常微分方程第三版答案

1、习题1. dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 dx解：d =2xdx两边积分有：In |y|=x 2 +cy2y=e x +ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为 y= cex 2 ,x=0 y=1时c=12特解为y= e x .x=0,y=1的特解。2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:解：y 2 dx=-(x+1)dy卑 dy=-ydx1 1两边积分：-=-ln|x+1|+ln|c| y=yIn | c(x 1) |另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1 时c=e特解:1y=In | c(x1)1dy = 1

2、y2 dx xy x3 y解：原方程为： dy =-乙dx y x xdy=-x1亍dxx两边积分:2x(1+x)(1+y2 )=cx4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解:原方程为：y dydxyx两边积分：In |xy|+x-y=c另外x=0,y=0也是原方程的解。5. ( y+x)dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dy =- x y dx x y令=uxu 1-2udy du贝 U =u+x一dx dx1du= dx代入有:1 x2 2ln(u +1)x =c-2arctgu即 ln(y 2 +x2 )=c-2arctg 当x6. x -y+ . x2y2 =0dx解：原方程

3、为：些=上+凶（y）2 dx x xx贝令 y=u3=u+ xduxdx dx1du=sgnxdxxarcsin =sg nx ln |x|+cx7. tgydx-ctgxdy=0解：原方程为:dy = dxtgy ctgx两边积分:sin y= 1In |si ny|=-l n|cosx卜l n|c|c 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.ccosx cosx所以原方程的通解为 siny cosx=c.y2 3x8 矽+ =0dx y解：原方程为:2dy ey3x= edx y2 e 3x-3ey =c.(In x-l ny )dy-ydx=Ox du解：原方程为:令=u ,x虬y

4、lndx x则矽=u+ x -dx dxdu ,u+ x =ulnudxln(ln u-1)=-l n|cx|y1+ln =cy.xdy x y10. =edx解：原方程为：3 =exe ydxey=cex11哭=(x+y) 214:解：令 x+y=u,贝卩 砂=理 -1dx dxdu 2 -1=udxdu=dx1 u arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dy =1dx (x y)2解：令 x+y=u,贝卩 业=屯 -1dx dxdu彳1-1=Pdx uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.13.dy = 2x y 1dx x 2y 1解：原方程为：(x-2

5、y+1 ) dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=02 2dxy-d(y -y)-dx +x=cxy-y 2 +y-x2 -x=cdy = x y 5dx x y 2解：原方程为:(x-y-2 ) dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=01 2 1 2dxy-d( y +2y)-d( x +5x)=02 2y +4y+x +10x-2xy=c.15: 巴=(x+1)2 +(4y+1)2 +8xy 1dx解：原方程为:令 x+4y=u翌=(x+4y)dx则 dy=idu dx 4 dx2+31 du 1=u2+34 dx

6、 4 巴=4 u2+13 dx3u= tg(6x+c)-122tg(6x+c)=(x+4y+1).316:证明方程 d =f(xy),经变换y dxxy=u可化为变量分离方程,并由此求下列方程:221) y(1+x y )dx=xdy2 22)x dy =2 x y2 2y dx 2-x y证明： 令 xy=u,贝U x 鱼 +y= du dx dx 则矽=丄理-目，有: dx x dx xx du ,=f(u)+1u dx1u(f(u)du= 1 dx1) x所以原方程可化为变量分离方程。dy 1 du u/八1)令 xy=u 贝 U =-(1)dx x dx x原方程可化为：= 1+ (x

7、y) 2 (2)dx x将1代入2式有：1屯-耳=丄(1+口 2)x dx x xu= . u22 +cxy=y (x- x )+ y17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。 解：设(x +y )为所求曲线上任意一点，则切线方程为： 则与x轴，y轴交点分别为：x= x 0 -也 y= yy0 - X 0 y则 x=2 x 0 = x 0匹 所以xy=cy18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中解：由题意得：y=x-dy= - dx y xIn |y|=l n|xc| y=cx.贝 U y=tg x所以 c=1 y=x.419.证明曲线上的切线的斜率与

8、切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y =kx则：y=kx 2 +c即为所求。常微分方程习题2xy,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得1 dy y2 xdx ,两边同时积分得：In | yx c,即 ycex0, y1代入得21,故它的特解为yex。2y dx (x 1)dy 0,并求满足初始条件:解：对原式进行变量分离得：2.x=0,y=1的特解.dx ydy,当y 0时，两边同时积分得；Inx 1y当y 0时显然也是原方程的解。当x 0,y1时，代入式子得c 1,故特解是1c,即yc In x 1y 1 Infl x

