大学线性代数典型例题解析(20201124014119)

1、精品文档 大学线性代数典型例题解析 一行列式计算的典型例题分析: 1利用降阶法。 3510 214 5 鲜 将第三列乘戏7和-5疔别加到第一列r第二虬萇匚按苏一吁宾开.得 0 -10 D = -II Y 0 -19 -13 a -10 = (-1)+3-ll -6 9 5 -13 2 0 I 再将第三列秦戏匕细到第一列：按第三行展幵*得 20 D 二 0 19 3 -13 2 0 I 20 由以上演算过程可知*对于任意n阶存列式Dt皆可用厅列式性质变対等宜的n-l阶厅 列式. 2利用化三角形法计算。 (7- b-c2a2a 计算 D= 2bb-c-a2b 2c2c c-a 酸：将弟二存与弟三f

2、丁鄙加到弟一忙帀殒出公凶于I軒bhj得 la +fr + c g + u a + b + c D= 2b b c a 2b 1c2c7 h I I 1 =+ c)Zb bca 2c2c 再捋第一荷乘決(-2b)和(-2心分别加到第二疔与第三伉得 1 1 1 Z) -1(a -b +0= (a -i-c3 C 0-(2 + A + ) I I 3.利用升阶法。 第2列，一倍、第3列 a. *泮D加边升阶得 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 -旳 A Q 叭 X G | 0 0 0 a、 0-) A a： 口 2 _幻 0 兄一口7 0 0 一叫旳 旳 殆 _勺 0 0 三盘言 0 -见 6

3、 5 /. 0 0 0 A - 徑0 0 - 7 :求乂使 XA=B,这里 A = 1 T -2 ,找二- 5 3 0 1-5 21 ) U 6 0丿 分析；根堀矩阵駆注规则摆 应为3阶方阵.若A可逆，则XA=B两侧同乘/二即可得 X =0 解法一:先求八 (50 I ： 1 0 0 0 b 5 r J J 0 I 0、 T 0 5 ；7 5 S 卫 0 -8 1 -13 -10 -15； fl $ 1 2 3、 二 1 Q 9 10 11 K p -3 -2 1 0 1 5 f；轴 T 0 1 5 ：7 5 8 0 2 r ；1 0 1J f 1 1 I 1 0 0 : s 4 8 9 5

4、II 0 1 0 8 8 0 0 1 ; B 2 15 k S 4 8丿 1 X=BA r8 0 0Y 5 3 0 2 6 oj T 2审 10 11 = 4 5 6 TO -15； J 8 9; 1 注患这里励A粗柿眉IU二矿血不是才队 炜上跆于张R驢 两厠右乘沪. B当W嗣瞬W曲卫也除性 治十3仏十2心=0 * 2止 | + 3Aj = 0 3 + r表示矩隆第i行菇以k加到第j行， 因此.当a=-h b=0时，方程组有无穷多丝，0可以表示成，紳比的线性组台- 当a =-1.Ij=0河.方程爼有无穷彩纯此时阿以恚示成cr口”。“乙的线性组含, 也我示法不堆一. 当-1时,0可罠唯一地农示成

5、 2b K10设 求A的秩 彷析，一收戒更阵的秩可决边过两个方広来求 方袪L直接用行列式象JE阵的秩，即找出矩阵中堆离不均零子式的阶歎. 方注也 利用初等变换来求矩阵的秩. 采用方法1与方注2 一股根据矩阵阶数来定，对于较髙矩降利用初等变换较为方便. 解方法一；A有一个二阶子式D討1 三1芒a而所有包含P芒三阶子式为 D= I 2 3=0, 1 4 5 I I 5 D, = 1 2 7=0, 3 9 I I 丄人- 13 7 10 13 =LL I 12 型二1 23二 10 二 0 16 方注2 1 1 2 5 T _1 1 2 5 T 1 士 3 7 ji (-1) + 片 -T 0 1

6、1 2 3 1 4 g 13 = 2厶 4 0 2 2 4 6 1 斗 5 11 0 S- 3 3 r ? u 3 -4 p 3 4 时于Z3 =3,方程纽(3/ -旳X = a 3f- /!= 7 3 -4 16 -16 7 T 2 0 0丿 2 0 J什 j 0 l I解冋量= I*;贞的特征值为113k J 0 oj: T rn 2 伏*（）是属于-啲特征向盘4 1 （Jti HO）量届于啲特征向量 丄 r 1 I 7 注n求特餐时困难在于计算行列式应尽量悄用行到式性廣,将某行（列）化威有某 叵一丙子（忆的一汝:式）然后再计炕.这样易于粽莎琨式阂式分铤由此兌还可肴衬+当特征 坐是重粮时.

7、不一定有2个线性无关的持f .：眉=另外,述叮从S（aJ-J）J = 0中可塹证 听求的转征竺屋否正确，（当（肘-A）X = 0只右零舞对，可U说昕该K不是特征空） 注匕持征向量是非零向量这要牢记 五. 二次型 例I：将二次型/ = 3,帀宀宀）=科十斗+ 2.v；十4斗忑十2工|屯+4：戈】十2工巧 +2屯斗+2心心袤示成直阵形式、并求该二次型的秩. 悴 舟二次型表示成胞阵形式XT AX时，其中A是肘称定阵，且加卩即为兀0的累貌 （心/）.而即为工:的聚虬由此即得: 2 1打阡 I 1 x2 1 I x3 i y 而谏二沫型的袂实际上即为矩陈岛的秩. p 212 广1 21A 0 -4 -1 -3 0 30 1 T 0-10-1 0 0 -I i -3 -1 -2; ,0 0 0 0; 九其袂为九 诱6 =(1,0,23) J並二(1丿$3卩卫二(hT冲 +2Tl)T,cr4 =(1,2,4+ S)* 1 2 3, */