医用基础化学

1、 定义域定义域 Dxxfy, )( f ( D ) 称为值域称为值域 函数图形函数图形: ),(yxC Dx, )(xfy 自变量自变量 因变量因变量 x y ) ,(baD abx )(xf o ) 1/() 1(2) 1(2 2 xxyxy与 ) 1 2 arcsin( 4 1 )( 2 x x xf 11 2 04 2 x x 40 2 x x )2,0 约定约定: : 定义域是自变量所能取的使算式有定义域是自变量所能取的使算式有( (实际实际) )意意 义的一切实数值义的一切实数值. . , 23) 1( 2 xxxf )(xf 解：解： 652) 1(3) 1()( 22 ttttt

2、f 65)( 2 xxxf 1)( 2 xxf)(),(xffxf 解：解：512)2( 2 f 221) 1(1)()( 2422 2 xxxxfxff |),( 00 xxxx )(2xf)(1xf x y 2x 1x )(xfy x y 2x 1x )(xfy )(2xf )(1xf oo 函数函数y=xy=x2 2是在其定义域是在其定义域(-,+)(-,+)上是上是 偶函数偶函数; ;函数函数y=sinxy=sinx是在其定义域是在其定义域(-,+)(-,+) 是奇函数是奇函数; ;函数函数y=sinx+cosxy=sinx+cosx在其定义域在其定义域(-(- ,+),+)上非奇非偶

3、上非奇非偶. . 偶函数偶函数 y x )( xf )(xfy ox-x )(xf 奇函数奇函数 )( xf y x )(xf ox -x )(xfy o y x M -M y=f(x) I 有界有界 (2)(2)有界与否是和有界与否是和I I有关的有关的. . (1)(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的当一个函数有界时，它的界是不唯一的. . 注意注意: : (-,+)(-,+)上任上任 MxMx cos,sin意一点意一点x,x,存在存在M=1,M=1,使得使得 (-,+)(-,+)上都是有界函数。上都是有界函数。 (0,+)(0,+)上为无界函数上为无界函数, ,因为因为 Mx ln

4、 (0(0，1)1)上是无上是无 界的界的, ,但在闭区间但在闭区间1,21,2上却是有界函数上却是有界函数, , 因为在此因为在此 Mx /1 x y T/2-T/23T/2-3T/2 (1)(1)幂函数幂函数 xy 是常数是常数, ,取取 值不同函数的值不同函数的 定义域不同定义域不同 o x y )1 , 1( 1 1 xy (2) (2) 指数函数指数函数),(),1, 0(aaay x y x o (3) (3) 对数函数对数函数), 0(),1, 0(log aaxy a x o y (4) (4) 三角函数三角函数 正弦函数正弦函数),(,sin xxy o 2 2/32/ x

5、2/2/32 y 1 ),(,cos xxy 余弦函数余弦函数 2/5 1 o2/32/x2/2/32 y 1 正切函数正切函数 Rxkxxy , 2/,tan y o x 2 1 2 3 2 1 2 3 (5) (5) 反三角函数反三角函数 1 , 1,arcsinxxy反正弦函数反正弦函数 x y o11 2 2 1 , 1,arcsinxxy 1 , 1,arccos xxy 反余弦函数反余弦函数 11 ox 2 1 , 1,arccosxxy y ),(,arctan xxy反正切函数反正切函数 o x y 2 2 ,tanarcxxy 2 2 1 mvE gtv 2 )( 2 1 g

6、tmE 2 2 1 mvE gtv 例如例如, ,函数函数,arcsinuy ,12 2 xu 合函数合函数,12arcsin 2 xyDx,1 2 3 1, 2 3 但函数但函数 2 2,arcsinxuuy 可定义复可定义复 不能构成复合函数不能构成复合函数. . 1,lg,arcsin xvvuuy 例如例如, ,函数函数)1arcsinlg( xy可分解为函数可分解为函数 又如函数又如函数 22 ,xuuy 也可分解成：也可分解成： 34/3 ,xuuy 4 xy 可分解成：可分解成： )1arcsinlg( x n nn axaxaxp .)( 1 10 2/ )( xx ee 2/

