第7章无限脉冲响应滤波器设计

1、数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 1 从大的方面来看，从大的方面来看，设计无限脉冲响应数字滤波器有两设计无限脉冲响应数字滤波器有两 种基本方法：一种是间接设计法，另一种是直接设计种基本方法：一种是间接设计法，另一种是直接设计 法。法。间接设计法的基础是模拟滤波器。间接设计法的基础是模拟滤波器。 7.1 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 这里的模拟滤波器指调整模拟信号频谱的模拟系统。这里的模拟滤波器指调整模拟信号频谱的模拟系统。 理想模拟滤波器在通带和阻带交界处的幅度是突变理想模拟滤波器在通带和阻带交界处的幅度是突变 第第7章章 无限脉冲响应滤波器的

2、设计无限脉冲响应滤波器的设计 图图7.1 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 2 的，实际模拟滤波器在通带和阻带之间的幅度是渐变的，实际模拟滤波器在通带和阻带之间的幅度是渐变 的。的。 7.1.1 模拟滤波器的描述方法模拟滤波器的描述方法 模拟滤波器的频率响应是根据非周期函数的傅里叶变模拟滤波器的频率响应是根据非周期函数的傅里叶变 换定义换定义(3.84)得来的。实际模拟滤波器的频率响应得来的。实际模拟滤波器的频率响应 其中其中h(t)是实际模拟滤波器的单位脉冲响应，是因果是实际模拟滤波器的单位脉冲响应，是因果 的。脉冲响应的。脉冲响应h(t)的拉普

3、拉斯变换的定义是的拉普拉斯变换的定义是 0 )()()(dtethdtethH tjtj )( )()(LT)(jsdteththsH st (7.1) (7.4) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 3 模拟滤波器的幅频特性模拟滤波器的幅频特性|H(j)|也有用分贝的衰减函数也有用分贝的衰减函数 A()来表示的，即来表示的，即 如果如果|H(j)|max=1，则衰减函数将变为，则衰减函数将变为 幅频特性的平方幅频特性的平方|H(j)|2叫做幅度平方响应，它也是一叫做幅度平方响应，它也是一 种描述模拟滤波器的有效方法。因为，利用系统频谱种描述模拟滤波

4、器的有效方法。因为，利用系统频谱 H(j)的共轭特点，即的共轭特点，即 )( | )(| | )(| lg10)( 2 2 max 分贝 jH jH jA )( | )(|lg10)( 2 分贝jHjA ) 1 . 7( )()(*可知利用定义jHjH (7.7) (7.8) (7.9) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 4 幅度平方响应有这种关系，幅度平方响应有这种关系， 这种关系是设计模拟滤波器的工具。下面介绍两种常这种关系是设计模拟滤波器的工具。下面介绍两种常 用的模拟滤波器设计。用的模拟滤波器设计。 7.1.2 巴特沃斯滤波器的设计巴特沃斯

5、滤波器的设计 模拟低通巴特沃斯滤波器的幅度平方响应是模拟低通巴特沃斯滤波器的幅度平方响应是 它的幅度随频率的增大而变小。例如它的幅度随频率的增大而变小。例如H(j)在阶在阶N=1N=1和和 5 5的频率响应曲线，的频率响应曲线， js sHsHjHjHjH | )()()(*)(| )(| 2 )( )/(1 1 | )(| c 2 c 2 是半功率点截止频率 N jH (7.10) (7.11) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 5 为了得到用复频率为了得到用复频率s表示的系统，让我们将表示的系统，让我们将s=j代入代入 幅度平方响应，就可以得到

6、幅度平方响应，就可以得到 )( )()( )( )( )( )0(7.1( 1 1 | )()(| )(| 21 221 2 c 2 c 2 2 c 2 c 2 是分母的根 利用关系 N N N NN N N js s ssssss j js j j s sHsHjH 图图7.2 (7.12) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 6 巴特沃斯幅度平方响应的分母有巴特沃斯幅度平方响应的分母有2N个根，确定这些根个根，确定这些根 的依据是的依据是 利用利用-1=ej(2k-)来求解方程来求解方程(7.13)，就能得到这些根，就能得到这些根 只要你选择只要

7、你选择s左半平面的极点左半平面的极点s1N，用它们组成幅度平，用它们组成幅度平 方函数中的系统函数方函数中的系统函数H(s)，即，即 0)( 2 c 2 NN js )2 , , 3 , 2 , 1( ) 12 1( 2 c Nkes N k j k )( )( )( )()( )( ) 12 1 ( 2 c 1 c 1 21 c ，前后两半的极点共轭 不影响幅频特性省略 N k j k N k k N k k N N N es ss sH j ssssss sH (7.13) (7.14) (7.18) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 7 就可

