大一上学期高数期末考试题

1、咼数期末考试(A) 一、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1. 已知osx是f(x)的一个原函数 x r rcosx 则 f(x) d x x 2. lim n (cos2 n n cos2 乙 L n 2 n cos n 2 . x arcs in x ,Idx 丄丿1 x2 2 . 单项选择题(本大题有4小题，每小题4分, 设(x) -x,(x) 3 3Vx，则当 x1时( 1 x (A)(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； 是等价无穷小； (C)(X)是比 无穷小. 5 设 f (x) (A) f(0) 3. 、 4. cos 2 (x)高阶的无穷小; x( X

2、(B) sin x ),贝V 在 x f(0)1( C) (D) 共16分) (B)(x)与(x) (X)是比(X)高阶的 0处有( f()0(D) ). f (x)不可导. x 6.若F(x) 0 (2t x)f(t)dt ,其中f(x)在区间上(1,1) _阶可导且 f(x) 0 ，则(). (A) 函数F(x)必在x 0处取得极大值； (B) 函数F(x)必在x 0处取得极小值； (C) 函数F(x)在x 0处没有极值，但点(0,F(0)为曲线y F(x)的拐点； 7. 8. 设f (X)是连续函数，且 1 f (X) x 2 0 f (t)dt ,则 f (x)( 2 X 2 X 2

3、(a ) 2(B) 2 (C) x 1(d) x 2. (D)函数F(x)在x 0处没有极值，点(0,F(0)也不是曲线y F(x)的拐点 三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9. 设函数y y(x)由方程ex y sin(xy) 1确定，求y(x)以及y () 1 x7, 求dx. 10. x(1 x ) 11. 12. 13. 设 f (x) xe 2 x ， 设函数f(x)连续, g(x)并讨论g(x)在x g(x) 0 x 1 1 f (xt)dt 0 3 f(x)dx. 求微分方程xy 2 y ，且x 0处的连续性. xlnx 满足 y(1) lim 0 空A x ，

4、A为常数.求 1 9的解. 四、解答题(本大题10分) 14. 已知上半平面内一曲线 y y(x) (x 0)，过点(01)，且曲线上任一点 M(X0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与 x轴、y轴、直线x X。所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分) 15. 过坐标原点作曲线y ln x的切线，该切线与曲线y ln x及x轴围 成平面图形D. (1)求D的面积A ； (2)求D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分) 16. 设函数f(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q 0，1， q1 f

5、 (x) d x q f (x)dx 00 f ( x) d x 0 f (x)cos x dx 0 17. 设函数f(x)在0，上连续，且0 证明：在0，内至少存在两个不同的点1，2，使f( 1) f ( 2)0. (提 x F(x) f(x)dx 示：设0 解答 一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 5. 1 ,COSX2 .6.2(COS) c .7. 三、解答题(本大题有5小题，每小题 2.8.3 8分，共40分) 9.解：方程两边求导 x y e (1 y) cos(xy)(xy y)

6、 0 y(x) ex y ycos(xy) ex y x cos(xy) 0y(0) 10.解： u 7 x 6 7x dx 原式 1 (1 u). du 7 u(1 u) 1 7仲 |u| 2ln |u 1 , |x7 ,2,- ln I ln |1 1|) du 7 x7 x 0, y 1 0 3 11.解: 3 f(x)dx 0 3xd( xe xdx x2 dx 12.解: x xe 0 1 (x 1)2dx 0 0 3- cos2 d (令 x 2 1 sin ) -2e3 4 由 f() g(0) x xt g(x) f (xt )dt (u)du (x 0) g(x) g(0)

7、x xf (x) f (u)du 0 2 x x f(u)du 0 (x 0) lim x 0 f(x) 2x xf(x) 100 g(x) xm0 lim x 0 x f (u)du 0 2 x A 2 , g(x)在 x 0处连续。 dy 13.解:dx 2 -y x -dx x In y e xln 3 1 y(1)-,c 9 -dx e x In xdx Cx 2 xln 3 四、解答题（本大题10分） C) 0yx 9 14解：由已知且y 将此方程关于x求导得 特征方程：r2 r 2 x x 2 yd x y y 2y y 解出特征根: 1, 2. 其通解为y C1e C2e2x 代

8、入初始条件y() 故所求曲线方程为： 五、解答题(本大题1分) 7) 1，得 2 x y 3e C1 2x 15解：(1)根据题意，先设切点为 (x,ln x) 由于切线过原点，解出x 1 (ey A 则平面图形面积 e，从而切线方程为: 1 ey)dy -e 1 y ，切线方程： 1 y x e In x 1 (x x) x (2)三角形绕直线 曲线y 为V In x D绕直线 六、证明题 x=e一周所得圆锥体体积记为 与x轴及直线 1 V2 (e 16.证明: q (1 q) f(x)d x 1 , q 2 q,1 q(1 V1,则 x = e所围成的图形绕直线x= e一周所得旋转体体积

9、ey)2dy V V1 V2 x = e旋转一周所得旋转体的体积 (本大题有 q f(x)dx 2小题，每小题4分，共12 分) 1 q f (x)dx 2 严 12e 3) q f (x) d x q( f (x) d x 1 f (x)dx) q 1 q f(x)dx q q) f( i) q(1 q) f( 2) 1) f ( 2) 故有： q f (x) d x f(x)dx 证毕。 F(x) , 证：构造辅助函数: 上可导。F (x) 。其满足在，上连续，在(，) f(x)，且 F() F() 17. x 0 f (x) cos xdxcosxdF (x) F (x)cosx|0 s