7、 )( xx ee 符号函数符号函数 xysgn 当 x 0,1 当 x = 0,0 当 x 0,1 x y o 1 1 )( 1 yfx )( 1 yfx )( 1 yfx )( 1 yfx )( 1 yfx ) 1, 0( aaay x y axlog x ay yx a log xy a log 函数函数)(xfy 与其反函数与其反函数 )( 1 xfy 的图形关于直线的图形关于直线 xy 对称对称 . . 例如例如 , , ),(,xey x 与对数函数与对数函数 ),0(,lnxxy互为反函数互为反函数, , 它们都单调递增它们都单调递增, ,其图形关于直线其图形关于直线xy 对称对

8、称. . )(xfy )( 1 xfy xy ),(abQ ),(baP x y o 指数函数指数函数 )( 1 yfx )( 1 xfy 定义域定义域 对应规律对应规律 2.2.函数的特性函数的特性 单调性单调性, ,奇偶性奇偶性, , 有界性有界性, ,周期性周期性 3.3.初等函数初等函数 1.1.函数的定义及函数的二要素函数的定义及函数的二要素 r 引例引例: : 设有半径为设有半径为r r的圆的圆, , n A逼近圆面积逼近圆面积S.S. n 如图所示如图所示, ,可知可知 n A n nn r cossin 2 ),5,4,3(n 当当n n无限增大时无限增大时, , n A无限逼

9、近无限逼近 S.S. 用其内接正用其内接正n n边形的面积边形的面积 我国古代魏末晋初的杰出数学家我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的他撰写的重重 差差对对九章算术九章算术中的方法和公式作了全面的评中的方法和公式作了全面的评 注注, 指出并纠正了其中的错误指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献理论上作出了杰出的贡献 .他的他的 “ 割圆术割圆术 ” 求圆周率求圆周率 “ 割之弥细割之弥细 , 所失弥小所失弥小, 割之又割割之又割 , 以至于不可割以至于不可割 , 则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣 ” 它包含了它包含了“用已知逼近未知用已

10、知逼近未知 , 用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要的重要 极限思想极限思想 . 的方法的方法 : n xxx,., 21 n x ,. 1 ,., 3 1 , 2 1 , 1: 1 )1 ( nn xn ,. 1 1,., 3 4 , 2 3 ,2: 1 1)2( nn xn 注意：注意： 1.1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列. .可看作一可看作一 动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取 ., 21 n xxx 1 x 2 x 3 x 4 x n x 2.2.数列是整数函数数列是整数函数),(nfxn . Nn ,.,1 , 1, 1:) 1()4( 1 n n x , )

11、 1( 1 , 3 2 , 2 3 , 0: ) 1( 1)3( nn x nn n n x n x n x n x )(lim nAxAx nn n 或 )( , 0 1 )1 ( n n xn )(,1 1 1)2( n n xn )( , 1 ) 1( 1)3( n n x n n ) 1()4( 1 n n x , 1 , 4 3 , 3 2 , 2 1 n n 1 n n xn)(1n 收收 敛敛 ,. ) 1( ) 1( ,., 16 1 , 25 1 , 4 1 2 n n )( , 0 n 2 ) 1( ) 1( n x n n n 2 n n x2 0 )1(xx 0 )2(

12、xx 0 )3(xx x)4( x)5( x)6( x 0 1 lim x x ox y x y 1 自变量变化过程的六种形式自变量变化过程的六种形式: :)(xfy x Axf x )(lim)()(xAxf当 0 xx 0 1 sinlim 0 x x x x y o x xy 1 sin 0 00 0 0 0 0 xx Axf xx )(lim 0 )()( 0 xxAxf当 0 00 0 0 0 0 xx Axf xx )(lim 0 Axf xx )(lim 0 0 xx Axfxf xxxx )(lim)(lim 00 定理定理 左极限左极限: : )( 0 xf Axf xx )

