广东深圳中学高中数学必修二导学案15两条直线的交点

1、15 .两条直线的交点张文涛学习目标1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.2 能通过解方程组判断两条直线的位置关系.3 .了解过定点直线系的方程.一、夯实基础基础梳理1 .对于直线 li : Ax By Ci 0, I2 : Ax B2y C2 0,借助斜率的关系可以推导出：（1） li与I2平行或重合 .由（1）知（2）I1与I2相交 2 .两条直线的交点两条直线 l1:AxB1yC10 ,l2 :A,xB2yC10 ,如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的 ;反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是 l1和l2的,因此，h、I2是否有交点，就看

2、l1、I2构成的方程组是否有 3 .两条直线的位置关系 我们可以通过求方程组的解来判断两条直线的位置关系Ax B1y C10方程组丨1 : 3x4y 20I2:2x y20 I1 : 3xy40I2:6x 2y102 .已知两直线 I1 : m 1 x 3y m , J ： 3x m 1 y 2 3，则 当m时，两直线相交； 当m时，两直线平行； 当m时，两直线重合.的解A2x 珥 C20一组无数组无解直线I1 , I2的公共点个数一个无数个0个直线I1 , I2的位置关系相交重合平行基础达标1.判断下类各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标.3.过点 2, 1作与直线3x 2y 5 0

3、垂直的直线，则垂足坐标为 A.1,1B.1,1C.1,1D.1,14 不论m取什么值，直线mx 3y 70与5x 2y 10都不能（）.A.平行B.相交C.垂直D.重合5 .直线l : y mx . 3与直线2x 3y 6 0的交点位于第一象限，求 m的值.二、学习指引自主探究1.探宄过两直线交点的直线给出方程3x4y22xy 20 （为常数）.问题1：表示什么图形？（直线，圆，还是？）问题2:当取何值时，表示直线 3x 4y20 ?能表示直线2x y 20吗？问题3:可求得两直线3x4y 20 , 2x y，20的交点是M2 , 2，点M满足方程吗？结论:表示过l1 :3x 4y 20 与

4、l2 : 2x4y20交点即定点M 2 , 2的直线可设为3x4y22xy 20 ,不含直线2xy2 0 .总结提高:若l1 :AxB1 yC10、 I2 :AxB2yC20 相交于 M x0 ,y，则方程表示过11与丨2交点的直线（不含直线 J ）.2 .点关于直线的对称问题（1 ）点P a, b关于x轴的对称点的坐标为 ;关于y轴的对称点的坐标为;关于 y x的对称点的坐标为 ;关于 y x的对称点的坐标为思考：如何证明两个已知点关于某直线对称？（2）点P a, b关于直线Ax By C 0的对称点的坐标的求法:设所求Px0,y0，则PP的中点甘，宁一定在直线Ax By C 0 上.1 .

5、（注意到分母不能为 0）直线PP与Ax By C 0垂直，即-x0 a B(3) 直线 Ax By C0关于直线ax by c0的对称直线方程的求法:在已知直线上找两点（若相交则其中一点可以是交点） 求这两点关于对称轴的对称点， 再 求过这两点的直线方程；轨迹法：在所求直线上任取一点A x, y，找到A关于对称轴的对称点并代入已知直线.思考：如何求两条两直线的对称轴？3 直线关于点(或直线)的对称问题 用轨迹的观点求直线方程：(1)求直线I : Ax By C 0关于点a, b对称的直线l的方程.设x, y为I上任意一点，则将该点关于a , b的对称点为 ，这个点一定在直线I上，代入得 ，即为

6、I的方程，I与I的关系是 .(2)求直线I : Ax By C 0关于x轴对称的直线I的方程.设x, y为I上任意一占为，则将该点关于x轴的对称点为 ,这个点一定在直线I上，代入，即为I的方程.x对称的直线I的方程.(3) 求直线Ax By C 0关于直线y设x, y为I上任意一点，则将该点关于y x的对称点为,这个点一定在直线I上，代入案例分析，即为I的方程.1 .已知直线 I : a 2 y 3a 1 x 1 ,(1) 求证：无论a为何值时直线总经过第一象限;(2) 为使这直线不过第二象限，求a的范围.【解析】(1)方程可化为a 3xx 2y 10,令 3x y 0, x 2y 10 可得