8、以获得稳定的模拟巴特沃斯滤波器。就可以获得稳定的模拟巴特沃斯滤波器。 例题例题7.1 船舶通信需要一个模拟低通滤波器，其通带船舶通信需要一个模拟低通滤波器，其通带 截止频率截止频率fp=5kHz，通带衰减，通带衰减Ap=2dB，阻带截止频率，阻带截止频率 fs=12kHz，阻带衰减，阻带衰减As=20dB。请设计一个能满足这。请设计一个能满足这 些技术指标的模拟低通巴特沃斯滤波器。些技术指标的模拟低通巴特沃斯滤波器。 解解 设计滤波器的关键在阶设计滤波器的关键在阶N和和3dB截止频率截止频率c。下面。下面 分四步来设计模拟滤波器。分四步来设计模拟滤波器。 （1）确定滤波器的阶）确定滤波器的阶

9、根据衰减公式和巴特沃斯的幅度平方函数，得根据衰减公式和巴特沃斯的幅度平方函数，得 )( dB )/(1lg10)( 2 c jA N 省略虚数符号(7.20) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 8 将技术指标代入衰减函数，可得阶将技术指标代入衰减函数，可得阶 实际的阶实际的阶N是正整数，最好是大于理论值的最小整数。是正整数，最好是大于理论值的最小整数。 本题取本题取N=3。 （2）确定滤波器的截止频率）确定滤波器的截止频率 根据衰减函数，如果使用通带指标来计算根据衰减函数，如果使用通带指标来计算3dB截止频截止频 率，则率，则 93. 2 )/lg

10、(2 )110/() 110lg( sp 10/ 10/ hButterwort s p A A N Hz)5468( (rad/s) 34356 54682) 110(50002 c )32/(110/2 c f (7.23) (7.27) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 9 （3）确定滤波器的极点）确定滤波器的极点 根据极点公式根据极点公式(7.14)和阶和阶N=3，选择位于，选择位于s平面的左半平面的左半 平面的极点，得系统的极点平面的极点，得系统的极点 （4）确定滤波器的系统函数）确定滤波器的系统函数 根据巴特沃斯滤波器的系统函数根据巴特

11、沃斯滤波器的系统函数(7.18)，该系统函数，该系统函数 )34356( 1006. 41036. 21087. 6 1006. 4 )( 22 )30. 7( )()( )( c 139243 13 3 c 2 c 2 c 3 3 321 3 c 代入 利用共轭特点 利用极点 sss sss ssssss sH c )( , , 13 3 4 c3c2 3 2 c1 的共轭是ssesses jj (7.30) (7.31) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 10 系数的近似取值会改变系统的频率响应，所以，必须系数的近似取值会改变系统的频率响应，所

12、以，必须 检验公式检验公式(7.31)的幅频特性。它的幅频特性的幅频特性。它的幅频特性|H()|如左如左 图所示，右图是图所示，右图是H(s)的系数四舍五入为整数后的幅频的系数四舍五入为整数后的幅频 特性，例如特性，例如4.061013变为变为41013；两者都能满足技；两者都能满足技 术指标。术指标。 图图7.4 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 11 7.1.3 切比雪夫滤波器的设计切比雪夫滤波器的设计 切比雪夫滤波器有两种类型：切比雪夫滤波器有两种类型： 切比雪夫切比雪夫1型的模拟低通滤波器的幅度平方函数是型的模拟低通滤波器的幅度平方函数是

13、式中式中r是跟通带的波动幅度有关的系数，是跟通带的波动幅度有关的系数，CN(x)是是N阶阶 )( )/(1 1 | )(| p 2 p 2 是通带截止频率 N rC H 图图7.5 (7.32) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 12 切比雪夫多项式。切比雪夫多项式。N阶切比雪夫多项式的定义是阶切比雪夫多项式的定义是 或或 其中其中C0(x)=1和和C1(x)=x。 确定切比雪夫确定切比雪夫1型的阶型的阶N和波动系数和波动系数r，可，可从衰减函数从衰减函数 入手，衰减函数是入手，衰减函数是 )1|( )(chch )1|( )(coscos )(

14、1 1 时当 时当 xxN xxN xCN )2( )()(2)( 21 nxCxxCxC nnn )32. 7()(7.7( )/(1lg10)( 2 p 和根据公式 N rCA (7.33) (7.34) (7.35) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 13 首先，首先，将通带指标将通带指标p, Ap带入公式带入公式(7.35)，得到，得到 经过化简，得到波动系数经过化简，得到波动系数 然后，将指标然后，将指标p、s、As和和r代入式代入式(7.35)，得到，得到 2/1 10/ ) 110( p A r ) 1/( )ch(ch1lg10 )

15、3(7.3( )/(1lg10 ps 21 2 pss xxNr rCA N 暂时使用 根据公式 )1lg(10)/(1lg10 22 ppp rrCA N (7.36) (7.37) (7.38) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 14 化简公式化简公式(7.38)，就能得到切比雪夫，就能得到切比雪夫1型的阶型的阶 知道阶知道阶N和波动系数和波动系数r，就能设计切比雪夫，就能设计切比雪夫1型的系统型的系统 函数函数H(s)了。为了得到了。为了得到H(s)，让我们将，让我们将s=j代入幅度代入幅度 平方函数平方函数(7.32)， )/(ch )11

