【精选习题】第二章一阶微分方程的初等解法

1、第二章 一阶微分方程的初等解法 2-1已知/(x)J= 1, 0,试求函数f(x)的一般表达式。 0 X 解 对方程/(x)J= 1,两边关于x求导得 0 广 cM/(M + /2(x)= o, 0 即 广亠+ /匕)=0, i M 分离变量,可求得 /(x) = -J=, J2(x + C) 代入原方程可得C = 0，从而f(x)的一般表达式为f(x)= 丄 o y/2x 评注；本题中常数的确定不能直接通过所给枳分方程得到，而是需将通解代回原方程来 确定。 2-2求具有性质x(t + s)= ) + x(s) 1 一 x(t)x(s) 的函数x(/)已知玖0)存在 解由导数的定义可得 x(f

2、) = lim wo x(t + 5)- x(r) 亦 X(5)+ X2(r)A(5) sto 1 一 “(r)兀(s)s 显然可得x(0) = 0,故 y(0 = l + x2(r)-lim )7)=疋(0)1 + 疋(/) 分离变虽:，再枳分可得 x(t) = tanx(O)r + C， 再由 x(0) = 0,知 C = 01 从而 x(t) = tanx(O)r a 评注：本题是函数方程的求解问题，利用导数左义建立微分关系，转化为求解常微分方 程的初值问题。 2-3 若 M (忑 y)x + N(x、y)y H 0,证明齐次方程 M(x, y)clx + N(x、y)dy = 0 有积

3、分因 xM(x,y) + yN(x,y) 证 方法1用凑微分法求积分因子。 我们有恒等式 M (x, y)dx + N(x, y)dy =*(M(x, y)x + N(x,y)y)( + ) + (M(x,y)x- Ng y)y)( - ) =d n(xy), dx dyx =a In %yy 所以原方程变为 X (M (x, y)x + N(x、y) y)d ln(xy) + (M (x, y)x 一 N (x9y)y)d In = 0 2y 用“(iy) =乘上式两边.得 M(x, y)x + N(x,y)y 丄 d hg) +1 In 亠 0 , 22M(x,y)x + N(x,y)y

4、y 由于7(“).y)y为零次齐次函数,故它可表成迟的某-函数，记为用), M(x. y)x+N(x.y)yyy *(込)=)=F(ln 兰)， Mx,yx+ N(x,yy yy 原方程进一步可改写成 它为-个恰当方程，表明心刃=+为齐次方程的积分因子。 方法2化为分离变量方程求积分因子。 设M(x,y),N(x,y)是加次齐次函数，则令y = ux , dy = xdu + udx,有 M(x9 y) = M(x,xu) = xmM(1 上),N(xy) = N(xxu) = xmN(lyu 将英代入原方程M (x, ylx + Ng ydy = 0中，得 xm M(lj/) + N(,u)

5、udx + xN(.u)du = 0, 可以看出上方程为可分离变量的方程，只要给上式乘以积分因子 / 、_ 1 _ 1 “ x M (1,) + “N(l, “) xM (x, y) + yN(x. y) 方程就可变量分离，即化为恰当方程，因此，齐次方程的积分因子是 xM (x, y) + yN (xy y) 方法3用左义求积分因子。 由积分因子的定义，只需证明二元函数*心)+叫$满足 巴巴2 =坐巴即可。为此我们计算 0(“M ) _ xM + yN )，N 徑-yM 竺-NM, (xM + yN)2 dy dy T 6(而专) oxdx )沁叫 (xM + yN) dxox !-XM- W

6、, (xM + yNy dx dx 6(“W)o(/z/V) dy dx x(NM - MN J + y(NM - MNJ xxy、 (xM + yN)2 显然 g,=) =g、寺(M JV 一N,M), x x v(-)=丄召(MVN_MN、J, x x N 故 (xM + gN)2 工i =0, xM + gN)2 因而/是齐次方程的积分因子。 评注：注意求积分因子方法的正确运用，对于齐次方程M(Ky)x + N(x,y)y = O, 除了可以化为变量可分离方程以外，我们还可以采用本例中所得到的结果，很快寻找出一个 积分因子 “(兀刃=!,将其转化为恰当方程来求解。 xM (x9 y) +

7、 yN(x, y) 2-4解方程?= ax xy + x y 解由题得 dx33 =xy + x y , dy 这是以x为未知函数和以y为自变量的迫努利方程，则有 _3 “X3 x = x y + y , dy 令 = X-2, =-2 7 - 2 y dy 而=-2yz的解为z = V。 dy 采用常数变易法，令Z = C(y)ey2代入=-2即-2卫中得 C(y)=-y2ey2 +ey2 + C, 故Z = -y2+l + Ceyi , 从而原方程的解为 x2(-y2 + + Cey) = 1 o 评注：在微分方程中，变量x与y具有同等的地位，对同一个方程，既可以就y求解， 也可以就x进行

