一元二次方程根的分布情况归纳

1、二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 2 1V 元二次方程ax bx c 0根的分布情况 设方程ax2bxc0a0的不等两根为捲兀且人x?,相应的二次函数为 fxax2 bxcO,方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下 面各表（每种情况对应的均是充要条件） :（两根与0的大小比较即根的正负情 分布情况 两 O H 于 两 O n 于 一 聊个为根 一 O负人 一比n茯 DE 弋 一根 大致图 a 得出的 结沦 大致图象 0 a 得出的结论 综合结论(不讨 、1 表二：（两根与k的大小比较） 分布情 f 一 3 3H Iz F 卜 一 艮t 一 0 大致图象1 得出的

2、结论 0 大致图象1 得出的结论 综合结论(不讨 AR, 3 表三：（根在区间上的分布） 分布情况 2内 在画根只一兄 一内篩和 寸劉1 丙 、T 主 |5 nf? p 3 rwj 3 3 3 3 壬刀很丄一丁 D夭茨图象 得岀的结论 o O O 或o O m o p q .5 q f f f nM)f fnm p fl fl D丈农冒象 得出的结论 o o o 或o o m o p q fnq ffnf fmfpf fl fl 一综合结昨不讨论 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 夕卜，即在区间两侧 Xim,X2n ,（图形分别如下）需满足的条件是 (1)aO 时, f m 0 a

3、 0时，f n 0 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: （1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况: 若f m 0或f n 0,则此时fmgfn0不成立，但对于这种情况是知道了方程有 根为m或m可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参 数的值。如方程mx2m2x20在区间1,3上有一根，因为f 10,所以 mx2 m 2 x 2 x 1 mx 2, 另一根为一，由1-3得-m2即为所求； mm3 方程有且只有一根，且这个根在区间 m,n内，即 0,此时由 0可以求出参数的 值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如 若不在，舍去相应的参数。

4、如方程x2 4mx 2m 6 0有且一根在区间3,0内，求m的 取值范围。分析：由f 3gf 00即14m 15 m 30得出3m；由o 14 即16m2 4 2m 6 0得出m 1或m 当m 1时，根x 23,0,即m 1满足 2 题意；当m-时，根x33,0,故m-不满足题意；综上分析，得出3 m15 2214 或m 1 根的分布练习题 例已知二次方程2m 1 x2 2mx m10有一正根和一负根，求实数m的取值范 解：由2m 1 gf 00即2m 1 m 10,从而得m 1即为所求的范围。 2 例2、已知方程2x234 m 1 x m 0有两个不等正实根，求实数m的取值范围。 解：由 0

5、 m 32.2 m 32,2即为所求的范围。 例3、已知二次函数y m2x 若、是关于X的方程x2 2kx k 6 0的两个实根，则珥1)啲最小值为. 3.若关于x的方程x2 (m 2)x 2m 1 0只有一根在(0,1)内，则m 一. 对于关于x的方程xm 1)x+4 2m=0求满足下列条件的m的取值范围： (1)有两个负根(2)两个根都小于1 2m4x3m3与x轴有两个交点，一个大于1， 一个小于1,求实数m的取值范围o 解：由m 2gf 10即m 2 g2m 102 m丨即为所求的范围。 2 例4、已知二次方程mx2 2m 3x 4 0只有一个正根且这个根小于1,求实数m的 取值范围。

6、解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则 1 f Ogf 1 0 4g3m 1 0 m即为所求范围。 3 (注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内，由0 计算检验，均不复合题意，计算量稍大) 例1、当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围： (1) 方程x2 ax a2 7 0的两个根一个大于2,另一个小于2； (2) 方程7x2 (a 13)x a2 a 2 0的一个根在区间(0,1),另一根在区间(1,2); (3) 方程x2 ax 2 0的两根都小于0; 变题：方程x2 ax20的两根都小于1 (4) 方程x2 (a 4)x 2a2 5a 3

7、0的两根都在区间1,3上； (5) 方程x2 ax 4 0在区间(1, 1)上有且只有一解； 例2、已知方程X2R1X40在区间口，门 上有解，求实数m的取值范围 例3、已知函数f (X) mx2 (m 3)x 1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m的取 值范围. 检测反馈： 1 若二次函数f (x) (a 1)x5在区间(1,1)上是增函数，贝Ijf的取值范围是 一个根大于2, 个根小于2两个根都在(0, 2)内 (5)个根在(2, 0)内，另一个根在(1, 3)内(6)个根小于2, 个根大于4 (7) 在(0, 2)内有根 (8) 个正根，一个负根且正根绝对值较大 5.已知函数

8、f(x) mx2 x 1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范 2、二次函数在闭区间钉上的最大、最小值问题探讨 设f x ax2 bx c 0 a 0 ,则二次函数在闭区间m, n 的最大、最小值有如下 m2a n即2a吋 图 最大、 的分布情况： 结论： m几贝II f Xf n , f x 2a min min f m , f加 fn (2)若-m,n,贝 S f xmax max f m , f n , f X min min f m , f n 2a 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开X轴越远，则对应的函数值越 大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取

9、值离开X轴越远，则对应的函数值 越小。 对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种 二次函数在闭区间上的最值练习 二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、 对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况例1、函数fxax22ax2ba0在2,3 有最大值5和最小值2,求a,b的值。解：对称轴xo1 2,3 ,故函数fx在区间2,3 单 调。 1) 当aO时，函数fx在区间2,3 是增函数，故fxmaxf33ab25a 1 s f X mint 2 2 b 2 b 0 2) 当aO时，函数fx在区间2,3 是减函数，故 f X f 2 ma

10、x xmin3a b 2 2 b 3 例2、求函数f x x2 2ax 1, x1,3的最小值 解：对称轴xoa 当 a 1 时，yminf 1 2 2a 当 1 a 3 时，yminf a 1 a2 ；(3)当 a 3 时， ymin f 3 10 6a 改：1 .本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？ 解：当a 2时， f X max f 3 10 6a； (2)当a 2时， f X max f 12 23. o 2.本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行? 解：(1 )当 1 f X max f 3 10 6a, f X min1 f 12 2a ; a 时. min 2) 当1 a 2 时，f x f3 max 10 6a , f X min f 3 1； 3) 电 a 3 时，f x f 1 max max 2 2a , f xf a 1 a2 ； min 4) 当a 沖f xf1 max 2 2a, f X min f 310 6a O min 例3、求函 y x2 4x 3在区间t,t 1上的最小值。 解：对称轴 Xo2 当2t即t2时，yminftt24t3;( 2)当 t 2 11 即 1 t 2 时，ymin f 21 ; 当2t1即t 1时，丫“山 f 11 t2 2t 例4、讨论函数fx