16、0/110(ch )/(ch )/110(ch ps 1 10/ 10/1 ps 1 10/1 1 Chebyshev p ss A AA r N )( )(1 1 )10. 7( )(1 1 | )()(| )(| p 22 2 p 2 j s x xCr j s rC sHsHH N N js 为了方便观察，令 利用关系 (7.39) (7.40) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 15 它的分母含它的分母含N阶多项式阶多项式CN(x)的平方，是的平方，是2N阶的，应该阶的，应该 有有2N个根。确定这些根的依据是个根。确定这些根的依据是 从多项

17、式从多项式CN(x)中任选一个方程，都可以求解上面的方中任选一个方程，都可以求解上面的方 程。比如选择程。比如选择CN(x)的第一个方程，这时令的第一个方程，这时令 并将它代入公式并将它代入公式(7.33)的第一个方程，得到的第一个方程，得到 r jxCxCr NN 1 )( 0)(1 22 ，或者 )( )(cos 1 巧这是复数变量的代换技jbax )(sh)sin()(ch)cos( )(3.5( )sin()sin()cos()cos( )( )(cos)( NbNajNbNa jNbNajNbNa jbaNxCN 欧拉公式 式三角函数的两角和的公 (7.41) (7.42) (7.4

18、3) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 16 其中双曲正弦函数其中双曲正弦函数sh(x)=sinh(x)=(ex-e-x)/2。将公式。将公式 (7.43)代入方程代入方程(7.41)，得到一个二元，得到一个二元N次复数方程次复数方程 对比复数方程对比复数方程(7.44)的实部和虚部，可以得到二元的实部和虚部，可以得到二元N次次 方程组方程组 利用双曲余弦函数利用双曲余弦函数ch(x)0和和sin(/2)=1的特点，的特点， 求出方程组求出方程组(7.45)的解的解 r jNbNajNbNa 1 )(sh)sin()(ch)cos( r NbNa

19、NbNa 1 )(sh)sin( 0)(ch)cos( (7.44) (7.45) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 17 将这些将这些a和和b代回公式代回公式(7.42)，并借鉴公式并借鉴公式(7.43)，就能就能 得到方程得到方程(7.41)的根，的根， 参考公式参考公式(7.40)的的x=s/(jp)和公式和公式(7.47)，得到切比雪得到切比雪 夫夫1型的幅度平方函数的型的幅度平方函数的2N个极点，个极点， )1( )/1 (sh 2 12 / ) 2 ( 1 Nk N r b N k Nka )/1 (sh sh) 2 12 sin( )

20、/1 (sh ch) 2 12 cos( )1( )sh()sin()ch()cos( 11 N r N k j N r N k Nkbajbaxk (7.46) (7.47) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 18 其中其中k=1N，每个，每个k都包含都包含“”两种情况。两种情况。 按照公式按照公式(7.16)(7.17)的分析，组成稳定系统的分析，组成稳定系统H(s)的极的极 点应该在复数点应该在复数s坐标平面的左半平面；符合稳定要求的坐标平面的左半平面；符合稳定要求的 极点是极点是 其中其中k=1N。这些极点的前后部分是共轭对称的。这些极点的

21、前后部分是共轭对称的。 )/1 (sh ch) 2 12 cos( )/1 (sh sh) 2 12 sin( 1 p 1 p N r N k j N r N k sk )/1 (sh ch) 2 12 cos( )/1 (sh sh) 2 12 sin( 1 p 1 p N r N k j N r N k sk (7.48) (7.50) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 19 利用这些极点利用这些极点(7.50)，就可以获得切比雪夫就可以获得切比雪夫1型的系统型的系统 函数函数 你可能会问：这个表达式是怎么来的呢？你可能会问：这个表达式是怎么来

22、的呢？ )( )()(2 )( 21 1 p 是滤波器的阶N ssssssr sH N N N (7.51) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 20 这个表达式是这么来的，运用对比法就可以得到。这个表达式是这么来的，运用对比法就可以得到。 让我们重写切比雪夫让我们重写切比雪夫1型的幅度平方函数，型的幅度平方函数， 它的分母包含一个它的分母包含一个N阶切比雪夫多项式阶切比雪夫多项式CN(s/jp)的平的平 方。这说明其系统函数方。这说明其系统函数H(s)是是N阶的，阶的，H(s)的分母包含的分母包含 CN(s/jp)，它是变量它是变量(s/jp)的的

23、N阶多项式。多项式阶多项式。多项式 CN(s/jp)的最高次幂的最高次幂(s/jp)N=sN/(jp)N的系数是的系数是2N-1， 这可以利用切比雪夫多项式的定义这可以利用切比雪夫多项式的定义(7.34)递推得到。递推得到。 2 p 2 )(1 1 | )()(| )(| j s rC sHsHH N js (7.52) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 21 如果提取分母多项式的公因式如果提取分母多项式的公因式r2N-1/(jp)N，然后再因，然后再因 式分解这个分母多项式，则切比雪夫式分解这个分母多项式，则切比雪夫1 1型的系统函数型的系统函数