8、求解，如果方程 = f(x,y)就y求解比较困难，可以尝试将原方程变化 dx /1y1 为一=，然后就兀进行求解，有时会取得意想不到的效果，参见典型习题2-15, 心 /(D 4),和 2-16, 4)o 2-5试导出方程M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0分别具有形为“(x + y)和的枳分 因子的充要条件。 解 根据判别准则(立理)，“(x+y)是方程M(x,y)x+N(x,y)y = 0的积分因子的 充要条件是 + y)M (x, y) = 6“(x + 刃 N (x, y) dydx 则有 5(知讐i芈严卡警 心+y)(坐一芻皿如f M如山, dy dx d(x + y

9、) (x+y) 6M ON 存鈴希 5+八 因此方程具有形如(x+y)的积分因子的充要条件是 6M QN dy dx N_M = /(+y)o Z/(xy)是方程M(x, y)dx+N(x. y)dy = 0的积分因子的充要条件是 _ d(xy)N) dyox 5)( dM dy dN =n引畑) dx A(A7)(- 6 y)Jy = 0的两个积分因子，由定理 有 N坐_M坐詁(坐-翌X,2)。 ox dy 勿 & 同时，若仏工常数，则d()0,只要证明这个全微分沿方程的解恒为零即可，即 卩2“2 (兀，刃=1dPx 如 M “2(x，y)“2， &oy N (N 単 一 M %冷 -(N

10、字- “字) oxdyoxdy 1r6MdN、oM6N、_n dy dx 1/2(一 )Kv 三0 dyoxdyox 故 21 = C 是方程 M (x, y)dx + Ng y)dy = 0 的通解。 “2 2-10假设齐次方程M(x,y)dx + N(x.y)dy = 0是恰当方程，当xM + yN 0时，试 证它的通解可表示为xM(x. y)dx + yN(x、y)dy = C。 证令 U(x、y) = xM (x, y) + yN(x. y)。 要证明U(x.y) = C为方程的通解，就是要证明全微分dUg)沿方程的解恒为零即 可。为此，计算 dU dr =M + xM x + yN

11、x oU 6 =N 七 $N、+ xM v, 则有 dU(xy y)= dU , dU ,dU dU M f ax +ay = ()dx o dxdy dx dy N 即要证明 即可。 M + xM x + yNx _ N + )N. + xM v MN 因为所给方程为恰当方程，有M、. = Nx , 故有 M + xMx + yNx N +)化.+ xMy _ xMxN + yNxN - yN、M -xMyM MNMN _x(MxN- NN) + y(M、JV - N、M) _MN 再由空=-理为齐次方程，故令 = 8(-) = 8(u)9 dx NN x 显然 g 卫)= -4_g：=-寻

12、(MN-NM) xN g ,(“)= Lg：=-(MyN-NyM) 故 M+xMx+yNA N + yNY + xMv _x(N*g：) y(N*g：) AfNMN， 故有xM (x, y)dx + yN(x, ydy = C为原方程的通解。 评注：以上两道题都是证明某二元函数U(x,y)为方程的通解(或通枳分)的问题。这 就是要证明全微分dU(x.y)沿该方程的解恒为零，即证明 dU(xyy) = dx + dy = ( ox dyox dU dU M 二二)心0,或竺-巴0即可。 dy N dx dy N 2-11求解下列隐式方程 1) x2 + y/2 =1, 3)= dx dx) 5)

13、,2HM=i 2) 1) = (2 y丫 2z . 2 、 dx + 4x = 0 解1)令y = p = cost,代入方程，得 x = sint, 由dy = costdx9积分得 y = f costd sin t + C = + sin 2/ + C, J2 4 方程参数形式的通解为 x = sint 则有 y2（l-sin2 f） = 1, y = seer, 由于 心空亠a v sin/ x = f! sec/ tan tdt = f J sin/cos t 由lA = tanr + C, 消去参数/得原方程的通积分为y2=（x + c）2+l。 y = sec/ 评注：根据方程的

14、特点，通过引入适当的变换，可以求得原方程的参数形式的通解，寻 找适当变换是求解的关键。这类不显含X （或y）的方程，如果从方程中能解岀y或y （或 x）的关系.方程将转化为显式方程或将y （或x ）解出的方程，从而按照相应的方法求解。 否则，我们就要引入变换，其目的在于通过这个便量代换，将方程中的y （或x）从 方程中解出，用新的参变量表示，然后再求方程的解“ 2-12解下列方程 1) x-y = 2x2y(y2 -a2) dx o dy _ 4x3 - 2xy3 + 2x 2) =3x2y2-6/+3/ 解1）解法1 （降次法）方程可化为 x dx x2 令y 2 = “用=q方程可化为下列