10、in x F(x)dx 由题设，有0 0 0 F (x)sin xdx 0 (0,) ，使F( )si n0 即 有0 ，由积分中值定理，存在 F ( )0 综上可知F(0) F( ) F( )0,(0,).在区间0,上分别应用罗 尔定理，知存在 1(0，)和 2(，),使 F ( 1)0 及 F ( 2)0 ,即 f ( 1) f ( 2)0 高数期末试题(B) 、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 18 设 f ( x) cos x(xsin x ),则在x0处有() (A) f (0) 2(B) f (0) 1 (C) f (0) 0(D) f (x)不可导. 设(x)

11、-x,(x) 3 3Vx，则当 x1时() 19.1 x. (A)(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B)(x)与(X) 是等价无穷小； (C)(X)是比(X)高阶的无穷小；(D)(X)是比(x)高阶的 无穷小. x 20.若F(x)0 (2t x)f(t)dt，其中f(x)在区间上(1,1) 二阶可导且 f (x)0 ，则(). (A) 函数F(x)必在x 0处取得极大值； (B) 函数F(x)必在x 0处取得极小值； (C) 函数F(x)在x 0处没有极值，但点(0,F(0)为曲线y F(x)的拐点; 21. (D)函数F(x)在x 0处没有极值，点(0,F(0)也不是曲线y

12、F(x)的拐点。 设f (x)是连续函数，且 2 2 xx (A)2( B)2 f (x) 1 2 0 f(t)dt ,则 f (x)( 1 填空题(本大题有4小题，每小题 2 lim (13x)sin7 x 0 (D) x 4分， 2. 共16分) 已知cosx是f(x)的一个原函数 23.x I rcosx 则 f(x) d x lim (cos2 n n n cos2 -L n cos2-) n 22. x 24. 1 2 2 x arcs in x 1 dx 11 x2 25.2. 三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 26. 27. 28. 29. 设函数y y(x)由

13、方程e sin(xy) 求丄dx. x(1 x7) 设 f (x) xc xe ,x 0 2 x x 2,0 x 设函数f(x)连续, g(x) f (xt)dt 0 1确定，求y(x)以及y(0) 求 3 f (x)dx mo n X 且 X /V 1 求 数 常 为 A 7 A g(x)并讨论g(x)在x o处的连续性. y(1) 30. 求微分方程xy 2 y x In x满足9的解. 四、解答题(本大题10分) 31. 已知上半平面内一曲线 y y(x) (x 0)，过点(01)，且曲线上任一点 M(X0，y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线X X。所围成 面积的2倍与该

14、点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分) 32. 过坐标原点作曲线y ln x的切线，该切线与曲线y ln x及x轴围 成平面图形D. (1)求D的面积A; (2)求D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分) 33. 设函数f(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q 0,1， q1 f (x) d x q f (x)dx 00 f ( x) d x 0f (x)cos x dx 0 34. 设函数f(x)在0，上连续，且0 证明：在0，内至少存在两个不同的点1，2，使f ( J f ( 2)0. (提 x F(x)

15、f(x)dx 示：设0 、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题(本大题有4小题, 1 /COSX、2 6 () 6. e. 6. 2 x 三、解答题(本大题有5小题， 18.解：方程两边求导 ex y(1 y ) cos(xy)(xy ycos(xy) x cos(xy) y(0) du 1 7 每小题 c .7. 每小题 y) 0 4分，共16分) 2.8.3 8分，共40分) y(x) ex y 尹 0 19.解： u 7 x 7x6dx 原式 1 (1 u)du 7 u(1 u) 1 -(ln |u| 2ln |u 1 2 ln

16、|x7 1 ln |1 1|) c x 0, y x7| 0 3 1 (- u *)du 20.解: 3 f(x)dx 0 x 3xd( e ) xe x xe xdx 2x x2dx 0 0 1 (x 1)2dx 0 0 3 cos2 d (令 x 2 1 sin ) 21.解: 2e3 4 由 f() g(x) f (xt )dt 知 g(0) 0。 x f (u)du xt u 0 x (x 0) g(x) g(0) xf(x) lim x x f (u)du 0 2 x x f(u)du 0 (x 0) 0 x2 xf(x) f(x) 00 g (x) lim x 0 lim x 0

17、2x x f (u)du 0 2 x A 2，g(x)在 x dy 22.解：dx In x 0处连续。 x dx y e x ( 1 xln x 3 i y(i) 9，C 2dx e亍 In xdx C) Cx 2 四、解答题(本大题 23.解：由已知且y 将此方程关于x求导得 特征方程：r2 r 2 x y - xln x 3 10分) x 2 0 yd x y y 2y 其通解为y Cie 代入初始条件y() 故所求曲线方程为： 五、解答题(本大题i分) 0 解出特征根: 小2x C 2e 70) i， 2 x y e 3 得 1 e 3 Ci 2x 1, 3, C2 2. 24.解：(

18、1)根据题意，先设切点为 (x,ln x) 由于切线过原点，解出X0 1 (ey 0 A 则平面图形面积 e，从而切线方程为: 1 ey)dy e i 2 y ，切线方程： i x e In x i (x X。) Xo (2)三角形绕直线 曲线y ln x 为V2 x = e 一 与x轴及直线 则Vi 周所得圆锥体体积记为 x = e所围成的图形绕直线x= e一周所得旋转体体积 d绕直线 六、证明题 i V2 (e 0 ey)2dy 25.证明： q (i q) f(x)d x i 0, q 2 q，1 q(1 V V1 V2 x = e旋转一周所得旋转体的体积 (本大题有 q f(x)dx 0 2小题，每小题4分，共12 分) 1 q f (x)dx 0 故有: 2 严 12e 3) q f (x) d x q( f (x) d x i f (x)dx) q i q f (x)dx q q) f ( i) q(i f( i) f ( 2) q)f( 2) q1 f(x)d x q f(x)dx 0 0 证毕。 26. x