多元函数微分学复习题及答案

1、第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 (提示：令y k2x2) 、选择题 1.极限叫 y 0 2 (A)等于0 (B) 不存在 (C) 等于 (D)存在且不等于 i丄 2、设函数 f (x, y) xsin y 0 .1 y sin x xy xy 则极限 lim f (x, y)= x 0丿 y 0 等于0(D) 等于2 3、设函数f (x, y) xy x2 0 y2 x2 (提示：在x kx2 T0 x2=k2x2 0，则 f(x,y) y2 0 f (x,y)处处连续；在 kx lim =0 x 0 -.,1 k2 f(0,0) ，故在x2 x 0, y 0，令 y kx， y2

2、0,函数亦连续所以, (提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小) (C) (A)不存在(B) 等于1 处处有极限，但不连续 除(0,0 )点外处处连续 (B) (D) (A)必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件 (C)充分必要条件 5、设 u arctan#，贝U = x (D) 既非充分又非必要条件 (A) x 22 x y (B) (C) (D) x f (x, y)在整个定义域内处处连续 (A)处处连续 (C)仅在(0,0)点连续 4、函数z f (x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数是它在该点存在全微分的 f(x,y) (A) 4 7、设 zarctan ，x u y (B)

3、(C) V ,则 ZuZv 1 (D)- (A占二 u v 8、若 f (x,2x) x2 (B) Ar u v 3x, fx(x,2x) (C) u v 6x 1，则 fy(x,2x)= (D) (A) x (C) 2x 1(D) 2x 9、设z yx，则( x _) (2,1) y (A) 2 (B) 1+l n2 (C) 0 (D) 1 10、设 z xye xy，则 zx(x, x) 2 x2 (A) 2x(1 x )e (B) 2x(1 x )e x2 (C)x(1 2 x2 x2)ex (D) x(1 x2)e x2 11、曲线 x 2sint,y 4cost,z t在点(2,0,

4、3)处的法平面方程是 (A) 2x z 12、曲线4x 5 y ,y (B) 2x z 4 (C) 4y 2 乙在点(8,2,4)处的切线方程是 2 (D) 4y (A ) (A)乞8 20 (C) 5 z 4 4 z 4 4 (B) (D) x 12 20 x 3 5 z 4 4 z 4 13、曲面 xcosz y cosx z 2 在点一 ,1 2 2 2,0 处的切平面方程为 (D ) (A) x z (B) x y 1(C) x 14、曲面 x2 yz xy2z3 6在点(3,2,1)处的法线方程为 (A ) z 19 18 z 18 (C) 8x 3y 18z (D) 8x 3y 1

5、8z 12 15、设函数z 1x2 y2，贝U点 (0,0)是函数z的 (A)极大值点但非最大值点 (B)极大值点且是最大值点 (C)极小值点但非最小值点 (D)极小值点且是最小值点 16、设函数zf (x, y)具有二阶连续偏导数，在P0(x0,y0)处，有 fx(P) 0, fy(P) 0, fxx(P)fyy(P) , fxy(P。) fyx(P) 2，则(C ) (A)点P0是函数z的极大值点 (B)点Pg是函数z的极小值点 (C)点P0非函数z的极值点 (D)条件不够，无法判定 17、函数 f (x,y,z) z 2 在 4x2 2y2 z2 1条件下的极大值是 (A) 1 (B)

6、(C) (D) 、填空题 1、 极限lim列他= x 0 x y .答: 2、 极限lim x y 2 Jn(y ex ) _ 0 1 .答：In2 3、 函数z ,ln( x y)的定义域为 .答：x y 1 4、 函数z arcs in x “ 的定乂域为 .答：1 x 1, 5、 设函数 f(x,y) x2 y2 xyln -，则 f (kx, ky)= x .答：k2 f(x,y) 6、 设函数 f(x,y) xy x ,则 f(x y,x y y)= .答: 2 2 x y 2x (Q f(x y,x y) (x y)(x y) (x y) (x y) 2 2 j ) 2x 7、 设

7、 f(x,y) ln(1 A 2 x 2 x 2 y 2 y 1/2，要使f(x,y)处处连续，则 1/2 A= .答: ln2 8、 设 f(x,y) tan(x2 2 2 x A 则A= 2 函数z - y2) (x, y) (x,y) (0,0)，要使f (x, y)在(0，0)处连续, (0,0) .答：1 2 仝的间断点是 x 1 答：直线x 1 0上的所有点 10、函数f(x,y) 2 1 2 cos，的间断点为 x y x .答：直线y x及x 0 9、 .答：3cos5 11、设 z sin (3x y) y，贝 x2 X y 1 12、设 f (x,y). x2 y2，则 f

8、y(0,1) = 13、设 u(x, y,z) ,则du (1,2,3) 3 .答: -dx 8 -dy 16 hn2dz 8 14、 设u x 则在极坐标系下， u = .答：0 2 2 、x y r 15、 设U xy y，则 2 u = 2 答: 2y x x x 16、 设U xln xy，贝u 2 u = .答:- x y y 17、 函数 y y(x)由 1 x2y ey所确定, 则dy = .答 dx 18、 设函数z z（x, y）由方程xy2z x y z所确定，则 z _ y 2xy ey x2 .答: 2xyz 1 1 xy2 19、 由方程xyzx2 y2 z22所确定

9、的函数z z(x,y)在点(1, 0,- 1) 处的全微分dz=. 答: d x 42d y 20、 曲线x t2,v 2t,z A3在点(1,2,-)处的切线方程是 33 答: x 1 y 2 z 1 2 23 21、曲线x 2te2t, y 3e2t,z t2e2t在对应于t 1点处的法平面方程是 答：x 3y 11e20 22、曲面xey y2e2zz3e3x- 1在点（2, 1,0）处的法线方程为. e 答：x 2 y 1z 2 2e 2e 23、曲面arctan-在点（2,1,0）处的切平面方程是.答: 1 xz 4 y 2z 1 1 24、设函数z z(x,y)由方程-x2 3xy