24、 可以写为可以写为 切比雪夫切比雪夫1型的系统函数型的系统函数(7.51)就是这么来的。就是这么来的。 )s( )()( )2/( )( )()( )( 2 1 )( 1 21 1 p 21 p 1 的左半平面在极点 不影响幅度特性省略 N N NN N N N N s ssssss r j ssssss j r sH (7.53) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 22 例题例题7.2 检测水流速度时，需要一个低通滤波器。滤检测水流速度时，需要一个低通滤波器。滤 波器要求通带截止频率波器要求通带截止频率fp=3kHz，通带衰减，通带衰减Ap=1d

25、B， 阻带截止频率阻带截止频率fs=6kHz，阻带衰减，阻带衰减As=40dB。请设计一。请设计一 个能满足这些技术指标的模拟切比雪夫个能满足这些技术指标的模拟切比雪夫1型低通滤波型低通滤波 器。器。 解解 设计滤波器的关键是确定阶设计滤波器的关键是确定阶N和波动系数和波动系数r。下面分。下面分 四步完成这个设计。四步完成这个设计。 确定波动系数确定波动系数r 将通带衰减将通带衰减Ap=1dB代入公式代入公式(7.37)，得到波动系数得到波动系数 509. 0) 110( 2/110/1 r (7.54) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 23 确

26、定阶确定阶N 将技术指标将技术指标As、r、fs和和fp代入公式代入公式(7.39)，得到阶，得到阶 实际的阶实际的阶N应该取整数应该取整数5。 确定系统的极点确定系统的极点 将技术指标将技术指标fp、N、r等代入公式等代入公式(7.50)，得系统极点得系统极点 )( 536. 4 )32/()62(ch )509. 0/110(ch 1 10/401 理想值 N .286)0ch() 10 12 cos(18850.286)0sh() 10 12 sin(18850 k j k sk (7.55) (7.56) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science

27、24 它的它的k=15。利用前后极点的共轭对称性简化计算，。利用前后极点的共轭对称性简化计算， 这这5 5个极点是个极点是 写出系统函数写出系统函数 将极点将极点(7.57)代入切比雪夫代入切比雪夫1型的系统函数型的系统函数(7.51)， 得得 到系统函数到系统函数 )( 186630 .1686 115359 .4413 9 .5455 115359 .4413 186630 .1686 5 4 3 2 1 称极点的前后部分共轭对 js js s js js (7.57) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 25 若将公式的若将公式的s换成换成j=

28、j2f，即可计算幅频特性，即可计算幅频特性|H(f)| 201162123845 20 8282 20 54321 45 p 10922. 210328. 710525. 610617656 10922. 2 )10525. 18828)(5456)(10512. 33372( 10922. 2 )( )()()()( )2/( )( sssss sssss ssssssssss r sH利用极点的共轭对称性 (7.58) 图图7.9 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 26 7.2 间接设计数字滤波器间接设计数字滤波器 间接设计数字滤波器的方法是借

29、助模拟系统函数和数间接设计数字滤波器的方法是借助模拟系统函数和数 字系统函数的数学关系，也就是字系统函数的数学关系，也就是s和和z之间的对应关系，之间的对应关系， 对模拟滤波器进行数学变换。变换方法有两种。对模拟滤波器进行数学变换。变换方法有两种。 7.2.1 脉冲响应不变法脉冲响应不变法 它的原理和模拟信号变成数字信号的原理是一样的，它的原理和模拟信号变成数字信号的原理是一样的， 将单位脉冲响应当作是模拟信号，这个问题就好理解将单位脉冲响应当作是模拟信号，这个问题就好理解 了。了。 为了从模拟系统函数为了从模拟系统函数Ha(s)获得数字系统函数获得数字系统函数H(z)，现，现 在将模拟系统函

30、数写成在将模拟系统函数写成 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 27 根据拉普拉斯变换的定义根据拉普拉斯变换的定义(7.4)，这个，这个Ha(s)的拉普拉斯的拉普拉斯 逆变换逆变换 按照公式按照公式(7.80)离散化这个模拟系统离散化这个模拟系统ha(t)，得到数字系得到数字系 统统 )( )(LT)( 1 aa 是模拟系统的极点 i N i i i s ss A thsH )ILT( )()(ILT)( 1 aa 写是拉普拉斯逆变换的简 N i ts i tueAsHth i )( )(| )()( 11 是单位阶跃序列nunueAtueAnh N

31、 i nTs i N i nTt ts i ii (7.83) (7.84) (7.85) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 28 然后求这个离散系统然后求这个离散系统h(n)的的z变换，得到数字系统函数变换，得到数字系统函数 它就是从它就是从Ha(s)获得获得H(z)的脉冲响应不变法。观察公式的脉冲响应不变法。观察公式 (7.86)，你会发现数字系统的极点，你会发现数字系统的极点zi和模拟系统的极点和模拟系统的极点 si的对应关系：的对应关系： |)|( 1 )()(ZT)( 1 1 Ts N i Ts i n n i i ez ze A znh

