解:先求 SBC的面积，过点

2、S作SD丄BC,交BC于点D.因为 BC=a,SD= 、. SB2 - BD 2l2a 2 后-a - （？）=宁，所以 ssbc= 】BCSD=】a a 3a22224J3因此，四面体 S ABC的表面积S=4Xa243a2.变式训练1已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等解:设圆锥的母线长为I，因为圆柱的侧面积为.若圆柱的底面半径为r，圆柱侧面积为S,求圆锥的侧面积.S,圆柱的底面半径为 r,即S圆柱侧=S,根据圆柱的侧面积公式由于四面体SABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的SS可得：圆柱的母线（高）长为 ，由题意得圆锥的高为，又圆锥的底面半径为 r

3、，根据勾股定理，圆2町2兀r、s2锥的母线长1=+（），根据圆锥的侧面积公式得：V 2皿S圆锥侧=n rl= n+ S)2s22两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（）A.1 : 2 : 3B.1 : 7 : 19C.3 : 4 : 5D.1 : 9 : 27分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1 : 2 : 3,于是自上而下三个圆锥的体积之比为（一r h）： （2r） 2h： （3r） 3h =1 : 8 : 27,所以圆锥被分成的三333部分的体积之比为 1 :（ 8 1）:（ 27 - 8） =1

4、: 7 : 19. 答案：B3三棱锥V ABC的中截面是 A1B1C1,则三棱锥 VA1B1C1与三棱锥A A1BC的体积之比是（）A.1 : 2B.1 : 4C.1 : 6D.1 : 8分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1 : 4，将三棱锥 A A1BC转化为三棱锥 A1ABC，这样三棱锥 V A1B1C1与三棱锥A1 ABC的高相等，底面积之比为 1 : 4，于是其 体积之比为1 : 4.答案：B例2如图 乙一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm ,盆壁长涂100个这样的花盆需要多少毫为15 cm.为了美

5、化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,升油漆？（ n取3.14，结果精确到解：如图7,由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积2 2000(cm )=0.1(m ).涂100个这样的花盆需油漆：0.1 100X100=1 000 (毫升).答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆.变式训练1.有位油漆工用一把长度为50 cm,横截面半径为10 cm的圆柱形刷子给一块面积为10 m2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒 5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少？（精确到0.01秒）解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积,圆柱的侧面积为 S

6、侧=2 n rl=2 n 0.1 0.5=0.1 n m2,又圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动,圆柱形刷子每秒滚过的面积为因此油漆工完成任务所需的时间0.5 n m2,t=-0.5 二 m旦6.37少.Ji2.已知三棱锥 O ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1,OA=x , OB=y，且x+y=4，则三棱锥体积的最大 值是.分析：由题意得三棱锥的体积是1丄xy =x（4_x） = - （x-2）2+ ，由于x0,则当x=2时，三棱锥的3 26632体积取最大值-.32答案：-3例3有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm3）六角螺帽（图8）共重5.8 kg,已知底面是正六边形，边

7、长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm，问这堆螺帽大约有多少个 ？（ n取3.14）解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V=工3 X1226X10-3.14 （X10 ）2X 10疋24233956(mm )=2.956(cm ).所以螺帽的个数为 5.8 X 1 000 - (7.8 X 2.956)个52(答：这堆螺帽大约有252个.变式训练2分米，4分米，高为5分米，现以每秒3立如图9,有个水平放置圆台形容器，上、下底面半径分别为.（精确到0.01秒）方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间解：如图10,设水面的半径为图10在厶 ABG

8、中，T EH / BG,AHAGEHBG./ AH=2 分米,r -22r=1414分米.5当水面的高度为 3分米时，容器中水的体积为114 2 14876二V水=兀 : ( 一) + 一 用+4 :=立万分米,35525876二所用的时间为岛29空-36.6砂.325答：所用的时间为 36.69秒.自我测试1正方体的表面积是96,则正方体的体积是（A. 48、6B.64C.16D.96分析:设正方体的棱长为 a,贝U 6a2=96，解得a=4，则正方体的体积是a3=64.2.如图A. nB.2 nD.4 n分析:设圆锥的母线长为答案:3.正三棱锥的底面边长为27A. 一4分析：可得正三棱锥的

9、高C.3 nl，则l= 3 1 =2，所以圆锥的表面积为 S= n3，侧棱长为2 3，则这个正三棱锥的体积是（9B.-427、3C.-4h= .(2、3)2 -( 3)2=3，于是X1*1+2)=3 n .9 3D.-4V= 13 32 3 二 3344答案:19所示，圆锥的底面半径为 1,高为 3，则圆锥的表面积为（答案：D4.若圆柱的高扩大为原来的 4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的 倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的 4倍，则圆柱的体积扩大为原来的 倍.分析：圆柱的体积公式为 V圆柱=n r2h,底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也变为原来的 4倍；当圆柱的高不变，

10、底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的 42=16倍.答案：4165.图20是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA i的中点现在沿厶GFH所在平面锯掉正方体的一个 角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几？图20分析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以HA与AG、AF都垂直，即HA垂直于立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形 AGF为底面，H为顶点的一个三棱锥.解：设正方体的棱长为 a,则正方体的体积为 a3三棱锥的底面是 Rt AGF，即/ FAG为90, G、F又分别为 AD、AA i的中点，所以AF=AG= - a .所211 1 1八agf的面积为2 2a8八

11、又因AH是三棱锥的高，H又是AB的中点，所以AH=.所以锯21111掉的部分的体积为 一 a a2=a3.3 28481，所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的48486.已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S,则圆锥的底面面积是分析：如图21,设圆锥底面半径为 r,母线长为I，由题意得 2二I =2r. S解得r=、，2S，所以圆锥的底面积为7. 如图22，一个正三棱柱容器，底面边长为a,高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面,如图23,这时水面恰好为中截面，则图22中容器内水面的高度是 .Cl图22图23分析：图22中容器内水面的高度为h,水的体积为V，则V=S ABch.又图23中水组成了一个直四棱柱，其底33 3US 出BC *2a3面积为 3 S ABC，高度