9、3 dx23xy x y解：原式可化为：22dydxo,故分离变量得Jdy3dxx x两边积分得-ln12故原方程的解为（212yInx In21 x2 2 21 y)(1 x) cxIn c(c0),即(12 2y)(1 x)2cxdx y 则 u xdu dxdyduu x dxdx得：u2 1 duu12u)In)x c-dxx1arctgu - In(12 2x ydydx6:ydx令y令 u, y ux,x2 2解:煜,则原方程化为:dudx(10 ),分离变量得：.1sgn x? - dxx两边积分得：arcsinu代回原来变量，得sgnx?ln xarcs insgnx?lnxx

10、2另外，yx2也是方程的解。5: (y x)dy (y x)dx 0 解型I,令X u,y uxx x匕,变量分离，u 1两边积分得:ctgxdy 07: tgydxc.解：变量分离，得：ctgydy tgxdx 两边积分得：In sinyIn cosx2y 3x8辿L dx y解：变量分离，得Zdyey1 3x3e c9 : x(ln x In y)dyydx 0解：方程可变为:dy令u y,则有：-dxxxIn xIn udx 0x代回原变量得：cyd I n u1 In uu。xe dyxe cxedx10 型 exy dx d解：变量分离两边积分ey4:(1 x)ydx (1 y)xd

11、y 0解：由y 0或x 0是方程的解，当xy 0时，变量分离1 x 1 dx -x-dy 0 y两边积分In x x In y故原方程的解为In xyy c,即卩 In xy xx y c; y 0;xy0.c,dy x y 心e解：变量分离,两边积分得:e dyy xe exedxcn.dy (x dx解：令x y原方程可变为:2y)t,则矽dx丄t虫1dx变量分离得:代回变量得:dtdx丐dtt 1arctg (x(x y)2t,则3dx、 t2变量分离2dtt21arctg (xy)dx,两边积分arctgty) x c2x yx 2y解：方程组2xdtdxdx,1,原方程可变为两边积分

12、t10,x 2ydtdxarctgt x0;的解为x2X YX 2Yc,代回变量13，y令丫X变量分离U，则方程可化为：dX22 2U 2J1 2U14 dy x y 5dx x y 2dy15- dx(x 1)22(4y1) 8xy 1解：令 x y 5 t,则dy 1 2,dxdx原方程化为：1dt dxtt 7,变量分离（t7)dt 7dx两边积分t22t7t7xc代回变量l（xy25)7(x y 5)7x c.3解：方程化为 dy x2 2x 1 16y2 8y 1 8xy 1 (x 4y 1)22dx令1 x 4y u,则关于x求导得1 4dy，所以3u2 x u1旦u2 x,dx

13、dx4 dx41 2 28一分离变量 一zdu dx,两边积分得arctg ( x y) 6x c,是4u2 93 33原方程的解。16.dydx6y2xy52x222x y解:dydx(y3)2 2x2 y2(2xydy3dx3(y3)2 2x22xy3令y3u,则原方程化为dudx2 23u 6x2xu x当z2则理z，所以dx3z6dzz x 一， dxdx2z1z 60,得 z 3或 z2是（1）方程的解。2z112zz,7dzz z d60时,x当zdx,dzx - dx即y32z2z 13x或y32 x是方程的解。(1)两边积分的（z 3）7（Z 2）3x5c,即（y 的解为（y3

14、x)7 (y3 2x)3x533x)7(y32x)3c,又因为y315x cx3x或 y32x包含在通解中当c 0时。故原方程dy 2x3 3xy x.dx 3x2y 2y3 y解：原方程化为dydx2x2 3y213x2 2y21x(2x2 3y2 1) . dy2y(3x2 2y2 1)，dPx0&令y22U,；Xv;则竺dv2v 3u 13v 2u 1(1)2v 3u 1方程组 3v 2u 10的解为(1, 1);令 Z v 1, Y u 1,02 3则有2Z 3y 0,从而方程(1)化为dyz3z 2y 0dz 3 注z令t y,z，则有鱼t z生,dzdzdt2 3t所以t z, ,