32、nhzH 收敛域 )z( 平面的极点平面的极点映射到sez Ts i i (7.86) (7.87) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 29 例题例题7.5 检测地球物理信号时，需要滤掉被测信号中检测地球物理信号时，需要滤掉被测信号中 的高频噪声。假设有用信号的频谱成分分布在频率的高频噪声。假设有用信号的频谱成分分布在频率 f=0500Hz的范围，请你设计一个的范围，请你设计一个4阶的巴特沃斯数字阶的巴特沃斯数字 滤波器，让它完成这项任务。滤波器，让它完成这项任务。 解解 截止频率通常是指半功率点截止频率，也就是截止频率通常是指半功率点截止频率，也

33、就是3dB 截止频率。这截止频率。这么理解的话，本题的设计可以分两步完么理解的话，本题的设计可以分两步完 成。成。 （1）设计模拟系统函数）设计模拟系统函数 已知有用信号的截止角频率已知有用信号的截止角频率c=2500弧度弧度/秒，滤波秒，滤波 器的阶器的阶N=4，根据公式，根据公式(7.18)计算模拟系统函数计算模拟系统函数Ha(s)的的 极点，极点， 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 30 并写出系统函数并写出系统函数Ha(s)的部分分式表达式的部分分式表达式 )( )( 29031202 )( 12022903 12022903 290312

34、02 14 23 2 1 利用极点的共轭对称性 利用 利用 sjs sjs js js 4321 601145135041451350414516011451 )( ss j ss j ss j ss j sH a (7.99) (7.100) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 31 这个模拟滤波器这个模拟滤波器Ha(s)的幅频特性的幅频特性为为 自变量是频率自变量是频率f的幅度的幅度|Ha(f)|在在f=500Hz的的地方有地方有- 20log10(0.707)3 (dB)的衰减。的衰减。 （2）设计数字系统函数）设计数字系统函数 运用脉冲响应不

35、变法的转换公式运用脉冲响应不变法的转换公式(7.88)时，必须先选择时，必须先选择 对模拟滤波器的采样频率对模拟滤波器的采样频率fs。从上图看，选择采样频从上图看，选择采样频 率率fs=4000Hz，应该不会造成数字滤波器太多的混叠，应该不会造成数字滤波器太多的混叠 图图7.13 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 32 失真。失真。对照模型对照模型(7.100)，将模拟极点，将模拟极点sk和采样周期和采样周期 T=1/fs代入公式代入公式(7.88)，就可以得到数字滤波器的系统，就可以得到数字滤波器的系统 函数函数 这是两个二阶节的并联结构。其幅频

36、特性如图，这是两个二阶节的并联结构。其幅频特性如图， 21 1 21 1 234. 0924. 01 085. 0726. 0 548. 0108. 11 255. 0726. 0 )( zz z zz z zH(7.102) 图图7.14 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 33 它的最大值为它的最大值为1，这是变换公式，这是变换公式(7.86)乘上乘上T的效果。的效果。 按照按照=T的关系，自然频率的关系，自然频率f=500Hz对应数字角频率对应数字角频率 =0.25，这点的数字频谱有，这点的数字频谱有-20log10(0.707)3dB的衰的衰

37、 减。减。 还有，在横坐标还有，在横坐标=的地方，对应频率的地方，对应频率f=fs/2=2000Hz， 看不出来混叠失真。看不出来混叠失真。 脉冲响应不变法的优点是，数字系统的脉冲响应和模脉冲响应不变法的优点是，数字系统的脉冲响应和模 拟系统的脉冲响应是线性关系，数字角频率和模拟角拟系统的脉冲响应是线性关系，数字角频率和模拟角 频率也是线性关系；缺点是，对模拟滤波器的采样频频率也是线性关系；缺点是，对模拟滤波器的采样频 率必须满足采样定理。率必须满足采样定理。 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 34 7.2.2 双线性变换法双线性变换法 双线性变换

38、法是利用双线性变换法是利用s平面到平面到z平面的映射关系，平面的映射关系， 将模拟系统函数将模拟系统函数Ha(s)转变为数字系统函数转变为数字系统函数H(z)，也就，也就 是是 )( 1 1 1 1 1 1 程分子和分母都是线性方 z z z z s )( | )()( a 1 1 a 1 1 是模拟滤波器sHsHzH z z s (7.104) (7.105) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 35 获得双线性变换法的技巧是变量代换。令获得双线性变换法的技巧是变量代换。令s的角频率的角频率 为了获得为了获得s与与z的直接映射关系，让我们用三角函数

