建筑力学3轴向拉伸和压缩

1、第3章轴向拉伸和压缩 一、基本要求 1熟练掌握截面法求轴力，绘轴力图。 2 掌握轴向拉、压杆的强度计算。 3 .熟练掌握轴向拉、压时的胡克定律及变形、位移计算。 4 了解弹性模量E、泊松系数 卩。 5 了解材料力学性能的主要指标。 6 熟练掌握一次超静定杆系的求解。 7掌握“用切线代替圆弧”法求简单珩架节点位移的方法。 二、内容提要 1 轴向拉伸（压缩） 的力学模型（图1） 受力特点 作用于杆件 上的外力合力的作用线与杆 件轴线重合。 变形特点 杆件产生沿 轴线方向的伸长或缩短。 2 内力 定义 在外力作用下，杆件内部各部分之间的相互作用力。根据连续 性假设，内力是连续分布于截面上的分布力系。

2、分布力系的合力（或合力 偶）简称为内力。 轴力 轴向拉压时，杆件横截面上分布力系的合力的作用线与杆件轴 线重合，故称为轴力。用符号 N表示，单位为牛顿（N）。拉力为正，压力 为负。 轴力图 表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。 3 .应力 定义杆件截面上某点处分布内力的集度称为该点处的应力P。 正应力垂直于截面的应力分量，用符号 b表示。 剪应力切于截面的应力分量，用符号 T表示。 1）拉压杆横截面上的应力 拉压杆横截面上只有正应力b，且为均匀分布，其计算公式为 N CF = A 式中N为该截面的轴力，A为横截面的面积。 正负号规定 拉应力为正，压应力为负。 2）拉压杆斜截面上的应力（如图2）

3、拉压杆任意斜截面（a面）上的应力为均匀分布，其计算公式为 m 全应力 P P 正应力 au wV/o (a T a = T COS2 a m a n P T a r a x 剪应力 Ta =d n Ta 图2 正负号规定: a 由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为 负。 -:.拉应力为正，压应力为负。 一.对脱离体内一点产生顺时针力矩的为正，反之为负。 4、材料的力学性能 1）胡克定律：（y=E 2）弹性极限（T e比例极限p、屈服极限（T s和强度极限b 3）延伸率S、断面伸缩率2。 5、拉压杆的强度条件 =N A 式中T 为杆件材料的许用应力， 塑性材料: 脆性材料:

4、二 ns nb 其中ns, nb称为安全系数。 6、拉压杆件的变形计算 1）变形 杆件受到轴向拉力时， 轴向伸长，横向缩短（如图3）;受到轴向压力 时，轴向缩短，横向伸长。 轴向绝对变形: 轴向线应变： 横向绝对变形: 横向线应变： I -| :| Z = I 二 b = Q - b b ：l NI EA 2)胡克定律的第二种形式: EA称为杆件的抗拉压刚度。 对于N或A沿杆轴线x变化的拉压杆件，其轴向变形应分段计算后再 求代数和，或按积分计算(当N与A随轴线x连续变化时)： ,1 二 N xdx I EA(x) 7、轴向拉伸或压缩的变形能 杆件在外力作用下因变形而存储的能量，称为变形能。 在

5、线弹性范围内，杆件轴向拉伸或压缩时的变形能为: n2i 2EA 变形比能 杆件单位体积内储存的变形能。 轴向拉压时的弹性变形比能为： 8、拉压超静定问题 在拉压杆件结构中，当未知约束力数多于独立的平衡方程数时，称为 超静定问题。 求解超静定问题需要综合静力平衡方程、变形协调方程和物理方程。 一般步骤如下： (1) 分析结构的约束力数和独立平衡方程数，确定超静定次数； (2) 根据结构的约束条件作出变形位移图，建立变形协调方程； (3) 根据物理条件，即变形与力的关系，将杆件变形用载荷及未知 约束力表示，并代入变形协调方程，得到补充方程，与静力平衡方程联立 解之。 三、典型例题分析 例1如图所示

6、，一变截面圆钢杆ABCD。已知Pi=20kN , P2=35kN , P3=35kN， Li=L3=300mm， L2=400mm， di=12mm， d2=16mm， d3=24mm， 弹性模量E=210GPa。试求： 1.1-1 ,11-11，及III-III截面上的轴力，并作AD杆的轴力图; 2 杆的最大正应力cmax； 3. B截面的轴向位移 Ub及AD杆的伸长 ALad ； I P3 Ni A -P 解：1 .求轴力及画轴力图 保留右边部分, 用截面法分别在1-1、11-11及III-III截面处将杆件截开, 截面处都加正方向的轴力N1-1、N2-2及N3-30图b分别表示三个保留部