15、 zdz3 2tdt2 2t(2)dz?-3 2t当2 2t20时，即 t1,是方程的解。得y22 x2或y2x2是原方程的解2 2t230时，分离变量得 一2t122 dtdz两边积分的y2 x2 2(y x2)5c22t2z另外2 2y x2,或y2x2,包含在其通解中，故原方程的解为2yx (yx22)5c理所以x du y dxdx dx11)-(uf(u) u)x解(1):当x 0或y 0是原方程的解，当xyOs时，方程化为令xy u，则方程化为詈2(2u u3),变量分离得:x2udu31 uxy dx-dxx2两边同时积分得：一2Ju 22故原方程的解为原2 2x y 2cx4,

16、即一x2y2 2y 2cx2,y0也包含在此通解中。解令xyu，2cx，x0.则原方程化为篇(u|x 2 uu)1 4ux 22分离变量得乙旦du4u丄dx，x两边积分得In丄x2-c，这也就是方程的解。x19.已知 f(x) f(x)dt01,x0,试求函数f (x)的一般表达式.解：设f(x)=y,则原方程化为f (x)dt -两边求导得0 y业dxdx1y3dy；两边积分得c i;所以y12x c12x代入cf (x)dt2x c; ( 2x c c)2x c得c 0,所以y12x18证明方程-dy f(xy)经变换xy u可化为变量分离方程，并由此求解下列方程 y dx22(1) .y

17、(1 x y )dx xdyx dy 2 x y(2) .22y dx 2 x y证明：因为xyu,关于x求导导得y xdydxdu1 du ,duu、得:-1f(u),(f(u)y dxdx y(f(u) 1) x故此方程为此方程为变程。1 x(t)x(s)20.求具有性质 x(t+s)=x(S的函数x(t),已知x (0)存在。解：令 t=s=O x(0)=x(0)x(0)_2x(0)1x(0)1x(0)x(0)若x(0)0得x 2 =-1矛盾。cosx )+c解:原方程可化为:虫=-3x+e 2dt解:所以：x=e3dt ( e2t e3dtdt c)=e3t=c e=-s cost d

18、tcostdts=e/ 1 5t 、(e +c)513t + -e2t是原方程的解。51 + 21 3dtsin2t( sin 2t e dt22所以 x(0)=0. x (t)= limx(t t) x(t) lim x( t)(1 x (t)x(0)(1 x+3x=e2tdt(t)tt1 x(t)x( t)dx(t)x (0)(1 x2 (t)dx”)x(0)dt两边积分得 arctg x(t)=x (0)t+c所以dt1 x (t)x(t)=tgx(0)t+c 当 t=0 时 x(0)=0故 c=0 所以x(t)=tgx(0)t习题求下列方程的解.dy1.= y sin xdxdxdx解

19、：y=e ( sinxedx c)1=ex - e x( sinx21=c e x-( sinx cosx)是原方程的解。2=ec)sintsint(sin t coste dtsint / 丄 sintsint=e ( sintee c )=ce sin t si nt 1 是原方程的解。4. 业 -yexxn, n 为常数.dx nx解:原方程可化为:dydx-ynn_ dx e x (n_dxx dx e)5.dy 1 2x.2 ydx x1 =0解:原方程可化为:xn(exc)是原方程的解dx1 2x2 yxe x (e导dxx dx e)2(In xe12)( eIn x21xdx

20、c)2=x(i1eex）是原方程的解.xdx2xy解：dydx43x x2xy=3x +y2y x令yxu则y ux虬udxdux - dx因此:udu xx = 2 dx udu 1dx u2u du dx13ux e3u3 3x x e(*）将yu带入（* ）中得:34y 3x3ex是原方程的解.4x xc)3y_2cy7矽2yi (x1)dxx 1解型2y (x1)3dxx 1P(x)2,Q(x)(x 1)3x 1P(x)dxAdx2ee x 2=y(* y dy c)(x 1)方程的通解为:y=eP(x)dxP(x)dx(eQ(x)dx c)=(x+1)(21 2*(x+1)dx+c)

