广义逆矩阵及其应用

1、题目广义逆矩阵及其应用 学 院 专业通信与信息系统 学 生 学 号 第一章前言 1 第二章广义逆矩阵 2 2.1广义逆矩阵的定义 2 2.2广义逆矩阵的性质 3 第三章 广义逆矩阵的计算 12 3.1一般广义逆求解 12 3.2Moore-Penrose 广义逆 16 结论 19 第一章前言 线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵，但是对于一般线性 方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程 组的方法将不适用。为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我 们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。 广义逆矩阵在数

2、据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络 理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在 线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小范数 解。 逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是 方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。为此，人们 提出了下述关于逆矩阵的推广： （1）该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在； （2）它具有通常逆矩阵的一些性质； （3）当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。 满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。 1903年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义

3、逆矩阵的研究，他讨论了关于积 分算子的一种广义逆。1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含 蓄地提出了微分算子的广义逆。美国芝加哥的穆尔（Moore）教授在1920年提出了任意 矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。我国数学家曾远荣和 美籍匈牙利数学家冯诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和1936年对希尔伯特空间 中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆 尔（Moore）广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955年， 英国数学物理学家彭罗斯（Penrose以更明确的形式给出了与穆尔（Moore）等价的广

4、义 逆矩阵定义，因此通称为 Moore-Pe nrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了 一个新阶段。现如今，Moore-Pe nrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、 系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到 迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。 第二章广义逆矩阵 2.1广义逆矩阵的定义 一、Penrose广义逆矩阵的定义 为了推广逆矩阵的概念，我们引进了广义逆矩阵的定义，下面给出广义逆矩阵的 Moore-Pe nrose 定义。 定义2.1设矩阵A Cm n，若矩阵X Cn m满足如下四个Pen rose方程 AXA = A(i) XA

5、X = X(ii) (AX)H =AX(iii) (XA)H =XA(iv) 中的一部分或全部方程，则称 X为A的一个广义逆矩阵。 若X只满足(i)式，则X成为A的一个1-逆，可记为A1，所有满足1-逆 的X构成的集合记为A1 ；0若X满足四个方程中的第i,jL,k个方程，则称X为A的 一个tj,，k-逆，记为A(,j：k，所有满足i,j,，kh逆的X构成的集合记为 A(,j, ,k I。 二、常见广义逆定义 按照广义逆定义，分别满足一个、两个、三个和四个方程的广义逆矩阵一共有 c4，Cc3 C：=15 类，其中常见的有 a1，A1,2f，A1,2,3,4,。 定义2.2设有复矩阵A Cmn。

6、若有一个n m复矩阵X存在，使下式成立，则 称X为A的减号逆： AXA 二 A(2.1) 当A4存在时，显然A，满足上式，可见减号逆X是普通逆矩阵A，的推广；另外, 由AXA = A得 Hh (axa)h =ah， 即 ahxha 可见，当X为A的一个减号逆时，XH就是AH的一个减号逆。 定义2.3设复矩阵A Cm n，若有一个n m矩阵X，满足: AXA = A 且 XAX = X 称X为A的一个自反逆矩阵，记作为 A，满足Pen rose方程的（i），（ii）式, 所以入- A1,2。 显然，自反广义逆为减号逆的子集。对矩阵X是矩阵A的/ -逆，即X A1,若 矩阵A也是矩阵X的1-逆，即

7、A ，则X为A的一个自反逆矩阵。 定义2.4设复矩阵A Cm n，若有一个n m矩阵X，满足： AXA = A 及（AX）H =AX， 则称X为A的最小二乘广义逆，记作 AC， A_满足Penrose方程的（i），（iii）式, 所以 aA1,3。 最小二乘广义逆是用条件（AX）H -AX对减号逆进行约束后所得到的子集。 定义2.5设复矩阵A Cm n，若有一个n m矩阵X，满足： AXA = A 及（XA）H =XA， 则称X为A的最小范数广义逆，记作 Am ， Am满足Pen rose方程的（i），（iv）式, 所以 A A1,4。 显然，最小范数广义逆也是减号逆的子集。 若X满足全部四个

8、方程，则称 X为A的Moore-Penrose广义逆矩阵，记为A 。 2.2广义逆矩阵的性质 将一个非零矩阵分解为一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积，是矩阵分解理 论中的常见问题。特别是在广义逆矩阵的计算与研究中有着重要的应用。 定义2.6设矩阵（r0），如果存在一个列满秩矩阵与一个行 满秩矩阵g crn使得 A = FG , 则称上式为A的一个满秩分解。 定理2.1对任意矩阵AC幼(r0),必存在着矩阵FECrm:0,则A有满秩分解分解A二FG , 取X =Gh GGh J FhF JFh，则X满足4个Pen rose方程，所以，X是 Moore-Penrose广义逆矩阵。 设X , Y均

