小学五年级奥数整除问题

1、 五年级思维第二讲基础知识：a、b、cb 0a b=ca则称1. 整除的定义、性质.定义：如果是整数并且，bbaabb能被 整除或者 能整除 ，记做 | ，否则称为 不能被 整除或者 不b aa能整除 ，记做.b | aa、bb cc c都能被 整除，那么他们的和与差也能被 整除.性质 1：如果性质 2：如果 与 的乘积能够整除 ，那么 、 都能整除 .ab cab、ca都能整除 ，并且b、cb、c互质，那么 的乘积也能够性质 3：如果a.整除cb bac性质 4：如果 能整除 ， 能整除 ，那么 能整除 .ab c性质 5：如果 和 的乘积能够被 整除，并且aa，bc互质，那么 能够被a整除

2、.2. 被 2（5）整除特征：以 2,4,6,8,0（5,0）结尾.3. 被 3，9整除特征：数字和被 3,9整除.4. 被 4（25）整除的特征：后 2位能被 4（25）整除；被 8（125）整除的特征：后 3位能被 8（125）整除.例题：例 1、如果六位数2012能够被 105整除，那么后两位数是多少？解：设六位数为，105=3，依次考虑被 3,5,7 整除得到3a+b-1， 0或 5, 7 (1b= 0a+b-a= b1)，得到唯一解 8, =5.故后两位为 85.x y例 2、求所有的 ， 满足使得 72.x y y解：72=89，根据整除 9性质易得 + =8 或 17，根据整除

3、4 的性质 =2或 6，分别可以得到 5位数 32652、32256，检验可知只有 32256满足题意.例 3、一本陈年旧账上写的：购入 143 只羽毛球共花费67.9元，其中处字迹已经模糊不清，请你补上中的数字并且算出每只羽毛球的单价.解：设两个 处的数字分别是a、b，则有 143，根据 11，有a+b=8，再根据 13，所以 13(100 +67-90 )，再根据a-ba+b=8得到 13（10 -5）aa b解得 =7 =1所以方框处的数字是 7和 1，单价 5.37元.例 4、把若干个自然数 1,2,3.乘到一起，如果已知这个乘积的最后 14位都是0，那么最后的自然数至少是多少？解：最

4、后 14位都是 0 说明这个乘积整除 10 ，由于 123中因数 214比因数 5多得多，只需考虑其整除 5 ，5的倍数但是不是 25的倍数可以提供一14个因数 5，25的倍数但是不是 125的倍数可以提供 2个因数 5可得出至少需要 60个数，即这个自然数至少是 60.例 5、请用数字 6、7、8各两次组成一个六位数使得这个六位数能够被 168整除.解：168 = 378 ，用 6,7,8各两次，数字和 42，是 3的倍数.而用 6、7、8组成的 3位数是 8的倍数的只有 768,776.当后三位是 768，776时，前三位只有 12种取法，经实验只有数 768768符合题目要求. 因此唯一

5、符合题目要求的数是 768768.例 6、 要使六位数能够被 63整除，那么商最小是多少？解：63= 79 . 考虑整理得能 100b+10c+6-100-a被 7整除，于是有 7 ( )，7(2b+3c-a+4)，再考虑该数能被 9 整除，有a+b+c=2 或 11 或 20. 由于要求最abb小的商也就是最小的被除数，先希望 =0. 此时，易验证 =0, =1 无解，而在b c=2时，有解 =9，所以最小的被除数是 100296，最小的商是 1592.例 7、 所有五位数中，能够同时被 7,8,9,10整除的有多少？解：7,8,9,10的最小公倍数是 2520，五位数最小是 10000，最

6、大 99999，共有 90000个数，共有 36个.= ll90000 2520 35，= ll2440，所以1800 10000 2520 3例 8、用 1、2、3组成的四位数（可重复）中能够被 11整除的数有多少个？解：这样的四位数被 11整除，一定有奇数位数字之和等于偶数位数字之和. 在1,2,3,4中 1+1=1+1,1+2=1+2，1+3=1+3， 1+3=2+2 ，2+2=2+2,2+3=2+3,3+3=3+3七种情况，其中 1+1=1+1、2+2=2+2、3+3=3+3分别只能得到 1个 4位数，1+2=1+2，1+3=1+3，2+3=2+3情况相同可以得到 4个 4位数，1+3

7、=2+2也能得到 4个 4位数，所以一共有 19个.例 9、已知解：根据 7 和 13 的整除判断方法 7（13）（13） （重复 98 次），因为（91,1000）=1，所以 7（13）（重复 98次），以此类推，就有 7（13） ，得到=455，（重复 99次）能够被 91整除，求 .（重复 99 次）有 7=所以 55.例 10、已知 11个连续两位数的乘积的末四位都是 0，而且是 343的倍数，那么这 11个数中最小的是多少？解：因为连续 11个数是 343的倍数，而343 = 73，但是 11个数中之多有两个 是 7 的倍数，所以这 11 个数中有 49 或者 98，而 11 个数之

