1求下列向量组的秩与一个极大线性无关组概要

1、习题4.32,1,T3, _1 , ,-2-3,1,2,0T，3 11,3,T4,-2 , 一讪:= 14,-3,1,订.:-1 =1,1,T1, 1 “，2 -11, 1,-1:-3 二1,-1,T-1,1 ,鳥41-1,-1T1,11.心=1,-1,2, 4:2-I0,3,1,21 ,:3：4 := 11,-1,2, 0，: 5 二 2,1,5,61.求卜朿门呈泪闻秩匕一人横人线心无关汕:分析向量组的秩等于该向量组构成的矩阵的秩秩先把向量构成矩阵通过矩阵的初等行变换成阶梯形 它也就是该向量组的秩，而阶梯形的阶梯头所在的列对应的向量便构成该向量组的一个极 大线性无关组-13, 0, 7, 1

2、4f,所以求向量组的秩可以转化为求矩阵的,通过阶梯形便可得到矩阵的秩解(1)：24【-3-1-1-32所以该向量组的秩为2,：-2为它的一个极大线性无关组-n-1-n-1所以该向量组的秩为4,-1-1且：，2,3，4为它的一个极大线性无关组：3：4：51 =1-1所以该向量组的秩为3,2111021114且24为它的一个极大线性无关组2.计算下列向量组的秩，并判断该向量组是否线性相关(1) ：1 二 1,-1, 2,3, 4T，: 2 二3, -7, 8, 9, 13，- 1-1, -3, 0,-3,-3f,：4 = 1,-9,6, 3, 6 _=1, -3, 2,订，- 1-2, 1, 5,

3、 3,- 14,-3, 7, if,04=1-1,-11, 8, 3 ,P5 =【2,-12,30,6.-j3-11 1-13-1n-1-7-90112解虬a2 a3 a4 =2806T000039-330000-413-36 -0000 一所以该向量组的秩为2,小于向量的个数4,所以线性相关-j-24-12 11-24-12购爲爲席氏】=-31-3-11-12、015-48257830001-11-131-36 一1 100000 一所以该向量组的秩为3,小于向量的个数5,所以线性相关.3.设：1=11, 2, 一1，- 12, 4,，：七=11, , 1.（1）取何值时：1, ：2, ：3

4、线性相关？取何值时：1 ,2 , ：3线性无关？为什么？取何值时：3能经冷,：2线性表示？且写出表达式_1211_121解（1）务 23 =24九、0人+ 2211九1 一00X-2当 2且-2时，矩阵的秩为3与向量个数相同，所以此时该向量组线性无关当=2或二-2时，矩阵的秩为2小于向量个数，所以此时向量组线性相关.当星=2时，秩（匕1： 2 1）=秩（卜1： 2：3 b=2,此时3能经1，2线性表示X1 - 0,表达式的系数为方程组L：可2】X-3的解，而此时该方程组的解为1X221所以表达式为3=： 2.2当囂-2时，秩（卜1： 2 b=1,秩（卜1?23 1）=2,两者不相等，所以不能线

5、性表示当.且 - -2时,秩(幅 ：-2 )=2,秩(丨山:-23丨)=3,两者不相等所以不能线性表示4.下述结论不正确的是()，且说明理由.(A) 秩为4的4X5矩阵的行向量组必线性无关.(B) 可逆矩阵的行向量组和列向量组均线性无关(C) 秩为r(rn)的mX n矩阵的列向量组必线性相关.(D) 凡行向量组线性无关的矩阵必为可逆矩阵.解(A)正确.如果行向量组线性相关则行向量组的秩必小于行向量的个数4,即矩阵的行秩小于4,而矩阵的行秩等于矩阵的秩 ，因此矩阵的秩小于 4,这与矩阵的秩为4矛盾！所以 行向量组必线性无关.(B) 正确.可逆矩阵必为满秩矩阵，即n n的可逆矩阵的秩为 n,而矩阵的秩等于行秩和列秩，所以矩阵的行秩=列秩=n,因此行向量组的秩和所含向量个数相同，据此可知该行向量组必线性无关；同理列向量组也必线性无关 .(C) 正确.列向量组含有n个向量，又由于列向量组的秩(即列秩)等于矩阵的秩r,而rn ,即列向量组的秩小于向量组所含向量的