圆锥曲线解题方法技巧

1、 圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储备：1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容y - ya atan ,p0, )倾斜角与斜率k =21k=x - x21ax + by + c点+ + = 的距离ax by c 0d=到直线p(x , y )000a2+ b20l : y = k x +bk k-夹角公式：直线夹角为a ， 则 tan =21a111l : y = k x +b1+ k k2 1222（3）弦长公式= kx +b直线 y上两点 a(x , y ), b(x , y )间的距离1122 ab = (x -

2、x ) + (y - y )ab = 1+ k x - x = (1+ k )(x + x ) - 4x x 22222212112121 21= +-y y1ab1k22（4）两条直线的位置关系l : y = k x +b（）111l : y = k x +b222l l k kl /l k = k 且b b=-1121 2121212l : a x + b y + c = 0（）1111l : a x + b y + c = 02222l l a a + b b = 0121212a b c1 l / /l a b -a b =0且ac -a c 0=a b ca b c 0或者（）111

3、212211221222222两平行线距离公式l y = kx + bl ax + by + c =:| b b |-:0-| c c |距离 d =距离d =11111212l : y = kx + bl : ax + by + c = 01+ k+a b2222222二、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线 1到两定点 f,f 的距离之1到两定点 f,f 的距离之差的12和为定值 2a(2a|f f |)的12绝对值为定值 2a(02a|f f |)12点的轨迹与定点和直线的距离相等的12定义的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值 e的点的轨迹.（0e1）点集：(mmf +mf点集：m

4、mf-mf.点集m mf=点 m到直线 l的距离.22122 2图形标准方xyxy by2 2 px=+= 1 a-= 1(a0,b0)(0)ababqx = asec参数方程=qy = b tan(参数q为离心角）(参数q为离心角）范围中心x0顶点(0,0)对称轴焦点f (c,0), f (c,0)1f (c,0), f(c,0)2212aa22x=cc准 线准线与焦点位于顶点两侧，焦距2c （c=2c （c=2cc离心率e=1aa 002p在右支时：p在左支时：焦半径00|pf |=-a+ex2|pf |=a-ex200【备注 1】双曲线：等轴双曲线：双曲线 - = 称为等轴双曲线，其渐近

5、线方程为 = ，离心率 = .2x2 y2a2yxexy2222共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线 .-= labxyx2y22222与-= -l 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：-a2 b2= 0 .ab共渐近线的双曲线系方程：x2-a2 b2y2= l(l 0) 的渐近线方程为x2-a2 b2y2x y= 0 如果双曲线的渐近线为 = 时，0a bx2y2它的双曲线方程可设为-a2 b2= l(l 0) .【备注 2】抛物线：pp（1）抛物线 y =2px(p0)的焦点坐标是( ,0)，准线方程 x=-，开口向右；抛物线 y =-2p

6、x(p0)的焦点坐2222pppp标是(- ,0)，准线方程 x= ，开口向左；抛物线 x =2py(p0)的焦点坐标是(0, )，准线方程 y=-，开22222口向上；pp抛物线 x =-2py（p0）的焦点坐标是（0,- ），准线方程 y= ，开口向下.222p= x +y2（2）抛物线 y =2px(p0)上的点 m(x0,y0)与焦点 f 的距离 mf；抛物线 =-2px(p0)上的点 m(x0,y0)220p= - x与焦点 f 的距离 mf20pp（3）设抛物线的标准方程为y =2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为 ，顶点到准线的距离 ，焦点222到准线的距离为 p.（4

7、）已知过抛物线 y =2px(p0)焦点的直线交抛物线于a、b两点，则线段ab称为焦点弦，设a(x1,y1),b(x2,y2)，22pp2p+ xab =(为直线 ab 的倾斜角)，y y = - p ，x x =, af = x + (af则弦长 ab = x+p 或2sin2a4212121 21叫做焦半径).椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例 1：已知椭圆的焦点是 f (0，1)、f (0,1)，p 是椭圆上一点，并且 pf pf 2f f ，求椭圆的标准方程。12121 2解：由 pf pf 2f f 224，得 2a4.又 c1，所以 b23.121 2y x2