8、多有 3 个是 5 的倍数，但却是 10000 的倍数，所以这 11 个数中又有 25 或者 50 或者 75，并且以 5 的倍数开头和结尾，又要保证有 2 个 7 的倍数，所以只能是 40 到 50 这 11 个数.所以最小的数是 40.1. 鬼谷子问题：传说在春秋战国时期，鬼谷子随意从 2-99 中选取了两个数。他把这两个数的和告诉了庞涓，把这两个数的乘积告诉了孙膑。 但孙膑和庞涓彼此不知到对方得到的数。第二天，庞涓很有自信的对孙膑说：虽然我不知到这两个数是什麽，但我知道你一定也不知道。随后，孙膑说：那我知道了。庞涓说：那我也知道了。问这两个数是什么？这个原问题可能很复杂，现在告诉你这两个

9、数都在 2-15 中（但是庞涓和孙膑不知道），你能指出孙膑和庞涓每句话的逻辑含义和这两个数么？解：2 个人都不知道说明两个人得到的数都存在不止一种的分解方法，庞涓的话说明讲他得到的数分解成两个数的和，这两个数的乘积都存在另一种分解方式，而之后孙膑的话说明庞涓的话告诉他，庞涓得到的数只能是 5-197 之中的某几个，而他所得到的乘积的各种分解方式中只有一种所得到的和在庞涓可能得到的数种。而庞涓最后一句话则说明，孙膑对于自己的数的猜测让庞涓否定了和的其他分解方式。具体解法是考虑庞涓得到的数，一定是 5-29，先否定质数+2，可以分解成两个质数的和的偶数，还剩下 6、8、11、17、23、27、29

10、. 容易否定 6、8，然后对于每种和的分解利用庞涓最后也能知道逐一否定，得到唯一解 4 和 13.2、一枚，三枚，还是四枚有一种硬币游戏，其规则是：（1）一堆硬币共九枚.（2）双方轮流从中取走一枚，三枚或四枚.（3）谁取最后一枚谁赢.两人中是否必定会有一人赢？如果是，如何取？答：后手必胜.如果因为在剩余 5 枚的时候先手取 3 枚必胜.在有 9 枚时，如果先手去 4 枚则后手取 3 枚，如果先手去 3 枚则后手取 4 枚.如果先手取一枚则后手取一枚.此时还剩 7 枚，此时先手只能取 1 枚，后手再取 4 枚即可获胜.作业题：1. 已知六位数或者 293040）能够被 720 整除，请问这个六位

11、数是多少？（答案=213840是 7 的倍数，求空格中的数字.（答案：3）25555555 99999993. 一个三位数，它的百位数字是 4，加 9 能被 7 整除，请问这个数是多少？ （答案=439）4. 请证明六位数一定能被 7、11、13 整除.（证明略）aa5已知自然数 的各个数位上的数码之和与 3 的各个数位上的数码之和相等，aaa证明 必能被 9 整除. （3 数字和是 3 的倍数， 的也是，所以 能被 3 整除，aaaa所以 3 能被 9 整除，所以数字和是 9 的倍数，所以 的也是，所以 能被 9 整除.） 课堂练习题：1、 如果一个数能被 72 整除，求a+b.答案：a+b

12、=ba6.整除 8 的性质可以推出 =2，整除 9 的性质可以推出 =4.2、 请根据 7、11 整除判断方法的推导和证明，类比推出对于 17 的整除判定（提示 1759=1003）答案：末三位与末三位之前的数的三倍之差能被 7、11、13 整除3、 用 1、2、3、4（每个数恰好用一次）可组成 24 个四位数，其中共有多少个能被 11 整除？ 解：1+4=2+3，所以 1，4 在偶数位，2 和 3 在奇数位或者 1 和4 在奇数位，2 和 3 在偶数位，共有 222=8 个.4、已知四个整数，他们两两的和都能被两两的差整除，请问其中最大的两个数的和最小是多少？解：10. 思想：差越小越容易整除. 任意连续的 3 个数，只要其中有两个偶数都满足要求，所以可以找到 2，3，4，6. 容易验证没有更小的符合题目要求的解.5、15 位同学分别编号 1-15，1 号同学写下了一个不少于 6 位的数，后面每个人都说这个数能被自己的编号整除，经验证，只有连续两个编号相连的人说错了，请问这个数至少是多少？答案： 2,3,4,5,6,7 都必须 能整 除五位 数， 否 则 不能 满 足 题 意， 所 以10