数学(中学联盟)青岛市2020届高三4月份开学后一模考试

1、 青岛市 2020 年高三统一质量检测数学试题本试题卷共 6 页，22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 2iz1已知 i是虚

2、数单位，复数，则 z 的共轭复数 z 的虚部为iia b 1c id 1ax r log x 2bx r x 1 2a b，则2已知集合a (0，3)，集合2b (1，3)c (0，4)d (，3)(单位：元)服从正态分布2 ，则该市某居民手机支付的消费额在(1900，2200)内的概率为b 0.84 c 0.8185 d 0.47723已知某市居民在 2019 年用于手机支付的个人消费额n 2000,100a 0.9759n ,p0.6826，附：随机变量 服从正态分布2 ，则p220.9544,p330.9974a 2 ,b sin2,c log 0.2,则a,b,c4设0.2的大小关系正

3、确的是2a b cb b a cc b c ac a ba.d.3 9,x 0xf xef x( =2.718为自然对数的底数)，若 的零点为 ，极值5已知函数xe ,x 0x点为 ，则1a 6已知四棱锥abcd ，则异面直线 ef 与 pb 所成角的大小为a 30 b 45 c 60b 0c 1d 2p abcd的所有棱长均相等，点 e，f 分别在线段 pa ，pc 上，且 ef /底面d 90y2 x2a2 b27在同一直角坐标系下，已知双曲线c :1 a 0,b 02的离心率为 ，双曲线 cy sin 2x的一个焦点到一条渐近线的距离为 2，函数的图象向右平移 个单位后得到63曲线 d

4、，点 a ，b 分别在双曲线 c 的下支和曲线 d 上，则线段 ab 长度的最小值为2a 2b 3c d 1 8某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”4三类题型， 每类题型均指定一道题让参赛者回答己知某位参赛者答对每道题的概率均为 ，优题速享5且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率为11212580113c125124125abd125二、多项选择题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。r r9已知向量a

5、r rrr r( )( ) ( )+ b = 1, 1 ,a - b = -3,1 ,c = 1, 1 ，设a,b的夹角为q ，则uur u urr ra cr rcb / /c= b=135odqa ab( )= sin x + 2 3sin xcos x -cos x, xr10已知函数 f x，则22( )( ) ( )-2 f x 2f x 在区间 p 上只有 1 个零点0,acb( )p ( )f x 的最小正周期为pd x= 为f x 图象的一条对称轴3 2n ,a = 1,s = s + 2a +1n11已知数列 a 的前n 项和为 s，数列的前 项和为a an1n+1nnnnn

6、+1t ,n n ，则下列选项正确的为*n a +1是等比数列+1a数列 a是等差数列b数列nn a 的通项公式为a = 2 -1 1d. tc数列12 已 知 四 棱 台 abcdnnnn- a b c dab = 2 2，的 上 下 底 面 均 为 正 方 形 ， 其 中1111a b = 2，aa = bb = cc = dd = 2，则下述正确的是1111113 cc11c该四棱台的表面积为 26d该四棱台外接球的表面积为 p16三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。( )x 0,+4x + x a恒成立，则实数a 的取值范围为_13若，-1( )( )( )f

7、 0 =1( )，则+1f 2 =_14已知函数 f x 的定义域为 r， f x为奇函数，a +16 nx +x 2a展开式中含有 项的系数不大于 240，记 的取值集合为15已知a，二项式x a，则由集合 a 中元素构成的无重复数字的三位数共有_个( )0，-3162020 年是中国传统的农历“鼠年”，有人用 3 个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：q是圆 q 的圆心，圆 q 过坐标原点 o；点 l、s 均在 x 轴上，圆 与圆 s 的半径都等于 2，圆 s、l圆 l 均与圆 q 外切已知直线 过点 ol (1)若直线l 与圆 l、圆 s 均相切，则l 截圆 q 所得弦长为_；(2)若直线l

8、截圆 l、圆 s、圆 q 所得弦长均等于 d，则 d=_(本题第一个空 2 分，第二个空 3 分)四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17(10 分) 设等差数列 a 的前n 项和为 ，等比数列 b 的前n 项和为t 已知a b，s= 2nn1 1nn4s = 6,s = 12，t = ,n n *3232 (1)求 a ， b 的通项公式；nn139(2)是否存在正整数 k，使 得 s？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由kkk18(12 分)()()dabca,b,c2b = b + c - a 1- tan a分别为内角 a，b，c 的