21、(x 1)y=(x+1)(2 (x+ 1)dx+c)=(x+1)2(xV c)即：2y=c(x+1) 2+(x+1)即x匕+cy是方程的通解且尸0也是方程的解。为方程的通解8矽: dx-y3x y解:空dy3x+y12x y y y1则 P(y)=丄,Q(y)y2y1 .P(y)dy-dyee y方程的通解为：P(y)dyP(y)dyx=e( e Q(y)dy9.dy ay dx解：Rx)P(x)dx eL,a为常数x xa,Q(x)x?dxe x方程的通解为:=xP(x)dx P (x)dx y= e (ea,1 x+1 .、(a dx+c) x x0时，方程的通解为10.x-y dx3y

22、x解:巴dx1 y xP(x),Q(x)xP(x)dx2dxxQ(x)dxc)1方程的通解为:3 xx3当ay=x+In /x/+c当a 1时，方程的通解为y=cx+x ln/x/-1当a 0,1时，方程的通解为1y=cxa x+ -1-ay=P(x)dx e1-(x3xx* x方程的通解为:P(x)dxe Q(x)dx c)3dx c)x3x c y=4 xdy311.xy x ydx解:空xy xdx两边除以y 3dy23 .xyxy dxdy-222( xydx令y2zdz2( xz xdxP(x)2x,Q(x)333)2xdx3 3y3x )2x3e 卩 dx e方程的通解为:z=e

23、dx(=eX2 /x2(e (=x2x2ce故方程的通解为：y2(x2P xe32x3)dx c)1cex1) 1,且 yP xdxQ(x)dxc)0也是方程的解。12.( yl nx 2)ydx解型哑y2dx x 两边除以.c 2 xdy x 42yxIn x2dyd/dx令y2 z xIn xIn xdzdxIn2y2y 1x2y 1x15In xP(x)2,Q(X)x方程的通解为：P(x) dxz e ( e?dx x (2dxz e xP(x)dxQ(x)dxc)In x2方程的通解为M)dxxc) xIn x(M)dx c)x x14:y(42 In x1、x T2)1,且y=0也是

24、解。(2y22x)dxy丄x 2y132xydy dy 2y x dx 2xy这是n=-1时的伯努利方程。两边同除以1 ydy y 一 dxy21x2令y2zdz2y鱼dxdxdz2y22z11dxxxP(x)=2Q(x)=-1x由一阶线性方程的求解公式?dx3dxz ex ( e x dx c)2=x x c2 2y x x c14巴 dxey 3x2 x两边同乘以eyy dy e dx(ey)2 3xey2x令ey zdzdxy dy e dxdz2 z3xz3z z2这是n=2时的伯努利方程。dxx22x x两边同除以2 z1 dzz2 dx3xz12x令1 TzdT1dzdT3T1dx

25、2 zdxdxx2 x31P (x)=Q(x)=xx由一阶线性方程的求解公式3 3dx1 dxT e x ( _2e x dx c)x=312=x ( -xc)21 13= x cx21 13z( x 1 cx 3)12ey ( 1 x 1 cx 3)121 2 yy 3x e ce x21 23 yx x e c2dydx133xy x ydx3 3dy yx yx两边同除以3 x1 dxyx3yx3 dy2dz dx令x 2z2x 3dydydz2y,3,322y =2yz2yP(y)=-2y Q(y)dyx这是n=3时的伯努利方程。由一阶线性方程的求解公式2y2 ydy32 ydyz e

26、 ( 2y e dy c)232=e y ( 2y ey dy c)=y2 1 cey2222y2、x ( y 1 ce )12 y22y2yx e ( y 1 ce ) ey222 22ey (1 x x y ) cxx16 y= ex+ 0 y(t)dtdy x e y(x) dxdy x y edxP(x)=1Q(x)=ex由一阶线性方程的求解公式1dx x 1dxy e ( e e dx c)=ex( exe xdx c)=ex(x c)xex(x c) ex 0 ex(x c)dxc=1y= ex(x c)17 设函数 (t)于 g t g上连续， (0)存在且满足关系式 (t+s)

27、=(t)(s)试求此函数。令 t=s=O 得(0+0)=(0)(0)即2(0)=(0)故(0)0 或(0)1(1)当(0)0 时(t) (t 0)(t) (0)即OO )(0)(t)lirq(t t) (t)=,.t =呃(t) ( t) (t)tddt(0)(t)由于(0)1，即 t=0故(t) e(0)tlim(t)( ( t) 1)(0) (t)变量分离得一0ce=顾(0)dt 积分c=1(0)tce(1) - (2 )得20. 试证：(1) 一阶非齐线性方程(2 .28 )的任两解之差必为相应的齐线性方程()之解;y(x)，其(2)若y y(x)是()的非零解，而 y y(x)是()的