8、2所以椭圆的标准方程是 1.4 32已知椭圆的两个焦点为 f (1,0)，f (1,0)，且 2a10，求椭圆的标准方程12 x2y2解：由椭圆定义知 c1，b 5 1 24.椭圆的标准方程为 1.225 24二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。( )，例：1. 椭圆的一个顶点为 a 2 0 ，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置( )解：（1）当 a 2，0 为长轴端点时， a = 2，b =1，x2 y2+4 1=1；椭圆的标准方程为：( )，（2）当 a 2 0 为短轴端点时，b = 2 ， a = 4，x2 y2+4 16=1；

9、椭圆的标准方程为：三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。x y22例求过点(3,2)且与椭圆 1 有相同焦点的椭圆的标准方程9 4x解：因为 c 945，所以设所求椭圆的标准方程为 y291.由点(3,2)在椭圆上知 22a a 52a224xy221，所以 a 15.所以所求椭圆的标准方程为 1.2a 5215 10四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。+ y -1= 0例： 已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆与直线 x交于 a、 b 两点， m 为 ab中点，的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为 2，求椭圆的方程omx2+ y =1解：由题意，设椭圆方程为，2a2

10、+ - =x y 1 0( )由 ，得 1+ a x - 2a x = 0 ，222x2a2+ y =12x + x 1+ a21x =m= - =1 x， y，121+ a22a2mmy1 1=x2k =om=a = 4，+ y =1，为所求mm22xa442五、求椭圆的离心率问题。x2y21+=1的离心率e =例 已知椭圆，求 的值kk +8 9212= k +8 b = 9，c = k -1e =，得k = 4解：当椭圆的焦点在 x 轴上时， a2，得由22当椭圆的焦点在 轴上时， a2，得y= 9 b = k +8，2c =1- k2 121- k 154=k = -由e，得，即945

11、= 4 k = -或满足条件的 k4六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题例：1.若abc 的两个顶点坐标 a(4,0)，b(4,0)，abc 的周长为 18，求顶点 c 的轨迹方程。解：顶点 c 到两个定点 a，b 的距离之和为定值 10，且大于两定点间的距离，因此顶点 c 的轨迹为椭圆，并且 2a10，所以 a5,2c8，所以 c4，所以 b2a2c29，故顶点 c 的轨xy22迹方程为 1.又 a、b、c 三点构成三角形，所以 y0.所以顶点 c 的轨迹25 9x yx2y222方程为 1(y0)答案： 1(y0)25 9 25 9x y222已知椭圆的标准方程是 1(a5)，它的两焦

12、点分别是 f ，f ，且 f f 8，弦 ab 过点 f ，求abfa 252212121的周长因为 f f 8，即即所以2c8，即c4，所以a2251641，即a 41，所以abf 的周长为 4a4 41.122x y223设 f 、f 是椭圆 1 的两个焦点,p 是椭圆上的点，且 pf :pf 2:1，求pf f 的面积9 412121 2解析：由椭圆方程，得 a3，b2，c 5，pf pf 2a6.又 pf pf 21，pf 4，pf 2，由12121212122 4 (2 5) 可知pf f 是直角三角形，故pf f 的面积为 pf pf 244.2221 21 212七、直线与椭圆的

13、位置问题x2 1 1 p ， p且被 平分的弦所在的直线方程+ y =1例 已知椭圆，求过点22 2 2分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k 11 - = k x - 解法一：设所求直线的斜率为 ，则直线方程为 y代入椭圆方程，并整理得k22( ) ( )131+ 2k x - 2k - 2k x + k - k + = 0 2222222k - 2k2+ x =由韦达定理得 x1+ 2k12212 p 是弦中点， x+ x =1故得k = -12+ 4y -3 = 0所以所求直线方程为 2x 1 1 ( ) ( )，a x，yb x ，y、 ，则由题意得解法二：

14、设过 p的直线与椭圆交于 2 21122 x212+ y =1，21x222+ y =1，22 + = ，x x 112y + y =1.12x - x22+ y - y = 0得1222212y - y121= -将、代入得，即直线的斜率为12x - x212+ 4y -3 = 0所求直线方程为 2x双曲线典型例题一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。x2y2+=1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征例 1 讨论25- k 9 - k 9 k 25，kk 9 9 k 25 k 25，则 的取值范围为 ， ， ，分别进行讨论分析：由于 k 0 9 - k 0，a = 25- k b = 9 -

