前n个自然数的平方和及证明

1、23 3 23 32223323 3 2332 223323 2n2 2 22帕斯卡与前 n 个自然数的平方和十七世纪的法国数学家帕斯卡（pascal b.，1623.6.191662.8.19）想出了一个新的很妙的方法能求 出前 n 个自然数的平方和。这个方法是这样的：利用和的立方公式，我们有（n1）3n33n3n1，移项可得（n1） n 3n 3n1，此式对于任何自然数 n 都成立。依次把 n1,2，3，n1，n 代入上式可得 2 1 31 311，332332321，433333331，n （n1） 3（n1） 3（n1）1，（n1） n 3n 3n1，把这 n 个等式的左边与右边对应相

2、加，则 n 个等式的左边各项两两相消，最后只剩下（n1） 1；而 n 个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前 n 个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前 n 个自然数的和，第三列是 n 个 1。因而我 们得到（n1） 13s n3n( n +1) 2n，现在这里 s 1 2 n 。 n对这个结果进行恒等变形可得n3n23n3s n3n( n +1) 2n，2n6n6n6s 3n n23n2n移项、合并同类项可得6s 2n 3n nn（n1）（2n1）， n1s n（n1）（2n1），6即1 2 3 n 16n（n1）（2n1）。这个方法把

3、所要计算的前 n 个自然数的平方和与已知的前 n 个自然数的和及其它一些已知量通过一个方 程联系起来，然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的。前 n 个连续自然数的平方和公式的最新证明方法袁志红关于前 n 个连续自然数的平方和：12 +2 2 +3 2 +l+n 2 =16n( n +1)(2n +1) 的证明方法很多，这里不再一一列举了.为了让小学生掌握住这个公式，我现在用一种比较合适的方法， 方便孩子们理解和掌握，同时发现这个方法教学效果很好.我们先来计算：12 +2 2 +3 2 =11+22+33，即 1 个 1 与 2 个 2 与 3 个 3 的和。为此我们把这些数排列成 下面

4、等边三角形的形状的数表：12 2 3 3 3把这个等边三角形数表顺时针旋转 120 度得到数表：33 2 3 2 1再把数表顺时针旋转 120 度得到数表：32 3 1 2 3观察、三个数表对应位置的数字，看看它们之间有什么规律？不难发现：最顶层的三个数字是：1、3、3；第二行左侧三个数字是：2、3、2；第二行右侧三个数字是：2、2、3；第三行最左侧三个数字是：3、3、1；第三行中间三个数字是：3、2、2；第三行最右侧三个数字是：3、1、3.通过简单地计算发现，上面每一组数字之和都是 7.每个数表都是 6 个位置，所以三个数表数字之和：共 6 个 7，而这三个数表的数字都是一 样的（因为都是旋

5、转得到的，只是改变了位置关系，数字不变），所以每个数表数字之和 为：673.而数表中数字的个数可以这样计算：第一行排 1 个数，第二行排 2 个数；第三行排 3 个数， 所以共排了：1+2+3=6 个数字。所以 12+22+32=(1 +3 +3) (1 +2 +3) 3 =（1+23）3（3+1）6；同理 12+22+32+l+n2也可以采用上面的方法推导出来：12 23 3 3 n n n nn n n n n n顺时针旋转 120 度，得到：nn n-1n n-1 n-2n n-1 n-2 n-3 n n-1 n-2 n-3 4 3 2 1把数表再顺时针旋转 120 度，得到：nn-1 nn-2 n-1 nn-3 n-2 n-1 n 1 2 3 n-1 n三个数表对应位置数字之和都是：1+n+n=2n+1,每个数表共排数字：1+2+3+4+n=n(n+1)2,所以三个数表数字之和：（2n+1）n(n+1)2,所以每个数表数1字之和： n ( n +1)(2 n +1) .61即