10、 y2 5x 5y ez 2z 4确定，则函数z 的驻点是.答：(一1, 2) 27、函数 z 2x2 3y2 4x 6y 1 的驻点是.答：(1, 1) 25、 若函数f (x, y) x2 2xy 3y2 ax by 6在点 (1, 1)处取得极值，则常 数a ， b .答: a 0， b 4 26、 函数f (x,y,z) 2x2在x2 y2 2z2 2条件下的极大值是 :4 三、计算题 1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形 (1) z ,1 x2 y2(2)z ln(x y) (3) z 1(4)z ln(xy 1) ln(x y) 解: (1)要使函数z .1 x2 y2有

11、意义，必须有1 x2 y2 0，即有x2 y2 1. 故所求函数的定义域为D ( x, y) | x2y2 1,图形为图3.1 (2) 要使函数z ln(x y)有意义，必须有x y 0.故所有函数的定义域为 D (x,y)|x y 0，图形为图 3.2 1 (3) 要使函数z -有意义，必须有ln(x y) 0，即x y 0且 ln(x y) x y 1. 故该函数的定义域为D (x, y)|x y 0, x y 1，图形为图3.3 要使函数z In(xy 1)有意义，必须有xy 1 0 .故该函数的定义域为 D ( x, y) | xy 1，图形为图 3.4 图3.1 图3.2 * 泊 y

12、 奄 x+y=0 % A % O % V h 1 * I X % 7* 、x+y=1 s 图3.4 图3.3 y 1 /y=1/x 2 1x * 解: lim ysin2x x 0 y 0 xy 2、求极限 limysin2x x 0 y 0 xy ysin2x Q 11) lim= 4 x 0 y o 、x：y y 1 3、求极限lim - x 0 y 0 1 解：原式=xim0 y o 2 x y 322 x y (1, x y 1)sin(xy)xi叫 1 y01X2 sin (xy) xy x xye i 04 16 xy 4、求极限lim x ( y ( x 解: lim- xye

13、x 04 y 0 xye* x (4 J6 xy 5、设u xsin y ycosx，求 解：u sin y ysin x Uy &设z y xe ye x ，求 Zx,Zy. 解：Zx ey ye x 7、设函数z J16 xy)= -8 xy Ux,Uy. xcosy cosx zyxey e z(x, y)由 yz zx xy 3所确定，试求 (其中 解一：原式两边对x求导得 x二 z y 0,则二 xx 乙丄同理可得: y x 解二: 解：由 Zx Zy 4x 3x 3y 4y 得驻点（1,0） D zxx zxy 4 3 zyx zyy 3 4 zxx 4 0， 函数z 在点（ 9、

14、设z 3x e 2y 而 x cost, y 7 0 1,0)处取极小值z( 1,0)1. t2，求 df- zFx z y z Fy z x xFy y J x y Fx y x 8、求函数z 2x2 xy y x y e 3xy 2y2 4x 3y 1 的极值. 解：dZ 3e3x 2y ( sint) 2e3x 2y (2t)( 3sint 4t)e3x 2y dt 10、设 z yx ln(xy)，求，. x y 解: Zx x y ln y ln xy Zy 1I x xyx 11n(xy) - yx y 11、 yz a ln x (a 0), 求du . 解: yz ln a a

15、x ax yz zl n a , u yax yz ln a z x (a yz In a ax 1)dx x yz . a ln a(zd y ydz) 解：丄 x xy 2x ye 22 xy , x y e 1 x2 y2exy (2x yexy)dx (2y xexy)dy 12、求函数z in（x2 y2 exy）的全微分. xy z 2y xe 四、应用题 1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底 部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？ 解：设水池的长、宽、高分别为x,y,z米. 水池底部的单位造价为a. 则水池造价 S xy 4xz

16、4yz a 且 xyz 128 令 L xy 4xz 4yz xyz 128 Lx y 4z yz 0 由 Ly x 4z xz 0 Lz 4x 4y xy 0 L xyz 128 0 得 x y8 z2 8 米、 8 由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为 米、 2 米时，其造价最低 . 2、某工厂生产两种商品的日产量分别为 x和y (件)，总成本函数 22 C(x,y) 8x xy 12y (元) . 商品的限额为 x y 42 ，求最小成本 . 解：约束条件为 (x,y) x y 42 0 ， 构造拉格朗日函数 F(x,y, ) 8x2 xy 12y2 (x y 42)

17、， Fx 16x y 0 解方程组 Fy x 24y0，得唯一驻点 (x,y) (25,17) ， F x y 42 0 由实际情况知， (x,y) (25,17)就是使总成本最小的点，最小成本为 C ( 25,17) 8043 (元). 3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产 品甲与生产y单位的产品乙的总费用是 400 2x 3y 0.01(3x 2 xy 3y2) 元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？ 解： L(x,y) 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有 利润目标函数 L(x,y) (10 x 9y) 400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2) 22 8x 6y 0.01(3x 2 xy 3y2) 400,(x 0,y 0) ， Lx 8 0.01(6x y) 0 令x，解得唯一驻点(120, 80). Ly 6 0.01(x 6y) 0 又因 A Lxx 0.06 0,B Lxy 0.01,C Lyy 0.06，得 23 AC B 3.5 100. 得极大值L(120,80) 320.根据实际情况，此极大值就是最大值.故生产120 单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设 z eGT 求证x 2 _Z x 2z 证明：因为二 x (丄 x y)