15、k，解：（1）当 k时，所给方程表示椭圆，此时，22c = a -b =16，这些椭圆有共同的焦点（4，0），（4，0）222， k 0 9 - k 0a = 25- k b = 9 - k，所给方程表示双曲线，此时， ，（2）当 922c = a + b =16 ，这些双曲线也有共同的焦点（4，0），）（4，0）222 25 k = 9 k = 25时，所给方程没有轨迹（3）k，说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些 值，画出其图形，体会一k下几何图形所带给人们的美感二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。例 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程 15 16 q

16、 - ，5，3 （1）过点 p，且焦点在坐标轴上 4 3 = 6（2）c，经过点（5，2），焦点在 轴上x( )x2 y2-16 4=1有相同焦点，且经过点 3 2，2（3）与双曲线x2 y2+m n=1解：（1）设双曲线方程为 p 、 两点在双曲线上，q 9 225+m 16n=1 = -16m 解得 256 25n= 9+ =19m n- x2 y2+=1所求双曲线方程为169说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的= 6（2）焦点在 轴上，c，xx2y2-=1 （其中0 l 6）设所求双曲线方程为：ll6 -254-=1双曲线经过点（5，2）， ll6 -l= 5或

17、l = 30（舍去）x2- y =1所求双曲线方程是25说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉()x2y2l-=1 0 r ，则当它们外切时，o o= r + r ；当它们内切时，o o = r - r解12121212121212题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程解：设动圆 m 的半径为r（1）c 与 m 内切，点 a在c 外1= r - 2 ma = r ma - mc = 2 mc，点 m 的轨迹是以c 、 a为焦点的双曲线的左支，且有：272a = 2 b = c - a =，c2222( )2y22x -=1 x - 2双曲线方程为27（2） m 与c 、c 都外切

18、12 mc，= r +1 mc = r + 2，12mc - mc =121点 m 的轨迹是以c 、c 为焦点的双曲线的上支，且有：21 134a = ，c=1 b = c - a =，2222所求的双曲线的方程为：4x23=1 y 44y -23（3） m 与c 外切，且与c 内切12= r +3 mc = r -1 mc - mc = 4 mc，1212点 m 的轨迹是以c 、c 为焦点的双曲线的右支，且有：12a = 2，c = 3，b = c - a = 5222所求双曲线方程为：x2 y ( )2-4 5=1 x 2说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要

19、的方法（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标w.w.w.k.s.5.抛物线典型例题一、求抛物线的标准方程。例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程= 4yx = ay (a 0)（2）（1） x22分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出 p，再写出焦点坐标和准线方程（2）先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求 p 及焦点坐标与准线方程解：（1） p= 2，焦点坐标是（0，1），准线方程是： y = -111= x 2p =（2）

20、原抛物线方程为： y2，aap 1a 0时， =当，抛物线开口向右，2 4a11焦点坐标是( ,0) ，准线方程是： x = -4a4ap1 0 k -1，则直线与抛物线相交，且x + x14k +8ab 中点横坐标为：=2= 2，2k2= 2 k = -1或 （舍去）解得： k= 2x - 2故所求直线方程为： y= 8x y = 8x解法二：设 a(x , y )、 b(x , y ) ，则有 y1221221122y - y8- y )(y + y ) = 8(x - x )=2两式作差解：(y，即1x - xy + y1212121212q x + x = 4 y + y = kx -

21、 2 + kx - 2= k(x + x ) - 4= 4k - 4，121212128k =k = 2 k = -1或 （舍去）故4k - 4= 2x - 2则所求直线方程为： y三、求直线中的参数问题= 4xy = 2x + k 截得的弦长为3 5，求 k 值例 3（1）设抛物线 y2被直线（2）以（1）中的弦为底边，以 x 轴上的点 p 为顶点作三角形，当三角形的面积为 9 时，求 p 点坐标分析：（1）题可利用弦长公式求 k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求 p 点坐标 =y 4x2+ (4k - 4)x + k = 0得： 4x2解：（1）由 2y = 2x + kk2+ x =1- k, x x =设直线与抛物线交于 a(x , y )与 b(x , y ) 两点则有： x141221212 ab = (1+ 2 )(x - x ) = 5 (x + x ) - 4x x = 5 (1- k) - k = 5(1- 2k)2222212121 2 ab = 3 5, 5(1- 2k) = 3 5k = -4，即29 6 5qs = 9 ，底边长为3 5=，三角形高h=（2）d3 55点 p 在 x 轴上，设 p 点坐标是