9、满足四个Pen rose方程，则 Hhhi_iHhhhhHH x =x AX i； =XXHAH =XXH AYAi； =XXHAHYHAH =X AX AY Hhh Hh 二XAY =XA YA Y =A Y Y hYA Y =Y 综上所诉，A 存在且唯 A 满足四个Penrose方程的所有方程，所以，A属于15类广义逆矩阵中的任意 一类。上面我们证明了 A 的存在性，所以，任意的类广义逆矩阵都是存在的 对任意的 C ,定义为 (2.4) ” + 扎，九式0 扎 = ra nkA .。 (5) (aaC并=AA。AaC)= aaC),故aaC)为幕等矩阵，又由 (a。A2 = a1 Aa。A

10、 = a。A,故a为幕等矩阵，所以 rankA = rank (AA A) _ rank(AA)_ rankA， 也即 rank (AA(1) = rankA。 同理，rank(A(1)A)=rankA。 (6)由 R(A)二 R(AA)二 R(AAA)二 R(A),得 R(AA1 ) = R(A)， 类似的，由 N(A) N(A A) N(AA A)二N(A)，得 N A A = N(A)。 又因为，r(ah ) - r(ah (a)h ) = r(aa)h)二 r(ah (a)h ah ) = r(ah )， 所以 RaQ A H)= R(AH A )。 (7)充分性：ran kA = n

11、，所以，ran k(AA0)= n，由A瓜为幕等矩阵且非奇异，易 知 A1 A = ln o 必要性：由 A0A = ln， rank(AA=n，故 rankA = n。 另一式同理可证明。 (8)充分性：R(AB) R(A), rank(AB)二 rankA ,所以，R(AB)二 R(A)。 所以存在矩阵 X，使 A 二 ABX，从而 AB(AB)(1)A = AB(AB) ABX 二 ABX 二 A。 必要性：rankA=rank AB(AB)A兰 rank(ab)兰 rankA，故 rank(AB) = rankA。 另一式同理可证明。 性质(5)逆命题仍然成立，即 定理2.4设m n复

12、矩阵A，若存在n m矩阵X，使AX为幕等矩阵，且 rank (AX ) = rankA，则矩阵 X A1 0 证明： AX 幕等，则 AX AX 二 AX，而 R(AX) R(A),又 rank(AX)二 rankA， 所以，R(AX ) = R(A)，存在矩阵Y ,使得A = AXY，有 AXA 二 AXAXY 二 AXY 二 A， 即 x a1 o 二、1,2?-逆的性质 因为在Pen rose方程(1) (2)中，A和X的位置是对称的，所以XA1,2与 A X1,2是等价的，即A和X总是互为1,2丄逆。这与通常矩阵A的逆的逆是A本 身是一样的。 定理2.5设矩阵Y,Z A1 ,又设X二Y

13、AZ ,贝U X A1,2l 证明：Y,Z A1，则 AYA二 A，AZA 二 A， AXA =AYAZA =(AYA)ZA =AZA = A， XAX 二 YAZAYAZ 二 Y( AZA)YAZ 二 YAYAZ 二 YAZ 二 X , 由上2式得，x a1,2?。 定理2.6给定矩阵A，若X ，则X A1,2?的充要条件是rankX二rankA 证明： 充分性：若X A1 ,贝U AXA二A ,且AX和XA幕等， rank (AX ) = rank(XA) = r a n=kA， 又 rankX 二 rankA，所以，rank XA 二 rankA 二 rankX。 由定理2.3得A X

14、1，所以，X Ai1,?。 必要性：X A1 ：，则 rankX _ rankA， 又X A1Z，根据X为自反广义逆，有A X1，则ran kA 一 ra nkX 所以，ran kA 二 ra nkX。 三、Moore-Penrose广义逆矩阵A 定理2.2已证明对任意矩阵A Cm n ,Moore-Penrose广义逆矩阵A存在且唯一 Moore-Pe nrose广义逆矩阵是满足全部Pen rose条件的广义逆矩阵，其必然有其 特殊性，下面给出 Moore-Penrose广义逆矩阵A的一些性质： 定理 2.7设矩阵A Cm n，则有 (1) (A ) =A ; (2) (AH) =(A )H

15、 ； (3) (AAH) =(AH) A ;(AhA)二 A (Ah); (4) A 二 Ah(AAh) ;A =(AhA) Ah ; (5) rankA 二 rankA 。 证明： (1) 由定义，A和A 的位置是对称的，即 A 是A的Moore-Penrose广义逆矩 阵，那么A就是A的Moore-Penrose广义逆矩阵，又因为(A ) 唯一，所以，(A)=A (2) 令 X =(A )H，则有 AhXAh = Ah (a+Ah =(AAtAH = Ah， xahx =(ah ah(a+ =(a+aa+=(A十H =X， (AhX H = Sh(a + H J =a=(a4aah(h =

