寒假作业之解析几何

1、寒假作业之解析几何 2 2 1. 垂直于直线y x 1且与圆x y 1相切于第一象限的直线方程是 2. 直线x+ ay+ 3= 0与直线ax+ 4y+ 6= 0平行的充要条件是 2 2 3 .已知直线 kx y 1 0与圆C：x y 4相交于 A, B两点，若点 M在圆 C上，且有 OM OA OB ( O为坐标原点)，则实数k= 4.已知方程ax2 by2 ab和ax by 10 (其中ab 0, a b),它们所表示的曲线 可能序号是. Cl)C2)(3)(4)屮 2 2 5. 已知双曲线x2 y21, a b 0，两渐近线的夹角为 60，则双曲线的离心率为 a2 b2 6. 已知椭圆的对

2、称轴为坐标轴，短轴的一个端点和两个焦点的连线构成一个正三角形，且 焦点到椭圆上的点的最短距离为3，则椭圆的方程为 2 7.双曲线x2 a 2 y b2 0,b 0 的左、右焦点分别为 F1, F2，渐近线分别为h ,2，点P 在第一象限内且在11上，若12PF1 ,12 / PF2，则双曲线的离心率为 2 8. 双曲线x2 y 1的渐近线被圆x2 y2 6x 2y 1 0所截得的弦长为 4 9. 已知圆C的方程为x2 (y 4)24,点O是坐标原点.直线l : y kx与圆C交于 M , N两点.(I )求k的取值范围； (n )设Q(m, n)是线段MN上的点,且 1 |OM |2 1 |O

3、N |2 .请将n表示为 函数. 2 2 10.椭圆 C ： 221 ab (a b 0)的左、右焦点分别是F2，离心率为 ，过F1且 垂直于x轴的直线被椭圆 (1)求椭圆C的方程； C截得的线段长为1 点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线I，使得I与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PFPF2的斜率分别为 匕*2，若k 0， 1 1 试证明：为定值，并求出这个定值. kk1 kk2 2 2 11.已知椭圆G：X2y21(a b 0)与直线x y 1 0相交于A、B两点. a b (1)若椭圆的半焦距 c 3，直线x a与yb围成的矩形ABCD的面积为8, 求椭圆的方程;

4、 (2)如果 1 1 a2b2 2又椭圆的离心率 e满足,e 3 求椭圆长轴长的取值范围. 12.在直角坐标系 xOy中，已知中心在原点，离心率为1的椭圆 E的一个焦点为圆 2 2 C : x y 4x 20的圆心. 求椭圆E的方程； 设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为 1的直线l1,l2，当直线l1,l2都与圆C相 切时，求P点坐标. 分 寒假作业之解析几何参考答案 1. 垂直于直线y x 1且与圆x2 y2 1相切于第一象限的直线方程是x y . 2 0 2. 直线x+ ay+ 3= 0与直线ax+ 4y+ 6= 0平行的充要条件是 a =- 2 2 2 3 .已知直线 kx y 1

5、 0与圆C：x y 4相交于 A,B两点，若点 M在圆 C上，且有 OM OA OB ( O为坐标原点)，则实数k = : 0 4.已知方程ax2 by2 ab 和 ax by 1 0 (其中ab 0, a b)，它们所表示的曲线 6.已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点和两个焦点的连线构成一个正三角形，且 23 3 焦点到椭圆上的点的最短距离为 ，则椭圆的方程为 22 7.双曲线x2y ab 1 a 0,b0的左、右焦点分别为 RE，渐近线分别为hh, 在第一象限内且在 I1上，若12 PF1,12 / PF?，则双曲线的离心率为 2 2 8. 双曲线x2 y 4 9. 已知圆C的方程为