39、转的直接映射关系，让我们用三角函数转 化频率映射公式化频率映射公式(7.107)， 然后令然后令s=j和和z=ej，并将它们代入上式，就可以得到，并将它们代入上式，就可以得到 )( )2/tan(是比例常数cc )( 1 1 2/1 1 1 2/12/1 2/12/1 z z z c zz zz cs分子分母同乘 )(3.5( 2/ )( )2/()( )2/cos( )2/sin( 2/2/ 2/2/ 利用欧拉公式 jj jj ee jee cc (7.107) (7.108) (7.109) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 36 虽然公式虽然

40、公式(7.109)是利用是利用s=j和和z=ej得到的，但是，对得到的，但是，对 于于s=+j的情况，公式的情况，公式(7.109)仍然是仍然是s点对点对z点的映射。点的映射。 这个结论是这么来的，公式这个结论是这么来的，公式(7.109)的逆变换是的逆变换是 为了方便观察为了方便观察z和和s的映射关系，将的映射关系，将z=rej和和s=+j代代 入公式入公式(7.110)，得到，得到 上式的上式的、r与与呈一对一的关系。这个特点可以防止呈一对一的关系。这个特点可以防止 混叠失真。混叠失真。 )( 是正的常数c sc sc z )( zs jc jc re j 映射到复变量复变量 (7.110

41、) (7.111) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 37 顺便说一下，任何模拟信号，它的无穷大频率成分是顺便说一下，任何模拟信号，它的无穷大频率成分是 不可能转变为数字信号的，映射公式的复变量不可能转变为数字信号的，映射公式的复变量s只是个只是个 虚构的数学变量。虚构的数学变量。 应用双线性变换法来设计数字滤波器，其步骤大体上应用双线性变换法来设计数字滤波器，其步骤大体上 分三步：分三步： 第一，将数字滤波器的通带截止频率和阻带截止频率第一，将数字滤波器的通带截止频率和阻带截止频率 代入角频率映射公式，算出虚构的模拟通带截止频率代入角频率映射公式

42、，算出虚构的模拟通带截止频率 和阻带截止频率；和阻带截止频率； 第二，根据模拟滤波器的指标设计模拟滤波器；第二，根据模拟滤波器的指标设计模拟滤波器； 第三，对虚构的模拟系统函数应用双线性变换函数，第三，对虚构的模拟系统函数应用双线性变换函数， 获取数字滤波器。获取数字滤波器。 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 38 例题例题7.6 有一种模拟信号的有用成分分布在频率有一种模拟信号的有用成分分布在频率 f=1kHz以下。如果信号的采样频率以下。如果信号的采样频率fs=8kHz，要求幅，要求幅 度失真小于度失真小于3dB，请你利用频率映射公式，请你利用

43、频率映射公式(7.107)和双和双 线性变换公式线性变换公式(7.109)，设计一个，设计一个1阶的巴特沃斯数字滤阶的巴特沃斯数字滤 波器，让它完成选择低频信号的滤波任务。波器，让它完成选择低频信号的滤波任务。 解解 首先从题目的信号指标获取数字低通滤波器的首先从题目的信号指标获取数字低通滤波器的3dB 截止频率截止频率c=21000/8000=0.25，然后开始设计数字，然后开始设计数字 滤波器。滤波器。 （1）计算模型滤波器的边界频率）计算模型滤波器的边界频率 )rad/s( 414. 0)2/25. 0tan()2/tan( cc ccc(7.115) 数字信号处理数字信号处理 Enjo

44、y ScienceEnjoy Science 39 （2）设计模型滤波器）设计模型滤波器 根据巴特沃斯滤波器的极点公式根据巴特沃斯滤波器的极点公式(7.14)，计算模拟系统，计算模拟系统 Ha(s)的的1阶极点阶极点 再根据模拟系统函数公式再根据模拟系统函数公式(7.18)，写出，写出1阶巴特沃斯滤阶巴特沃斯滤 波器的系统函数波器的系统函数 （3）设计数字滤波器）设计数字滤波器 对模型的系统函数对模型的系统函数Ha(s)应用双线性变换公式应用双线性变换公式(7.109)， 获取数字低通滤波器的系统函数获取数字低通滤波器的系统函数 )( )( c c c a 的值暂时不要代入 s sH c 2

45、2 c1 j es (7.116) (7.117) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 40 左图是令左图是令c=1的模拟滤波器的幅频特性，当的模拟滤波器的幅频特性，当 时，时，|Ha()|0；右图是数字滤波器的幅频特性，当；右图是数字滤波器的幅频特性，当 时，时，|H()|0，无折叠失真。，无折叠失真。 1 1 1 1 1 1 a 414. 01 293. 0293. 0 )c( 414. 0 1 1 414. 0 | )()( 1 1 z z c z z c c sHzH z z cs 自动被抵消比例常数 (7.118) 图图7.17 数字信号处