15、迫努利方程 dll6 z 1 r、 =2zr +w(2q), dqq 从而得 令丄=Z，则 u 衣 01 0 = Z(2g)一2, M q 此方程的通解为 Z =（严+c）, q 4 X2 故原方程的通积分为1 + Cex =丄v ,另外还有y = 0也是方程的解。 解法2 x-y = 2x2y（y2-x2）给方程两端同乘以竺 得 dx”L y-ydx = 2y（yl_xldx JC d = 2y（y2 -x2）dx dq g 2 + 1 解此方程得其通解为u-u2-q-q2+qu = C ,因此，原方程的通解为 )-y6 -x2 -x4 +x2y3 = C。 解法2将原方程转化对称形式为 (

16、3x2 y2-6ys + 3y2 )dy - (4x3 - 2xyy + 2x)dx = 0 易判断此方程为恰当方程，因而方程的解为 *36 34* xy _y + y _开 _工=C。 评注：当方程中自变量和未知函数的次数较髙时，我们仿照此例的方法可先设法“降 次”，有可能化为可积方程，然后积分求解，这也是求解常微分方程常用的技巧。但有时将 方程转化为对称形式后，有意想不到的结果。若判断方程是恰当方程，则可直接得到方程的 通解，如果不是，再尝试用其它方法求解。 2-13解下列方程 2) (xy + )ydx - xdy = 0 1) ydx 一 xdy = x2ydy 3) (x2 + y2

17、 - 2xydy = 0 4) ydx-(1 + x + y2)t/y = 0 5) y - xx2 + y2)dx- xdy = 0 解1)容易观察方程有积分因子丄，乘以方程两端得 ydx 一 xdy _ = yy9 X _(上)=詁2, 故原方程的通积分为-y2+- = C. 2) 原方程各项重新组合得 xy2 dx + (ydx _ xdy) = 0, 容易观察方程有积分因子丄，乘以方程两端得 丄丄=0, 2y) X2 X 故原方程的通积分为+ - = c,还有解y = 0o 2 V 3) 原方程各项重新组合得 (y2dx _ 2xydy) + x2dx = 0, (y2dx - xdy

18、2) + x2dx = 0 , 容易观察方程有积分因子丄.乘以方程两端得 2 dx-d 故原方程的通积分为X-= C.即x2y2=Cx 0 4）原方程各项重新组合得 容易观察方程有枳分因子乘以方程两端得 即込一 dy + d 丄 j = 0 , V-1 故原方程的通积分为 一+ -y = C ,即x + l = v(c + y)：还有解y = 0。 y y 5)原方程各项重新组合得 ydx _ xdy = x(x2 + y2 )clx 容易观察方程有积分因子 一，乘以方程两端得 9* jc + =dx1 x arc tan y) X r* 故原方程的通积分为Z芦亍c。 评注：注意利用微分式 2

19、-14解下列方程 dy _ 2x + 3y+ 4 1) = dx 4x + 6y + 5 3)字+i卜廿 2)(2x + 2y-)clx + (x + y - 2)cly = 0 解 1)令 2x + 3y = z ,则 竺= 2 + 3空=2 +业也=玄兰 dxdx 2乙 + 52z + 5 分离变量得 积分得 即 4边 7z + 22 22 749 7 X 22 2x + 3y + 故原方程的通积分为 + C 9 22(3 91n2x + 3y + =14 3y-x + C 7I2 还有解 22 2x + 3 v = 0 o 7 2) 原方程变形为= dx 2(x + y)-1 d+y)2

20、 ?dz dy 令 z = x+y 9 贝 ij 一 = 1 + , dx dx dz 2z -1 Z +1 =1f dx z 2乙 + 2 分离变虽得 -乙+ 2 乙+ 1 dz = dx, 积分得 -Z + 31n|z + l| = x + C(, bi|z + l|? =x+z + C。 故原方程的通积分为(x + y + l)=C/ 3）原方程变形为牛+ 1 令 x+y,则 dx dx eu du = xdx， 故原方程的通积分为严）+于C 评注：在解一阶常微分方程时，经常利用整体代换的思想化简方程，从而达到求解的目 的。 2-15解下列方程 1) dxx 2) Y (l + ,)dx

21、 + , 1 dy = 0 I y厂 3) X xyey + y2 dx 一 x2ev dy = 0 / 4) 1)令=丄，贝ij u + x = e11 +u xdx 即得 edu = x -a 严=lnlxlC , 故原方程的通积分为 “+lnlxl=C X/ Y/ 2)令一= 八贝IJ _=z/ + y代入方程有 yay 9 ay du ueu - / u + y = dy + eu y(eli +w) = C 故原方程的通积分为 ye1 +x = C o 3)原方程变形为 dx X x) fdll 令丄=,贝ij u + x = u + ire u , Ju = ir x 积分得 -e