7、分的 受力图。由轴向静力平衡条件，分别可求得: 叫二 R =20kN N2_2 =Pi B = -15 kN N3_3 = P- - P2 - P3 - -50kN 其中“”号的轴力表示压力。显然N-1、N2-2、N3-3分别表示了 AB、 BC、CD段杆内任意截面上的轴力，因此其轴力图如图C所示。 2. 求最大正应力 Tnax AB段： N11 -AB : AAB 3 20如03 6 3 2 二(12 10 -) 4 = 176.8 106 Pa =176.8MPa CD段： N 3_3 CD - ACD -5003 -110.5 106Pa - -110.5MPa 兀 x(24x10)2

8、4 可见最大正应力发生在 AB段，即 3. B截面的轴向位移 Ub及AD杆的伸长Mad AB段: N11 EAab 20 103 0.3 210 109 2 =2.53x10m 二(12 10 )2 BC段: -1 BC N 2 _2 12 3 -15 100.4 EAbc 210 109 j 2 = j.420“m 二(16 10 ) CD段: N 3 J3l3 EACD -50 103 0.3 210 109 2 =-1.580如 :(24 10 )2 二 max = 176.8MPa b fIbc IabIbcIcd = -0.47 10m Icd = (T.42 -1.58) 10 仁

9、-3.0 10，m =-0.3mm J AD 例2冈性梁ABC由圆杆CD悬挂在C点，B端作用集中载荷 P = 25kN，已知CD杆的直径d= 20mm许用应力160MPa试校核 C D杆的强度，并求： 1 结构的许用载荷P; 2 .若P = 50kN，设计CD杆的直径d。 解：1 .作AB杆的部分 受力图如图b所示，其平衡条 件为： ZmA = 0 2aNCD -3aP 二 0 2 (a )D d 例2图 CD N CD ?P 33 -25 103 /=119.4 106Pa =119.4MPa 二(20 10)2 CD杆的应力： 44 因为b CD 门，所以CD杆安全。 2. 许用载荷P C

10、D N CD 3P 2 二d2 十 二d2二 6 二(20 10；)2 160 106 6 二 33.5 103N =33.5kN P =33.5kN 3. 若P = 50kN,设计CD杆的直径d Ncd -CD 6P 6*50心2.44X0，m =24.4mm .二 160 106 6P 卞 取 d = 25mm 例3 由刚性杆AB及两弹性杆EC及FD组成的结构，在B端受到力 F作用。两弹性杆的抗拉压刚度分别为 E1A1和E2A2。试求杆EC和FD的 内力。 解：该结构为一次超静定，需要一个补充方程。为此，从下列三方面 来分析。 1 EA1 X jF C 1 a E2a2 -O C D （1

11、）静力方面 取脱离体如图 b所示，设两杆的轴力分别为 Fni和 Fn2。由AB杆的平衡方程Zm0，得 L2L fff L = 0 N1N2 33 （2）几何方面 由于AB杆是刚性杆，在力F的作用下绕A点转动, 杆EC和FD产生伸长。由于是小变形，可认为 C、D两点铅垂向下移动 (h) 到C 和D 点。设CCF笃,DDfJ。它们应满足以下关系: 11 V2 (i ) 这就是变形协调方程。 （3）物理方面 根据胡克定律，有: ，厂 FNia E1A1 j 二 Fn23 E2 A2 将式（j ）代入式（m）得: 2_ EiA FN2a E2 A2 (j) 由（h）、（j ）两式解出 3EiAF F

12、N1, F N2 E| A +4E2 A2 例4 如图（a）所示，为埋入土中深度为 部承受载荷P。这载荷完全由沿着木桩的摩擦力 如图（b）所示。 6E2A2F 试确定木桩的总缩短，以P, E1A1 4E2A2 l的一根等截面木桩，在顶 f所平衡，f按抛物线变化, l， E， A表示。 I I l 0 (b) f=ky 2 例4图 解：（1）求常数k。 木桩微段dy上的摩擦力： 2 dF 二 fdy = ky dy 整个木桩的摩擦力: i 2 kl3 dF jkyd 3 由平衡条件可知: 即: （2）确定木桩的总缩短量。 由图（b）可知，木桩任意截面上的轴力为： N（y）二 Jky2d3y（_y

13、）3P 杆中微段dy的缩短量为: EA d（小 所以木桩的总缩短量为: N(y)dy = EA 1 p 3 0EA|3ydy =Pl 4EA 例5 如图所示三角架，AB杆和AC杆的抗拉压刚度分别为 EiAi和 E2 A 2，试求A点的铅垂位移:.A。 O C A2 1 AC IAB 5 Ai A / / D 0 1 P A3 A4 (b) 解：（1）图解法。 由节点A的平衡方程: N AC 一 N ab cos 45 = 0 NAB Sin45 -P =0 得: AB = -.2P(拉力);Nac -P（压力） 由此可求得各杆的变形: 匚1 AB N AB1AB EiA N AC 1 AC 、2P、21 2PI EiAi PI EiA 如图