46、理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 41 7.3 直接设计数字滤波器直接设计数字滤波器 它的做法是：在数字域里设计数字滤波器它的做法是：在数字域里设计数字滤波器H(z)，设计，设计 的依据可以是系统的零极点，也可以是系统的频谱误的依据可以是系统的零极点，也可以是系统的频谱误 差，还可以是单位脉冲响应的误差。差，还可以是单位脉冲响应的误差。 7.3.1 零极点设计法零极点设计法 通过设置系统函数的零极点位置，达到设计数字滤波通过设置系统函数的零极点位置，达到设计数字滤波 器的目的。不过，设置的零极点必须经过检验，确定器的目的。不过，设置的零极点必须经过检验，确定

47、 它们是否达到技术指标。它们是否达到技术指标。 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 42 例题例题7.7 请根据零极点的特点设计一个数字滤波器，请根据零极点的特点设计一个数字滤波器， 用它来完成对模拟信号的选频。要求这个数字滤波器用它来完成对模拟信号的选频。要求这个数字滤波器 能完成以下的模拟信号处理指标：能完成以下的模拟信号处理指标： （1）完全滤除模拟信号的直流成分和）完全滤除模拟信号的直流成分和250Hz成分，成分， （2）有用信号的中心频率是）有用信号的中心频率是20Hz， （3）滤波器的）滤波器的3dB带宽是带宽是10Hz。 解解 计算出几

48、个关键的模拟信号频率及其对应的数字角计算出几个关键的模拟信号频率及其对应的数字角 频率，频率， 表表7.2 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 43 为了实现本题的指标（为了实现本题的指标（1），我们在，我们在z单位圆的单位圆的=0和和 的地方各设置一个零点，的地方各设置一个零点， 为了实现本题的指标（为了实现本题的指标（2），在），在z单位圆的单位圆的=0.08的的 地方设置一个极点。地方设置一个极点。零极点必须是共轭对称的。零极点必须是共轭对称的。 极点的半径极点的半径r需要经过计算和分析才能确定。需要经过计算和分析才能确定。将这些零将这些零 极

49、点代入因式的系统函数极点代入因式的系统函数 11 2 0 1 jj ezez和 08. 0 2 08. 0 1 jj reprep 和 2 1 2 1 )( )( )( n n m m pz zz zH (7.122) (7.123) (7.120) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 44 经过尝试，得到经过尝试，得到r=0.94，其归一化幅频特性为，其归一化幅频特性为 这样设置零极点的系统函数是这样设置零极点的系统函数是 21 2 08. 008. 0 884. 0821. 11 1 )94. 0)(94. 0( ) 1)(1( )( zz z

50、ezez zz zH jj 图图7.18 (7.124) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 45 7.3.2 最小误差设计法最小误差设计法 这里的设计误差是，希望的滤波器性能和设计的滤波这里的设计误差是，希望的滤波器性能和设计的滤波 器性能之间的差别。器性能之间的差别。 最小误差法可在时域中进行，也可在频域中进行设计。最小误差法可在时域中进行，也可在频域中进行设计。 （1）时域的最小误差法）时域的最小误差法 设计一个可以实现的因果滤波器设计一个可以实现的因果滤波器h(n)，并尽量使，并尽量使h(n) 的性能逼近理想滤波器的性能逼近理想滤波器hd(n

51、)的性能。这个的性能。这个“尽量尽量”就就 是工程上常说的是工程上常说的“误差最小误差最小”。但是，误差最小的标。但是，误差最小的标 准是不同的，比如误差平均值最小、误差最大值最小准是不同的，比如误差平均值最小、误差最大值最小 等。等。 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 46 误差的标准是误差的标准是h(n)-hd(n)=0 这种设计方法叫做帕德算法，它要求在时序范围这种设计方法叫做帕德算法，它要求在时序范围0, I+J里，设计的因果系统里，设计的因果系统h(n)等于希望的系统等于希望的系统hd(n)。 帕德逼近法的设计原理是这样的。假设等待设计的

52、系帕德逼近法的设计原理是这样的。假设等待设计的系 统统h(n)的系统函数是的系统函数是 将这个公式右边的分母移到左边，得到将这个公式右边的分母移到左边，得到 )( 1 )()( 0 1 0 是待定系数和 ji n J j j j I i i i n ab za zb znhzH )1( )()( 01 个待定系数共 JIzbzazHzH I i i i J j j j (7.130) (7.131) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 47 根据根据z变换的定义变换的定义(4.31)和延时性质（表和延时性质（表4.4），上面公），上面公 式的反式的反

53、z变换是变换是 帕德方法令帕德方法令n=0I+J时的时的h(n)=hd(n)，并将它们并将它们代入上代入上 式式，整理后得到，整理后得到 这就是帕德算法，它在时序这就是帕德算法，它在时序n=0I+J的范围内成立，的范围内成立， 总共有总共有I+J+1个线性方程，可以求解得到系统函数个线性方程，可以求解得到系统函数 (7.130)或差分方程或差分方程(7.132)的系数的系数bi和和aj。 )( )()()( 01 是因果序列nhinbjnhanh I i i J j j )( )()()( dd 1 d 0 是已知的其中nhnhajnhbin J j j I i i (7.132) (7.13