22、u = lnR - C, X 即得原方程的通积分为G + ln|x| = C o 4）方程可化为=-+二 令= ,则- = u + y斗,代入上方程得 7T 丁 两边积分得2亦=q=ln|y| + C, 评注：齐次方程是利用整体代换将原方程化简为可分簡变量的方程来求解的。 2-16解下列方程 =4e sinx-1 dx （x 一 y2）dx + y（l + x）dy = 0 4） dx + y 解1）给方程两端同乘以R,得 dey -1 v 2 a =e + dx x +1 x +1 2 =Cex + 2（sin x 一 cos x） 即得原方程的通积分为 ev = CC + 2（sin x

23、一 cosx） e 2）给方程两端同乘以,得 x + 、dy -12 e =e- +, dx x +1 x +1 由公式得 C + 2J 即得原方程的通积分为 (x + 10 =2x + C o 3) 原方程变形为 dy 1x T = v _ y , dx + x + x 给上方程两端同乘以2y,得 dy 2 乍 2x 2y =， dx 1 + L1 + x dy2 2. 2x =_, dx + x + x =(1+对2 C-J 由公式得 (1 + X)3 丿 m卜“詁7丿 =C(1 + x)2 +2x+ 1 即得原方程的通积分为 b=C(l + x)2+2x+l。 4) 解法1原方程变形为

24、dx dy 2y 2 给上方程两端同乘以2x,得 dx2 3 . r = x 一 dy y 由公式得 = yc + 丄=03+歹2, 即得原方程的通积分为x2 = Cy3 + y2 o r AN 解法2因为 - = -64 = ,所以方程为恰当方程。这样我们可用凑微分 dy y4 dx 法来求解，原方程变形为 -rdx2 + x2d + 丄 = 0 , yy:r 积分可得原方程的通枳分为x2 = Cy3 + y2 o 评注：转换为线性方程的求解问题。 2-17解下列方程 1) 4x2y2dx + 2(xy - l)t/y = 0 (设 y 0) 3 2) 2xy + x1y + t/.r +

25、(x2 +y2)t/y = O dM _dN 解由于斗产一命所以积分因子为 卜丄心 -1 （，）=e = y 2， 方程两端同乘以积分因子得 31_1 4x2ydx + 2x3ydy-2y 2dy = 0 , (44 7 叮 1 -yidx3 +-xly2 4y2 =0 / -d 疋护 _4d =0 , 3， x3y2 _3尸=c , 丄 即原方程的通积分为(xy 3)yT=C。 3、 2)(2心 + 尤2 + 十 cLx + (x2 + y2 )r/v = 0 dM 6N 解解法1由于 一 =1,所以积分因子为 N (卩加V (牙)=(?J= e , 方程两端同乘以积分因子得 (3 ex 2

26、xy + x2y + 6/.v + v(x2 + y2)t/y = 0, 原方程的通积分为 X (3、 Co V I ex 2xy + xy + - o3丿 心宀卜令G = c, 即得(x2y + y3)ex =3C 0 解法2原方程变形为 dx = 0 观察其形式，可令千，从中解得吐冷 可化为分藹变量方程 分离变量，再整理得-Lclu + dv2 =0. 、/llyr +1 积分得其通解为眉+ Vv2 +1 =C,C0o 回代变呈:，整理得原方程的全体解为 (y + )2(x2 + y2) = Cy2 (C0)和 y = 0。 解法3给原方程两端同乘以一原方程化为 xdx + ydy ydx

27、 _ xdy _ += U , %:r 进而化为 令=ii ,则x = i/v dx = udy + ydu ,将上方程化为 y udy + ydii + dy + du = 0 , u 即得到分离变量的方程 dy + (y + )du = 0 , H 解之得 (y+ 1)2(m2 +1) = C, 故原方程的通解为(y + )2(x2 +y2) = Cy2 (C0),另外y = 0也是方程的解。 2)将方程化为对称形式dx + dy + xylx + xiydy = Q, dx + y + xyy1 dx + x1 dy) = 0 , 给其两端同乘以得 d( x +/7r Jv 此时，令u =x+ y.v = xy,得 du , u 解此方程，得其通解为U = Cylv2- . 原方程的通解为 (x + y) = Cyjx-y2 - , 另外勺，=1也是方程的解。 故原方程的全体解为(尤+，) = 込2_1；小=1。 评注：通过变量变换，降低了方程的求解难度，但是究竟采用怎样的变换，一般而言， 很难直接得到适当的变换。从这里我们体会到，有时可将方程变形，任这个过程中观察其特 点，寻找恰当的变换，这需要一定的经验积累。 2-19证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等积分法求得它的通解。并求 解下列方程：1)4，(yJy2)= i 2) x2(/ + y2) = 2