7、直线总经过第一象限内的定点135，y 5，35 (2)方法一：a 2时直线x1丄不过第二象限.52时直线方程化为：y3a 11xa 2 a 2，不过第二象限3a 10a 2 2时，直线不过第二象限.13方法二：由于直线过定点 P -,-，得kOP55旋转直线可知，当a 2时，I丄x轴时且过点3a 15P，符合题意.当 a 2 时，k1 koP，即 3 0 a 2 .a 2a 2综上所述，a 2时，直线不过第二象限.2 .直线I与直线x 3y 100, 2x y 8 0分别交于点M ,N，若MN的中点是0,1,求直线I的方程.【解析】设过 0,1的直线I的方程为y 1 kx或x 0 ,y kx

8、i7y kx i7xxx 3y i0 03k i2x y 80k 2由770，得ki.此时所求直线为x 4y 403k i k 24对于直线x 0,它和两已知直线的交点分别是0, 和0,8，显然不满足中点是点30, 1的条件.综上可知，所求直线方程为x 4y 4 0 .说明：本题只求了 M、N点的横坐标，利用xM xN 0，如果是将M、N点的坐标都求出 来，则计算量太大本题还可以这样做，设所截得的线段为AB , A的坐标为 xi , yi ,由中点公式得B xi , 2 yi ,将A、B的坐标分别代入直线方程可解得捲,yi，于是得直线AB .3 .三条直线4x y 4 , mx y 0 , 2

9、x 3my 4不能围成三角形.【解析】三条直线不能围成三角形其中两条直线平行或重合，或三条直线交于同一点.若4x y4与mxy0平行,则m4 ；若4x y4与2x3my 4平行，贝Uim-;0与2xy 4平彳亍，则6右mx y3mm值不存在；若4x y4与mxy0及2x3my4共点，贝U mi或2 m.3综上可知，m值为4,ii, 2634 .当直线y kx与曲线y xx 2有3个公共点时，实数k的取值范围是（)A.0, iB.0, iC.i,D.i,2,x 0【解析】由y xx2得y2x2 , 0 w x w 22 , x 2画出函数的图象， 并将 x 轴绕着原点沿逆时针方向旋转， 当旋转到

10、直线恰好经过点 2, 2 的过程中， 相应的直线 (不包括过点 2, 2 的直线) 与该函数的图象都有三个不同的交点， 再 进一步旋转就没有三个交点了，因此选A三、能力提升能力闯关1.直线I经过两直线7x 5y 24 0和x y 0的交点，且过点5,1 .则I的方程是().A. 3x yD. x40B. 3x y 40C. x 3y 8 03y 402 .若直线I1 : ykx4与直线12关于点2, 1对称，则直线 I2 恒过定点()A.0 , 4B.0,2C.2, 4D.4 ,23( 1)已知直线 l ： 3x y 3 0，求点 P 4, 5 关于 l 的对称点(2)求直线li : y 2x

11、 3关于直线I : y x 1对称的直线I2的方程.拓展迁移4入射光线在直线li : 2x y 30上，经过x轴反射到直线I2上，再经过y轴反射到直线I 3 上，则直线 I3 的方程为().A. x 2 y 3 0B. 2x y 3 0C. 2x y 3 0D. 2x y 6 05. (1)一条光线经过点 P 2, 3 ，射在直线 x y 1 0上，反射后，经过点 A 1, 1 ，求光 线的入射线和反射线所在的直线方程.(2)光线沿直线 I1： x 2y 50射入，遇直线 I ：3x 2y 70后反射，求反射光线所在的直线方程.挑战极限6. 已知 ABC的两条高线的在直线的方程为 2x 3y

12、10和x y 0 ,顶点A 1, 2，求:(1) BC边所在直线的方程；(2) ABC的面积.课程小结 理解通过方程组的解研究两条直线的公共点的思想.要会求点关于直线的对称点的方法. 直线关于直线对称可利用点关于直线对称为解决， 直线 关于点对称可利用中点公式解决.理解轨迹法求直线方程的思想.15 .两条直线的交点一、夯实基础基础梳理1 .(】)A|B2 A2B1 .(2) AB2 A2Bi .2 解，交点，唯一解.基础达标” r 3x 4y 20 /口 x 21. (1)解万程组，得 li与12相交，交点是 M 2 , 22x y 20y 23x y 4 0.(2) 解方程组，得方程组无解，