9、对边，在中，2222(1)求角 c；= 2 10(2)若c，d 为 bc 中点，在下列两个条件中任选一个，求 ad的长度2 5条件：dabc的面积s = 4cos =且 ba；条件：b5注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。19(12 分)在如图所示的四棱锥 eabcd 中，四边形 abcd 为平行四边形，abce 为边长为 2 的等边三角形，ab=ae，点 f，o 分别为 ab，be 的中点，of 是异面直线 ab 和 oc 的公垂线(1)证明：平面 abe 平面 bce；(2)记cde 的重心为 g，求直线 ag 与平面 abcd 所成角的正弦值20.（12 分） 某网络购物平台

10、每年 11 月 11 日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱(1) 已知该网络购物平台近 5 年“双十一”购物节当天成交额如下表：优题速享求成交额(百亿元)与时间变量 x (记 2015 年为 x =1，2016 年为 x =2，依次类推)的线性y回归方程，并预测 2020 年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元)；(2)在 2020 年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上分别参加a、b 两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在a、b 两店订单“秒杀”成功的概率分别为 p、q，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为x(i)求

11、x 的分布列及 e(x)；(ii)已知每个订单由 k(k2，kn )件商品 w 构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品 w 数*pp7sinsinpkk4k=- ,q =量为 y，假设 p，求 e(y)取最大值时正整数 k 的值4k2k$ $附：回归方程y = bx + a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：( )( )x - x y - ynnx y - nx y$iiii$b =；a = y - bx .i=1i=1( )nn2- nx2x - xx2iii=1i=121(12 分)已知o为坐标原点，椭圆cxy (b)22: + =1 a b 0f，f的左，右焦点分别为点，且 又恰f12

12、2a22= 4xf f 为直径的圆与椭圆 c 仅有两个公共点为抛物线 d： y(1)求椭圆 c 的标准方程；(2)若直线 与 d 相交于 a，b 两点，记点 a，b 到直线 x的焦点，以212,= +的距离分别为d ，d ab d d .l= -11212直线 与 c 相交于 e，f 两点，记的面积分别为s ，s ldoab，doef12deff(i)证明：的周长为定值；1s(ii)求的最大值2s122(12 分)( )已知函数 f x= axln x - x + 2y =12的图象在点(1，1)处的切线方程为( ) 0,2( )0 f x 2；(1)当 x时，证明： ( ) ( )( )=

13、xf xx 0,1时，证明：0g(x)1；(2)设函数 g x，当 ( )n= f a ,0 a 1，n nln a 0(3)若数列 a 满足：a证明：*nn+1n1ii=1 青岛市 2020 年高三统一质量检测数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。b a c a c d d a二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。9.bd10.acd11.bcd12.ad三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。12 4-115.18； 16.（1）3；（2）13. a；14.；5四、解答题：本题共 6 小题，共

14、70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（ 本小题满分 10 分）优题速享 - s = a = 6解：（1）设数列 a 的公差为d ，在数列 a 中， s323nn= a + a = a - 2d + a - d = 12 - 3d = 6= 2又因为 s，所以d1 分3 分21233( )= a -2d = 2，所以a = 2+ n -1 2 = 2n从而 a13n= 2得：b = t =1由 a b1 14 分1141 = t -t = -1=b 的公比为 q因为b，设数列33221nb 11 1 n-1 n-1= =1=所以 q，所以b5 分2 b 3133 n( )k

15、a + a( )= k k +1=（2）由（1）知： s126 分kk( )= k k +1 6kk -5k 0，整理得 2，解得 k 7 分0 39 分123k2 23k-1k1-33113 ，即1 1= -所以t，解得2 23k-193k-19k所以 k= 410 分18.（本小题满分 12 分）解：（1）在dabc中，由余弦定理知： 2b + c - a = 2bccos a，22()()2b = 2bccos a 1- tan ab = c cos a-sin a所以2，所以1 分b sin b()=sin b = sinc cos a-sin a又由正弦定理知：，得2 分c sinc

