分数计算技巧

1、分数计算技巧对于分数的混合运算， 除了掌握常规的四则运算法则外， 还应该掌握一些特殊的运算技 巧。分数计算技巧也是数学竞赛中的考点之一。1.凑整法与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算 律(如交换律、结合律、分配律)，使部分的和、差、积、商成为整数、整十数从而使运算得到简化。.12517例 1 计算(3- + 6- + l-l-8)X (2 -)13217原式=+7= 20X 2-20X 20= 40-7 = 33.14例2计算 X25 + 32t74 + 0.25X125解；1z = 4x25 + -x25+32-4 + -4 + 0.25x4 x-31=10

2、0+5 + 3 + -31 = 144.772.约分法m，丄甘62091069333337例 3 1IW 2X|1001322869106Q2620910693333372x-5-W013228691002_ 26535 10693 10602 =10013 X 22869 X333375xxlixl lixlixlX x2xlix31二_zX -: X;-xx7xilxux5x3x2 71130 77例4 计算 99X(1-1)X(1-1)XC1-1)X-X(1-A)c解=1239S原式.99X-X_X-XX-_ = 1O123-246 + 7x1421解： 原式=1x3x5 + 2x6x1

3、07x21x35IX 2X3*25 X(1X 2X3) + 7 1 1 例叭十算（扌+ * +烷尸扌+ X (1X2X 3)1 x 3x 5 -h 2rX (1 x 3 5)+ 73 X1X 3 X 5)（1X2乂 3）乂（】+ 夕+尸）（1X3X5）x（i + 23 1X2X3_ 21X3X5 V3.裂项法将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，从而简化运算。E - 2 1 1 】1 1 1讣 4汗 2 & 12 20 30 42解；百十1JL JL+26 + 67_ _丄2_1 1_1 2_1 _2=2233145十十_亍例7在自然数1100中找出10个不同的数，使这10

4、个数的倒数的和等于 1。解：这道题看上去比较复杂， 要求10个分子为1、而分母不同的分数的和等于1，似乎无从下手。但如果巧用1/n-1/（n+1） =1/n（n+1）来做，就非常简单了。因为+| +扌-”,所以可根据题中所求，添上括号。此题要求的是10个数的倒数和为1,于是做成：“ “ J k J k i i i v J J r l i 1111111111 1 1-2X3 3X4 + 4X5 + 56 67 + 7xg + 899x10 + 1011111111112 61220 30 42 5 7230 10所以，要求的 10 个数是：2、6、12、20、30、42、56、72、90、10

5、。本题的解不是唯一的，例如由1/10+1/30=1/9+1/45 可知，用9和45可以替换上面解答中的10和30，同样符合要求。4代数法计算（1*卜46(4 丄323解：通分计算太麻烦.不可取。注意到每个括号中都有1 + - + - , 111二匕斗不妨设+ 3 4 A1 则原式=（1十直）直十5-（直+ *）虫= A+ +A+H- x 3 3x 44x55x6 1 + jx-A-A2 1 55.分组法例9计算“耳吩+7存9扑洛+哙+哙+吩原式二（1+甜砕件肝11+1铢15+诃）+ （| + 46*7 7x3 + Sx? + 9xlO：1 111111111L H11)2030 4256729

6、011111 19WO1 J 11111111二 81+ f十1H1233445566=81+(-丄)2 102=幻一52)/+*+厶“+(蛍马+兰204520192020解：n的分数之和为利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。分母为- - - xfl + 2+ + (n _ 1) n iin n1 1 + (n - 1) x (n - 1) n(n D 口一12n19十2原式中分母为2-20的分数之和依次为原式 二I11 师小2222二丄 X (1+2 + 3 + 4 +“ +19)2=丄 X 190 = 9又26.些典型例题1、解:计算1 + 丄,+1*7+2 1+2 + 3 1

7、+ 2 +3 + 44R + 3+-,+20观察这些分数的分母，都是连续自然数的和，我们可以先求出分母来，再进行裂项计算。,1 1 1 W2 1*2*31 + 2 +3*4n 1 1 1=1 *(l + 2)x2(1 + 3 x 3(1 + 4) x 4+1 + 2 + 3+*201(1 + 20) x 20220x2111x22x3344x5c1 11 11 112*( 4 i 4- + -t-+ 223 34 45202x(1-202 x 211212、计算：1 I 11159719981网1 + 19?9 + 22000 + 3 + 2001+ + 99?-h2997 + 1000+29

8、8分子二十+2 3 419 濟 1993 1999_2J1+1+1+ +-L1,2 461998r i i1 r I 11 )14 亠一-I- - +-1+-+- + -.-4-I 231999J1 I. 2 3999 J1 1 , 1十十-十100010011999m111分母=+ +2000 2002 20043936 3998=2x(11 1十十-十11000 10011999J十H- +10001001 W9.(1 i 2 x + +U000 10011999J3、计畀:夕一1 ?-1 43-121 ?-1 43-120053-1其富冥 泸F + 1?4-1 半十1 20053 +1(

9、2-1)( +2十 1) ,31)(扌十了 十 1)哄毕十4十 1v (2005-1)(200 十2QQ了十 1)(2+0(，2+1)況(3+叽爭-？ + 1) X + lX43-4+l)X X (2005+ l)(S005a-5005 + 1) 1x7 z2xl3v3x21v ;ltflxl8jx(224 +324)x(34*+334)(46* +324) -44+182 + 2x43xl8-2x4a x!81x j!6*+ 3241 k 28*+32-4 jxi 404 + 324 jHO2 4-13ia-602(22*+324)x(34*+324)k (46* +324 j xi 16*+ 324 ix 1284 +324)xf40* + 334J11_ 178x58x634x370x1378x970x2110x1858 58x：0x370xl78x 970x634x1858x137824W=io-= 241练习题z 117 昇妆111 计鼻；(6665421995 3 1 ! ;13 |