常用的一些求和公式

1、a1, a 1+d, a 1+2d, a 1+3d, （d为 常数 ） 称为 公差 为 d 的等差数列 . 与等差数列相应的 级数 称为等差级数，又称算术级数 通项公式 前n项和 等差中项 a1, a 1q, a 1q2, a 1q3,(q 为常数 ) 称为 公比 为 q 的等比数列 . 与等比数列相应的 级数 称为 等比级数 ，又称 几何级数 . 通项公式 前n项和 等比中项 无穷递减等比级数的和 更多地了解数列与级数： 等差数列与等差级数 ( 算术级数 ) 等比数列 等比数列的通项公式 等比数列求和公式 等比数列：a (n +1)/an=q (n N)。 (2) 通项公式：an=aix q

2、A(n -1); 推广式：an=amK qA(n -m); (3) 求和公式： Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-qAn)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q 丰 1) (q 为比值， n 为项数) (4) 性质： 若 m n、p、q N, 且 m+ n=p+q,贝H am*an=ap*aq ; 在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列. 若 m n、q N,且 m+n=2q 贝V am*an=aqA2 (5) G 是 a、b 的等比中项GA2=ab (G 工 0 ). (6) 在等比数列中，首项 a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中 an 表示等比数列的第 n

3、项。 等比数列 如果一个数列从第 2 项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做 等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q工0)。 (1) 等比数列的通项公式 是：An=A1*qA ( n 1) 若通项公式变形为 an=a1/q*qAn(n N*),当q 0时，则可把an看作自变量n的函数, 点(n,an)是曲线y=a1/q*qx上的一群孤立的点。 (2) 等比数列求和公式 ： Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-qA n)/(1-q) =(a1-a1qA n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*qA

4、n (即 A-AqAn) (前提：qz 1) 任意两项 am, an的关系为 an=amqA(n -m) ( 3)从等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式可以推出： a1 - an=a2 - an - 1=a3 - an-2=ak an-k+1 , k 1,2，,n (4)等比中项：aq - ap=aA2 , ar则为ap, aq等比中项。 记 n n=a1 - a2an,则有 n 2n- 1=(an)2n-1, n 2n+1=(an+1)2n+1 另外， 一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列； 反之，以任一 个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幕Can,则是等

5、比数列。在这个意义下， 我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 等比中项定义： 从第二项起,每一项 (有穷数列和末项除外) 都是它的前一项与后一项 的等比中项。 ( 5)无穷递缩等比数列各项和公式： 无穷递缩等比数列各项和公式：对于等比数列 的前 n 项和,当 n 无限增大时的极限, 叫做这个无穷递缩数列的各项和。 编辑本段 性质 若 m、n、p、q N*, 且 m+ n=p+ q，贝H am*an=ap*aq ; 在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. “G 是 a、b 的等比中项”“ GA2=ab (3 0)”. 若(an)是等比数列，公比为 q1 , (bn)也是等比数列

6、，公比是q2，贝U (a2n), (a3n)是等比数列，公比为q2 , q3 (can), c 是常数，(an*bn ), (an/bn)是等比数列，公比为 q1, q1q2, q1/q2。 ( 4)按原来顺序抽取间隔相等的项，仍然是等比数列。 ( 5)等比数列中,连续的,等长的,间隔相等的片段和为等比。 (6)若(an)为等比数列且各项为正，公比为 q，则(log以a为底an的对数)成等 差,公差为 log 以 a 为底 q 的对数。 (7) 等 比 数 列 前 n 项 之 和 Sn=A1(1-qAn)/(1-q)=A1(qAn-1)/(q-1)=(A1qAn)/(q-1)-A1/(q-1)

7、 (8) 数列An是等比数列，An=pn+q,则An+K=pn+K也是等比数列， 在等比数列中，首项 A1与公比q都不为零. 注意：上述公式中 AAn 表示 A 的 n 次方。 (6)由于首项为al,公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a仁qAn，它的指数 函数 y=aAx 有着密切的联系,从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。 求等比数列通项公式 an 的方法： (1)待定系数法：已知 a (n+1) =2an+3, a1=1，求an 构造等比数列 a( n+1 ) +x=2( an+x) a (n+1) =2an+x,T a ( n+1) =2an+3 / x=3 所以 a(

8、 n+1 ) +3/an+3=2 an+3 为首项为 4 ,公比为 2的等比数列，所以 an+3=a1*qA(n-1)=4*2A(n-1),an=2A(n+1)-3 编辑本段 等比数列的应用 等比数列在生活中也是常常运用的。 如：银行有一种支付利息的方式复利。 即把前一期的利息和本金加在一起算作本金， 在计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。 按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*（1+利率）A存期 等比数列小故事： 根据历史传说记载， 国际象棋起源于古印度， 至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝 时期用波斯文写的 据说，有位印度教宰相见国王自负虚浮， 决定给他一个教训 他向国王 推荐

9、了一种在当时尚无人知晓的游戏 国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围， 百无聊 赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情 国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣， 高兴之余， 他便问那位宰相， 作为对 他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐宰相开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1 粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒即每一个次 序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数，直到最后一个格子第64 格 放满为止，这样我就十分满足了 “好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宗师的这个谦 卑的请求 这 位 聪 明 的 宰 相 到 底 要求 的 是 多 少麦 粒呢

10、？ 稍 微 算一 下就 可以 得 出： 1+2+2人2+2人3+2人4+2人63=2人64 -1，直接写出数字来就是 18, 446, 744, 073, 709, 551 , 615粒，这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和！ 如果造一个宽四米, 高四米的粮仓来储存这些粮食, 那么这个粮仓就要长三亿千米, 可 以绕地球赤道 7500 圈,或在日地之间打个来回。 国王哪有这么多的麦子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西萨班达依尔的一笔 永远也无法还清的债。 18, 正当国王一筹莫展之际,王太子的数学教师知道了这件事,他笑着对国王说：“陛下, 这个问题很简单啊, 就像 1+1=2一样容易, 您怎么会被它难倒？”国王大怒： “难道你要我 把全世界两千年产的小麦都给他？”年轻的教师说：“没有必要啊,陛下。其实,您只要让 宰相大人到粮仓去,自己数出那些麦子就可以了。假如宰相大人一秒钟数一粒,数完 446，744，073，709，551，615 粒麦子所需要的时间，大约是 5800 亿年（大家可以自己用 计算器算一下！ ）。就算宰相大人日夜不停