16、( )()sin a+c = sinc cos a-sin a所以3 分即：sin acosc + cos asinc = sinc cos a-sinc sin a所以sin acosc = -sinc sin a4 分 因为sina 0 ，所以cosc又因为0 c ，所以csinc ，所以 tanc15 分36 分4（2）若选择条件s4abc112ab sin3s4ab sinc2 10ab 8 23因为，所以7 分24abc2c由余弦定理知： 240 a b 2ab cos2 242ab 402ab 40所以2a b29 分a 4a b2a 2 22由，解得：或10 分b 2 2b 4a

17、b 8 2a 2 2b 4b a ，所以b a，所以cd211 分因为，所以acdad26ca cd22ca cd cosc 16 2 2 4 2 cos326在中224ad所以12 分2 5若选择条件：cosb52 55因为cosb，所以sinb7 分5510又因为sina sin b csinb cosc sinc cosba c sina9 分10c由正弦定理知：，所以a2 210 分sinc sinasincabdadabbd2 ab bd cosb在中，由余弦定理知：222ad2612 分解得：19.（本小题满分 12 分）bce 中，oc be解：（1）证明：因为 o 为 be 的

18、中点，所以在等边1 分又因为 of 是异面直线 ab 和 oc 的公垂线，所以oc of2 分又因为of be o ,of、be 平面 abe ，所以oc平面 abe 3 分因为oc平面 bce ，所以平面abe平面 bce 4 分（2）因为 f、o 为中点，所以 of/ae ，又因为 of 是异面直线 ab 和 oc 的公垂线，所以abe为等腰直角三角形5 分ofab ，ae ab，所以ao ,ab ae2，oa 16 分连接因为oa be ,oa平面 abe ，平面abeabe平面 bce 且平面平面 bce=be所以oa平面 bce 7 分 、y、z因此，以 o 为原点，分别以 oe、o

19、c、oa 所在的直线为 x轴建系如图所示：( )( ) ()( )0,0,1 , b -1,0,0 ,c 0, 3,0 , e 1,0,08 分则 a()因为四边形 abcd 为平行四边形，设 d x000( )()00( )1, 3,19 分r( )= x, y, z设面 abcd 的一个法向量为n( )uuuruuur( )ba = 1,0,1 , bc = 1, 3,0r uuur ba =r uuur由 0+ = 0x zn bc = 0 x + 3y = 0n( )r= -1，则x = 3, z = - 3n = 3, -1,- 310 分令 y，所以( )( )( )0, 3,0

20、, e 1,0,0 , d 1, 3,1因为c，uuur2 2 3 12 2 3 2,-dcde, , ag = ,所以的重心为 g 的坐标为 11 分3 3 33 33设直线 ag 与平面 abcd 所成角为q ，则r uuurn agr uuursin = cos = u ur uuuur =105353=q12 分2 53n ag7 20.（本小题满分 12 分）解：（1）由已知可得：1+ 2 + 3+ 4 + 59 +12 +17 + 21+ 27x = 3, y =17.2 1 分555x y =19 + 212 + 317 + 421+527 = 303iii=15x =1 + 2

21、 + 3 + 4 + 5 = 55222222ii=15x y -5x y303-5317.2 45$iib = 4.52 分所以i=155-532105x -5x22ii=1$a = y -bx =17.2- 4.53 = 3.7所以3 分$ $y = bx + a = 4.5x +3.7所以= 6y = 4.56 + 3.7 = 30.7（百亿元）当 x时， 所以估计 2020 年该平台“双十一”购物节当天的成交额为30.7（百亿元）4 分（2）（i）由题知，x 的可能取值为：0，1，2( ) ( )( )p x = 0 = 1- p 1-q( ) ( ) ( )p x =1 = 1- p

22、 q + 1-q p( )p x = 2 = pq所以 x 的分布列为：( ) ( )( ) ()e x = 0 1- p 1-q + p + q - 2pq + 2pq = p + q 7 分（ii）因为 y=kxpp7sinsinpp p( ) ( ) ( )kk4ke y = ke x = k p + q = k - + = 2sin - 9 分所以4kkk k211( ) ( )，则 e y f t=( )= 0, ，设f t = 2sin t - tp p令tk 212p( ) = 2p cosp -p = 2p cosp -，且pt 0,因为f tt10 分211( )f t在区间( ) 0, 时，f t 00,所以，当t，所以上单调递增；331 11 1,3 2( )f t( ) , 时，f t 0,h x0,1在区间当 x时，( ) ( ) ( ) ( ) 1,2h x f 2 = 4ln 2-2 = ln16 -lne 0所以 f x3 分2又因为 h x( )