28、解，则方程()的通解可表为y cy(x)中c为任意常数.(3)方程()任一解的常数倍或任两解之和(或差)仍是方程()的解证明：吐 P(x)y Q(x)()dxdy P(x)y()dx(1)设y , y是()的任意两个解贝 V 殂 P(x)y1 Q(x) (1)dx塑 P(x)y2 Q(x) (2)dxd % y2dxP(x)( y1 y2)即yy1y是满足方程()所以，命题成立。(2)由题意得：(5)c 得(3)dy凶 P(x)y(3)dxd y(x):P(x) y(x) Q(x)(4)dx1）先证cdydxd(cyd ydxy)dxy cycy y是（）的一个解。cP(x)y P(x) y

29、Q(x)P(x)(cy y) Q(x)y是（）的一个解。现证方程（4）的任一解都可写成yi是的一个解从而所以,cy y的形式dyidx(4)d(yi y)dxyi yP(x)yi Q(x)(4)得P(x)(yi y)P(x)dxcecy(4)yi y命题成立。cy设 y3，y4是（）的任意两个解dy3dxdy4dxP(x)y3P(x)y4cdy3dxd(cy3)dxP(x)(cy3)也就是y cy3满足方程（）(5)(6)(5)(6 )得cP(x)y3其中c为任意常数dy3 dy42 1 P(x)y3 P(x)y4dx dx即 d(ya y4)即 P(x)( ya y4)dx也就是y y3 y

30、4满足方程()所以命题成立。21. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。(5) 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；(6) 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项;解：设p(x, y)为曲线上的任一点，则过p点曲线的切线方程为Y y y(X x)从而此切线与两坐标轴的交点坐标为(x ,0),(0, y xy) y即横截距为 x ，y纵截距为 y xy。由题意得：2(5)y xy x方程变形为dy 2x y x dxdy 1y xdx x!dx( !)dx于是 y ex ( ( x)e x dx c)elnN( ( x)e lnMdx c)x ( (

31、 x) x dx c)1x( ( x旷)dx c)xx( x c)2x cx所以，方程的通解为 yx2 cx。(6) y xy2方程变形为x理dx dy dxy21xy1 dx 2x(1)e所以,12(1x2(1x2(2)e1In x|2 dx c)12dxc)1 -g 2)dx21x2 c)1cx2方程的通解为22.求解下列方程。2(1) (x 1)y xy 0解：yxy 11x21x 2 e xdx1 (e1x 2 xdx1c)1cx2。c)/x211/2/x2i1/2/x2c ./1 x2 /dy1/x2dx31/2dx c1/2csin2 xdx sin xcosx cosx(2)y

32、sin x cosx ysin3 x01、1.P(x)=1Q(x)=sin x cosx由一阶线性方程的求解公式dx sin xcosx y e.2,sin x( ecosx.2sin xcosx1 dxsin xcosxdx c)sin x( cosx sin x ( cosxsin xdx c)cos x c)=tgxc sin x习题验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。(x2 y)dx (x 2y)dy 0解:则卫y所以此方程是恰当方程。凑微分，x2dx 2ydy(ydx xdy) 013x xy y3(y3x2)dx(4yx)dy 0解:所以此方程为恰当方程。凑微分,ydx xdy

33、3x2dx4ydy 0得x3xy 2y2dxx2dy 023.M 2y(x y)2 2y(x y)( 1) 2xy7(x y)2(3xy2 2x3 )dx 3(2x2y y2)dy 0(x y)3N 2x(x y)2 2x2(x y) 2xyX(x y)4(x y)3则卫卫.x y因此此方程是恰当方程。(1)(2)uy21x (x y)2 xu 丄x2yy (x y)2对(1 )做x的积分，贝y uy 2dx -dx (y)(x y)2 xIn x(y)(3)对(3)做y的积分，则(1)y2 (x y)2y d (y)(x y)2dy2xy y2(x y)2d (y)dy2x(x y)2则 d