6、x2 (y 4)2 1的渐近线被圆 x2 y2 6x 2y 1 0所截得的弦长为4 4 ,点O是坐标原点.直线1 : y kx与圆 上的 M, N两点.(I )求k的取值范围；(n )设Q(m,n)是线段 2 1 1 222 .请将n表示为m的函数. |OQ| |OM | |ON| MN C交于 点，且 解：(I )将 y kx代入 x2 (y 4)2 4得则(1 k2)x2 8kx 12 0,(*) (8k)24(1 k2) 120得k23.所以k的取值范围是( 3) (3, (n )因为M N在直线l上，可设点M N的坐标分别为(x1, kx1) , (x2, kx2),则 OM 由丄 2

7、 |OQ (1 2 2 k2)x1 , ON 1 OM 2 所以 1 2 X1 1 2 X2 由(*)知 Xi X2 因为点 由m2 2、 2 (1 k2)X2 ,又 OQ (Xi 2 m2 2 1 I 2、22 k ) m (1 k )x1 2 X2)2X1X2 2 2 x1 x2 产 X1X2 Q在直线I上，所以k 12 ,所以 1 k2 -,代入m2 m m2 36 5k23 222 n2(1 k2)m2, 1 (1 k2)x22 36 2 5k23 可得 5n2 3m236, 36 及k23得 5k2 3 2 0 m2 3,即 m ( .3,0)(0, .3). 依题意，点Q在圆C内,

8、则n 0,所以 36 3m2 5 15m2180 5 曰 n与m的函数关系为 .15m2180 n 5 (m ( .3,0)(0, . 3) 2 X 10.椭圆 C : 2 a 2 y b2 1 (a b 0)的左、 右焦点分别是 FF2，离心率为 于，过F1且 试证明：11 kk1 kk2 为定值，并求出这个定值. 垂直于X轴的直线被椭圆C截得的线段长为 (1)求椭圆C的方程； 点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线I，使得I与椭圆C ki,k2，若 k 0 , 有且只有一个公共点，设直线 pf1,pf2的斜率分别为 x2忙彳 2+ 72= 1 , a b =于,所以 a

9、= 2, b= 1. 解：(1)由于c2= a2 b2,将x= c代入椭圆方程 得y = 7.由题意知 弩=1,即a= 2b2.又e= aaa 所以椭圆C的方程为7 + y2 = 1. 4 设 P(X0, y0)(y0M0)，则直线 I 的方程为 y y0= k(x x). x2 X+y2=1, 得(1 + 4k2)x2+ 8(kyo k2xo)x + 4(y0 2kxoyo+ k2x2 1) = 0. y yo= k (x xo), 由题意 = 0,即(4 x$k2+ 2xoyok + 1 y2= 0. x2xo 又 X + y0= 1,所以 16y0k2 + 8xoyok + x0= 0，

10、故 k =亦. 由(2)知 1 + 1 = xo二3 + xo2x0 k1k2yo 才、11111 yo 4yo Xo yo， AA - = 8,因此+ ；为定值，这个定值为 8. y okk1 KK2 2 x 11.已知椭圆C1、r a 2 y b2 1(a b 0)与直线x y 1 0相交于A、B两点. (1)若椭圆的半焦距 直线x a与y b围成的矩形 ABCD的面积为8, 所以 kk；+ k= k 订+ k；= 求椭圆的方程; Al a b (2)如果 e满足f e f，求椭圆长轴长的取值范围. 【解析】试题分析：解；由已亂得； 4 分* 得沪二上一 由，二兰得3 2jc 1a 应f

11、nr-7 由半缪冷辰“辰 所以牺圆反殆K的取值范围齒呵反忑 12.在直角坐标系 xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆 E的一个焦点为圆 C:x2 y2 4x 20的圆心.求椭圆E的方程；设P是椭圆E上一点，过P作两 条斜率之积为2的直线1(2，当直线h,l2都与圆C相切时，求P点坐标. 2 1 解: 2 y 12 （2）设 p xo, yo，得 li: y yo ki xxo ,12 ： yyo k2 x Xo 1 |2kiyo ki xoi - k*2 1，依题意C 2,o到l1的距离为= 42 2 J1 k12 222 整理得 2Xo2&2 2Xoyoy2o同理 222 2xo2k22