54、3) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 48 帕德逼近法能够在时序帕德逼近法能够在时序n=0I+J的范围内做到的范围内做到 h(n)=hd(n)，但是，它不能保证时序但是，它不能保证时序nI+J的的h(n)逼近逼近 我们希望的我们希望的hd(n)。 例题例题7.9 假设磁悬浮列车掠过桥墩的地基震动脉冲响假设磁悬浮列车掠过桥墩的地基震动脉冲响 应应hd(n)=5, 2, 1, 0.5。请你用帕德逼近法设计两种无。请你用帕德逼近法设计两种无 限脉冲响应系统函数限脉冲响应系统函数H(z)：一种是二阶全极点的，另：一种是二阶全极点的，另 一种是单零点和单极

55、点的。要求设计的系统一种是单零点和单极点的。要求设计的系统h(n)在在 n=02时等于地基震动脉冲响应时等于地基震动脉冲响应hd(n)。 解解 （1）二阶全极点的系统函数）二阶全极点的系统函数 观察系统函数观察系统函数(7.130)，对于二阶全极点的系统函数来，对于二阶全极点的系统函数来 说，待定系数是说，待定系数是b0、a1和和a2，它们的帕德逼近方程是，它们的帕德逼近方程是 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 49 将测量值将测量值hd(n)代入公式代入公式(7.134)，解方程组得到，解方程组得到 它们对应二阶全极点的系统函数是它们对应二阶全极

56、点的系统函数是 （2）单零点和单极点的系统函数）单零点和单极点的系统函数 观察公式观察公式(7.130)，对于单零点和单极点的系统函数来，对于单零点和单极点的系统函数来 )20)33(7.1( )2()0() 1 ( ) 1 ()0( )0( d2d1d d1d d0 JI hahah hah hb ，根据帕德算法 04. 04 . 05 210 aab， 21 1 04. 04 . 01 5 )( zz zH (7.134) (7.135) (7.136) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 50 说，待定系数是说，待定系数是b0、b1和和a1，它

57、们的帕德逼近方程是，它们的帕德逼近方程是 将测量值将测量值hd(n)代入公式代入公式(7.137)，解方程组得到，解方程组得到 它们的系统函数是它们的系统函数是 经过验算，经过验算，h1(n)和和h2(n)在在n=02范围都等于范围都等于hd(n)；在；在 n=02以外，以外，h1(3)=0.48，h2(3)=0.5。 ) 11)133. 7( )2() 1 ( ) 1 ()0( )0( d1d d1d1 d0 JI hah hahb hb ，根据帕德算法 5 . 05 . 05 110 abb， 1 1 2 5 . 01 5 . 05 )( z z zH (7.137) (7.138) (7

58、.139) 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 51 7.4 低通滤波器的变换低通滤波器的变换 实际应用中，不仅需要低通滤波器，而且还需要高通、实际应用中，不仅需要低通滤波器，而且还需要高通、 带通、带阻等滤波器。能不能利用前面介绍的低通滤带通、带阻等滤波器。能不能利用前面介绍的低通滤 波器的设计方法，设计其它的选频滤波器呢？波器的设计方法，设计其它的选频滤波器呢？ 假若有类似频率变换公式假若有类似频率变换公式(7.106)的方法，我们就能在的方法，我们就能在 低通滤波器的基础上设计其它选频滤波器。低通滤波器的基础上设计其它选频滤波器。 7.4.1

59、模拟频率域的频率变换模拟频率域的频率变换 在模拟频率域中，模拟低通滤波器和其它模拟选频滤在模拟频率域中，模拟低通滤波器和其它模拟选频滤 波器的频率变换关系如表波器的频率变换关系如表7.3所示，所示，其箭头符号其箭头符号 表表 示频率映射。示频率映射。 数字信号处理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 52 使用表使用表7.37.3的映射公式的方法是：将模型低通滤波器的映射公式的方法是：将模型低通滤波器 中的复频率中的复频率s s用箭头右边的表达式替换，就可得到我用箭头右边的表达式替换，就可得到我 们所需要的选频滤波器。们所需要的选频滤波器。 表表7.3 数字信号处

60、理数字信号处理 Enjoy ScienceEnjoy Science 53 例题例题7.11 有一个有一个3dB截止角频率截止角频率c=1的一阶巴特沃斯的一阶巴特沃斯 模拟低通滤波器模拟低通滤波器H(s)。请以。请以H(s)为模型，设计另一个为模型，设计另一个 3dB截止频率截止频率fc=100Hz的一阶模拟低通滤波器。的一阶模拟低通滤波器。 解解 已知模型的边界频率已知模型的边界频率model=1rad/s，新型滤波器的，新型滤波器的 边界频率边界频率new=2100rad/s。根据模拟巴特沃斯滤波器根据模拟巴特沃斯滤波器 的极点公式的极点公式(7.18)，作，作为模型的一阶巴特沃斯滤波器的