34、 (y)丄x2y2 2xy 丄 x2 2xy y2 -dyy(xy)2(xy)2y(x y)2yi(y)(-i)dyInyyy22 2uyIn xInyyy xy yIn yxyx yxx yx x y故此方程的通解为In 1Cx x y解:M 12xy，丄yx12xy .则此方程为恰当方程。凑微分，6xy2dx4x3dx6x2 ydy3y2dy2243d(x y ) d(x )d(x3)x4c 2 23x y5.( -sinyy cos +1)dx+(xcosx .-siny2)dy=oy解：M=1 .sinyy vcos +1xN=cosx1sin +2yyM 1sinxx23yyyyN1

35、sinxx=2 y-3 yxy所以,x cos -yx cos -y12x12xcoscos故原方程为恰当方程丫+爲 sinx x3上+gsinx x31x因为一 sin dx-yyy y1 y x x 1七 cos丄 dx+dx+cos 丄 dy-sin dy+ dy=0xxx x y y yxd(-cos )+d (siny义)+dx+d(- 1 )=0xy所以，d(siny -cos 2s +x -Nx2yx1故所求的解为sin -cos +x - =Cxyy求下列方程的解：2 2xx6. 2x(y e -1)dx+ e dy=0解:=2x=2xe所以,，故原方程为恰当方程又 2xy e

36、x dx-2xdx+ ex dy=02所以，d(y ex -x 2 )=02故所求的解为y ex -x 2 =C7. (e x +3y 2 )dx+2xydy=0解：e x dx+3y 2 dx+2xydy=0 e x x2 dx+3x2 y 2dx+2x 3ydy=0所以，d e x( x 2-2x+2)+d( x 3y 2)=0即 d e x ( x 2-2x+2)+ x 3y2 =0故方程的解为ex( x 2 -2x+2)+ x 3y 2 =C28. 2xydx+( x +1)dy=0解：2xydx+ x 2 dy+dy=02d( x y)+dy=0即 d(x 2 y+y)=0故方程的解

37、为x 2 y+y=C9、2ydx xdy xy2 dx解:两边同除以x2y2 得 ydx xdydxx y即，d arctg dxy故方程的通解为argtgxx cy10、ydx x y3 dy0解:方程可化为：ydxxdy2ydyy即，d ydy y故方程的通解为： 1 y2 c即：2x y y2 cy 2同时，y=0也是方程的解。11、 y 1 xy dx xdy 0解:方程可化为：ydxxdy1xy dxd xy1 xydx即：dxydx1xy故方程的通解为：In1xyxc12、y x2 dxxdy0解:方程可化为：ydxxdy2dxxdydxx故方程的通解为:ycx 即:y x c x

38、x13、x 2y dxxdy0解:这里M x2y,NxMNyxMNy x1方程有积分因子1 -dxe xxNx、 2两边乘以得：方程x x 2y dx x dy 0是恰当方程故方程的通解为：x2 2xy dxx2 一 x2 2xy dx dy cy解：这里 M xcos x ysin x y , N xcos x y因为Ncos x yxsin x yx故方程的通解为:xcosx y sin x y dxxcos x y xcos x y sin x y dx dy c y即:xsin x y c15、y cosx xsin x dx y sinx xcosx dy o解：这里My cosx

39、xsin x, Nysin x xcosx x 1方程有积分因子：e 3 ey 两边乘以 得:Mxcosx dy 0为恰当方程方程 ey y cosx xsin x dx ey ysi nx故通解为: ey ycosx xsin x dx 即：ey sin x y 1 ey cosx c16、x 4ydx 2xdy y3 3ydx 5xdy解：两边同乘以x2y得：N 一 ey ycosx xsinxdx dy c y,32. 4 .25. 3 .-4x y dx 2x ydy3x y dx 5x ydy0,42,35 小d x y d x y 0故方程的通解为：x4y2 x3y5 c17、试导出方程 M(X,Y)dx N(X,Y)dy 0具有形为 (xy)和(x y)的积分因子的充要条件。解：若方程具有(x y)为积分因子,(M) ( N)y x(x y)是连续可导)MMNy yxMyM dN d(NxMy)，dzdzd/ NM、(MN)(-)dzxyNMdx ydz(x y)dzM NNM方程有积分因子(x y)的充要条件:是：-xy是x y的函数,M Ndzdzdzxxy(z)dz 此时，积分因子为 (x y) e(2)令 z x yd zdz xdzdzdx 一y dz ydzddN MMx Ny (二dN M(Mx N吃U 丁)N Md_