13、所以两直线无公共点，11 /126x 2y 10说明：本题考查学生是否会用解方程组的方法来解决两直线位置关系问题.2 . (1)2; (2)=2,(3)=-2 .(3) (1 , 1)4 . D.5 .方法一：联立方程求得交点x0 , y0，由xd 0 , y0 0可得m3 .3方法二：画出直线2x 3y 60和直线1: y mx J3，由于I过定点0 , J3 ,旋转直线l ,并观察.二、学习指引1 问题1:表示直线.问题2:0 :不能表示直线 2x y 2 0 .问题3:点M满足方程.总结提高：a , b , a , b ; b , a ; b , a .思考：如何证明两个已知点关于某直线

14、对称？答：从两个方面：(1)证明两个点的中点在直线上；(2)证明这两点所确定的直线与对称轴垂直.思考：如何求两条直线的对称轴？答：从两个方面：(1)证明两个点的中点在直线上；(2)证明这两点所确定的直线与对称轴垂直.思考：如何求两条两直线的对称轴？答：可以用轨迹法，设对称轴上任意一点P x , y，根据P到两直线的距离相等得到方程.3 . (1) 2a x , 2b-y , A 2a x B 2b y C 0 ,平行且到 a , b 的距离相等.(2) x , y , Ax B y CO 即 Ax By C 0 .(3) y , x , Ay Bx C 0 即 Bx Ay C 0.三、能力提升

15、y 240，则1 . C .设I的方程为7x 5y 24 x y 0，即 72 . E.由于直线h ： y k x75 5240 .解得 4 . I的方程为x 3y 80 .4与直线l2关于点2 , 1对称，故直线J恒过定点3 . (1)设P x , y关于直线I :3x y 3 0的对称点为P x , y kpp k|1,即 1_5 31 y 4又PP的中点在直线3x y 3 0上， 3 -一41一53 0 .2 2由解得x 2, y 7, P 4 , 5关于直线|的对称点P的坐标为2 , 7 .y 2 x 3（2）方法一：由y知直线ii与|的交点坐标为2 , i ,y x 1设直线I2的方

16、程为y1 k x 2，即kx y 2k 10 .在直线I上任取一点1 , 2，由题设知点1 , 2到直线|1、|2的距离相等.由点到直线的距离公式得k122 2k 1，解得221 2(k2舍去），直线I2的方程为x 2y方法二：设所求直线上一点y ,则在直线h上必存在一点x0 ,y与点P关于直线I对称.由题设：直线PP1到直线I垂直，且线段PP1的中点PxXo2yo2在直线I上.y。y 1xX。X0y y。2x Xo2，变形得1 y0代入直线|1 : y 2x3，得 x 12整理得x2y 0 .所以所求直线方程为x 2y 0 .4 . B.5.(1)入射线所在的直线和反射线所在的直线关于直线1

17、0对称.设P点关于直y 10上，且PQ所线x y 1 0对称点的坐标为 Q xo , y，因此PQ的中点在直线x在直线与直线x y 10垂直.3yo 3所以xo 2xo 22反射光线经过1，解得Q 4,3 .1 0yo2A、Q两点，反射线所在直线的方程为4x5y 10 由x y 14x 5y 10 ,0 2 1得反射点R 3，3入射光线经过P、R两点两点，.入射线所在直线的方程为 点评：（1）入射光线和反射光线所在直线关于直线x y线I的对称点Q，通常都是根据直线 PQ垂直于直线I，以及线段PQ的中点在直线I上这两 个关系式列出方程组，然后解方程组得对称点Q的坐标.（2）方法x 2y 50 ,3x 2y 70 ,又取直线x2y0上一点可知，kppyox。PP得中点yo由xo 532 xo2迥2253X。yoy。根据直线的两点式方程可得方法二：设直线x 2yyy2x0x3又pp的中点xxo25x 4y 20 .10对称，（2）求点P关于直1反射点M的坐标为 1 , 2 .2 .，设P关于直线I的对称点P x。, y0，由PP lQ的坐标为1713，32 石.I的方程为29x 2y0上任意一点P xd33,yoxo 5yo-2,