微分中值定理

1、第三章中值定理与导数应用姓名学号 1微分中值定理51验证函数y =1 n sinx在区间一，上满足罗尔定理的条件，并求出中值。6 6 12 In x, x1,2.验证函数并求出f (x)e在区间丄,3上满足拉格朗日定理的条件,1e1, 1 ：xE3,x中值。3. f (x)在!a,b I (0a0 (axb )-f ()乂af (b) -bf (a)=0 证明在(a,b)内至少存在一点，使 二。f 14.函数f (x)的导数f(x)=C(常数)，证明f (x)是关于x的一次函数。5.设f (x)在 a,b 1上连续，在(a,b )内二阶可导。连接点 A (a,f (a)与点 B(b,f (b)

2、的直线段交曲线y=f (x)于C(c,f (c)处，此处acb证明在(a,b)内至少存在一点使 f “()= 0。6.用中值定理证明不等式：(2) arctga -arctgb 勻a-b;X(1)当 x 0时，ln(1 x) ： x；1 +xa _ pa _ p(3)当 0时，有厂tg 二tg2cos -cos :7.设函数f (x)定义于0,c , f (x)存在且单调下降，f(0)=0,证明：对于0_a_b_a b _c时，有 f (a b) _ f (a) f (b)。& 设f (x)在(a,b)内可微，但无界，证明(x)在(a,b)内也无界。 2罗必塔法则1.求下列格式的极限：姓名学号

3、(1)x-Xe -e -2x.Iim；x )0 x -sin xIn (1 -x) tg(2) Iimx-ctg 兀 x(3)龙巳）（茫一 ctg2x）；2(4) Iimx ln(xsi n1);x(5)Iim (cos-)x;X八 x1 JI-(6) Iim ( arctgx )2(7) |冋(1 一x)tg 中(8) lim(1 X)； ex2.设f (x)具有二阶连续导数,且li(x)X=o, f(0)=4,求 1叫i。3.设f (x)具有二阶连续导数,且 f (0) =0,证明 g(x)=号宀0,可导，且导函数连f (0),x = 0,续。 3泰勒公式姓名学号1. 默写出：ex;sin

4、 x; cosx; (1 x)a;In(1 x)的泰勒展开式。2462m2m: ：2x x xml xm 1 X2. 求证：cosx =1( -1)(-1)COS/2!4!6!(2m)!(2m+2)!(Ou ：1).3. 将p(x)=x4 -2x3 V展开成x T的多项式。4将f（X）=（1 - X）2展开成二阶麦克劳林公式（带拉格朗日余项）5当Xo =4时，求y二、X的三阶泰勒公式（拉格朗日型）6将f（x）二xeX展开成n阶麦克劳林公式（带拉格朗日余项）=ao a1(X 1) a2(X17.已知f（X）在Xo - -1处的二阶泰勒公式为:x+21）2 R2（x），求 ao,aba2的值及 R

5、2（x）的表达式。&若 f(x)在a,b上具有 n阶导数，且 f (a) =f (b) = f (b) = f (b)= 二 f(T(b)=0,证明：必存在 -（a,b）,使 f （n）（ ）=0。9似计算sin18 ,精确到10。 4函数的单调性、极值、最值姓名学号32）上单调减少。当x=（）时,1. y =x -6x 9x 4在（）上单调增加；在（取极大值（）；当X=（）时，取极小值（）。该函数在-1 , 2上最大值为（）,最小值为（）。2. 函数y = 2x2 x x2在x =（）时，取极（）值为（）。13. y =xx在x二（）时，取极（）值为（）。xe4. y 在（）单调减少；在（）

6、单调增加。在x=（）时，取极（）值为（）。x5. y = 5-3 x2 -2x 1 在 x =（）时，取极（）值为（）。f （x）6设 f （x）为连续函数,f （0）=0 , lim2,则 f （x）在 x=0 处（）xT1 COSX（A）不可导 （B）可导且f（0） =0（C）取极大值（D）取极小值xx7.求 f(x)=(1x)e的极值2!n!&求数列1,.2,33，：n，中的最大项b9.设f (x)二asinxsin3x且f ( ) =1,问a,b取何值时f(x)在x时取极值，并323问是极大值还是极小值，并求出该极值。10求下列函数的单调区间：(1) f (x) = x4-2x2-5;

7、(2) f(x)=2sin x cos2x(0 虫x 弐2二)11.曲线 *3 =1(x0,y0)的切线与两坐标轴围成一个三角形，问切点在何处时三角形的面积最大。X212.利用函数的单调性证明：x时，n（1x） .X巧13.证明不等式：(0 乞 x 1,p1)1尹乞 xp （1 -x）p ,1.2.3. 5函数图形的凹凸性，拐点及函数图形的描绘3x y 2 x曲线y曲线姓名学号P的图形在（）上是凹的；在（）上是凸的。是该曲线的拐点。5=x3在（）上是凹的;在（）上是凸的。（）是该曲线的拐点。2xlnx ,x = 0,0,）上是凹的；在（）上是凸的。（）是该曲线的拐点。4.曲线1x1 -e的渐近

8、线为（5.曲线X亠1lx的渐近线为（6. y =f(x)在xo的某一邻域内有直到 5阶连续导数，且 (X。)= f(X。)= f(X。)=f (4)(x。)=0, f(x。)鼻0,问x =x。是否为y = f (x)的极值点？(Xo, f (Xo)是否为曲线y二f(x)的拐点？7.利用函数的凹凸性证明X + y()n(x0, y 0, x = y, n 1)。2328试决定曲线y =ax bx cx d中a,b,c,d,使得点 -2,44为驻点，1,-10为拐占八、-X3 +49设y 2 ,(1)求函数的增减区间和极值，(2)求函数图形的凹凸区间及拐点x（3）求其渐近线（4）作出其图形X10作函数y的图形。lnx6曲率姓名学号,. n1. 曲线y =sinx在点（一,1）处的曲率为（）。22. 抛物线y =4xx2在顶点处的曲率为（）。X =a（t sint）亠 3. 曲线丿在t处的曲率为（）。=a（1 _cost）4. 对数曲线二eaT在任意点处的曲率为（）。5. 求抛物线y=x2 -4x在顶点处的曲率及曲率半径。6. 求曲线y =8x在（2, 4）点处的曲率，曲率半径及曲率中心。7.求曲线= C0St 在点“=2