16、ahx， (XAH H = U+H ah=Aa+=(AAH =(a +ah =xah， 根据定义，(AH) =X =(A )H。 (3) 令 X =1Ah A ,则有 (AAH X(AAh )=(AAh Iah )+a%aAh )=A(A*AH A*AAh = AaFaFaH = aah， xaahx =(ah Ta卞ah(aha+=(ah 亍a7(aah a+ Wah a aa aa潜h：aH a , (aah X h = aah (ah Ta讨=A(AtAH a+=(aa+aa+ =(aa+ = Aa+= AAtAA+=A(AtAH a+= AAh(Ah 亍a+= AAhX, X(AAh=

17、(AH )VaAh H = U+H (AtA, Ah H = A(a+a A+ = (AA+y (AA4 =(ah ；ah(a+Hah =(ah(aaHah =(ah)+a+aah =x(aah), 根据定义及Moore-Penrose广义逆矩阵的唯一性知 (AAh-X =(Ah) a 。 同理可证明，(AhA) =A (Ah) o (4) 令 X 二 Ah AAh ，则有 AXA = AAh (AAh % = AAh (A+y Aa = A(AtA H A = AA*AA*A= A， xax = ah aah aah aah = ah aah = X， ax H 二 Aah aah=aah

18、aah 4ax， (XA=AH(AAH=AH(A*H AtA = AH(AAH Ta = XA， 根据定义及Moore-Penrose广义逆矩阵的唯一性知 a =X =Ah(AAh) o 同理可证明au(Ah A) Ah o (5) ran kA = ra nk AA Ai玉 ra nk AA i玄 ra nkA ， rankA 二 rank A AA 乞 rank A A 區 rankA， 故rankA 二 rankA 。 定理2.8给定矩阵A Cm n，则有 A1,4 AA1,3 , 其中，A1,3 咗 A1,3l, A1,4 咗 A4?。 证明：设 X =A1,4 AA1,3，则 由定理

19、2.5知，X A1,2，又因为 AX = A04 AA俨 A= AA(1,3),(AX f =(AA(,3) = AAO3)= AX xa 二 a。4 AaC,3A = a。4 A， (xa =(aO4 A$ = a4A = xa 所以，X A 1,2,3,4 o 又因为A12,3,4只有一个元素，所以，X二A o 第三章广义逆矩阵的计算 广义逆矩阵在解线性方程组中有着重要作用，而利用广义逆矩阵解线性方程组首 先需要求解相对应矩阵的广义逆矩阵。 3.1 一般广义逆的求解 一、1-逆的求解 定理3.1设矩阵A Cm n，有矩阵X Cn m且X 代1，贝U A1二X Ylm-AXln-XAZ|-Y

20、,Z Cnm。(3.1) 证明：因为对任意Y,Z Cn m，令 M =X Y I m - AX Tn - XA Z，于是有 AMA 二 AXA AY lm - AX A A I XA ZA 二 A AY A - AXA A-AXA ZA 二 A 所以，M A1。 反之，任取M A0，于是有 M =M XAX - XAMAX =X M-X-M-XAX MAX - XAMAX =X M -X lm - AXln -XAMAX， 取Y = M -X，Z =MAX，贝U M有(3.1)式的表示。 所以，A1二X Ylm-AX ln-XAZ|-Y,Z Cnm。 定理3.2设矩阵A Crm n，存在可逆矩

21、阵P Cm m和Q Cn n，使 PAQ、0 0 丿 则A1中的任一矩阵可写成 Ir Q 込21 的形式，其中，Xi2 Cr心,X21 Cnr , X22CnZ，为任意矩阵 证明：设X A1，则X是n m矩阵，将X分块为: X11Xi2 (X 21X 22 其中，X1 cr r，X- Cr m，Xm cnr，X22 cn m，则 QXP PAQ 1，因为 PAQ QXP，PAQ = PAQ，所以 Ir 。|%1 X” 5 0、 11 0、 0 0 0)的满秩分解为A二FG， 其中 F Cr，G C；n，则 (1) G，F1Ai, i =1,2,4 ； (2) G1 FAi, i =1,2,3

22、； (3) G 1 F A 1,2,3, GF1A1,2,4; (4) A =G F 1,3 =G 1,4 F ; (5) A ；=G F ；=Gh GGhFh F Fh =Gh Fh AGh Fh。 证明：(1) F , G分别为列满秩和行满秩矩阵，FQF=GGO)=lr，有 AG 1 F 1 A 二 FGG 1 F 1 FG 二 Fl rlrG 二 FG = A , 所以，G 1 F 1 A1; G 2 F 1 AG 2 F 1 =G2F1FGG2F1 心GG” 心 F1 所以，G 2 F 1 A2; G 4 F 1 A G 4 F 1 FG G 4 G H 二G4G 二G4F,G 二gUa 所以，G 4 F 1 A4。 综上，G，F 1Ai, i =1,2,4。 (2) F，G分别为列满秩和行满秩矩阵，F 1 F二GG 1 = 1，有 AG 1 F 1 A = FGG 1 F 1 FG 二 Fl rlrG = FG = A， 所以，G 1 F 1