13、(lim 0 右极限右极限: : )( 0 xfAxf xx )(lim 0 定理定理 Axf xx )(lim 0 Axfxf xxxx )(lim)(lim 00 0, 1 0, 0 0,2 )( xx x xx xf 当 当 当 0)2(lim)(lim 00 xxf xx 1) 1(lim)(lim 00 xxf xx )(lim)(lim 00 xfxf xx 思考与练习思考与练习: : 1.1.若极限若极限)(lim 0 xf xx 存在存在, , )()(lim 0 0 xfxf xx 作业作业: : 是否一定有是否一定有 ？ 2.2.设函数设函数)(xf且且 )(lim 1 x

14、f x 存在存在, ,则则. a3 1, 12 1, 2 xx xxa 0 xx 0)(lim 0 xf xx x 0 xxxxsin, 2 x x e x x/1 注意：注意： 1) 1) 无穷小量是一个变量无穷小量是一个变量, ,而不是一个数而不是一个数. . 但但0 0可以作为无穷小的唯一一个常数。可以作为无穷小的唯一一个常数。 3) 3)此概念对数列极限也适用此概念对数列极限也适用, ,若若 , , 称数列称数列 为为 时的无穷小。时的无穷小。 0lim n n x n x n 2)2)无穷小量与自变量变化过程有关。无穷小量与自变量变化过程有关。 0)sin(lim 0 xx x 说明

15、说明: :无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! ! 0 xx x Axf x xx )(lim )( 0 或 )()(xAxf 0)(lim )( 0 x x xx 或 当当 再如再如: : x x 1 lim , ,函数函数 x 1 x时为无穷小时为无穷小; ; 0sin.lim 0 xx x 例如例如: : xx x arctan)./1 (lim 例如例如: : x x x sin lim 0 0 0 x )(xf )( lim )( 0 xf x xx 或 0 xx x 0 xx )( lim 0 xf xx )( lim xf x 0 x x 2/x 若若

16、 若若 )(xf 为无穷大为无穷大, , )(/1xf 为无穷小为无穷小; ;)(xf为无穷小为无穷小, ,且且 ,0)(xf 则则为无穷大为无穷大. . 则则 0 xx 在在 ( (或或 时时), ), x )(/1xf 注意：注意： 无穷大是变量无穷大是变量, ,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆; ; 1. 1. 无穷小与无穷大的定义无穷小与无穷大的定义; ; 2. 2. 无穷小定理无穷小定理; ; 3. 3. 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系. . 一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则 1.2.4 1.2.4 极限的运算极限的运算 ,)(lim,)(limBxgAxf

17、则有则有 )()(limxgxf)(lim)(limxgxf BA 设设 )()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA 【定理定理4 4】 )( )( lim xg xf )(lim )(lim xg xf B A 其中其中 B B00 证明证明:.)(lim,)(limBxgAxf ).()(),()(xBxgxAxf 由无穷小运算法则由无穷小运算法则, ,得得 )()(xgxf )()(xBxA )()(xBxAAB .0 . 0)(, 0)(xx )()(xgxf ABxgxf )()(lim 【推论推论3 3】ACxfCxfC.)(lim)(lim (C(C为常数为常数) )

18、 【推论推论4 4】 nnn Axfxf )(lim)(lim(n(n为正整数为正整数) ) 1.1.设设n n次多项式次多项式 ,)( 1 10n nn n axaxaxP 则则 n n xx n xx n xx axaxaxP 1 10 )lim()lim()(lim 000 n nn axaxa 1 0100 ).( 0 xP n 则有则有且且设设, 0)(, )( )( )(. 2 0 xQ xQ xP xf )(lim )(lim )(lim 0 0 0 xQ xP xf xx xx xx )( )( 0 0 xQ xP ).( 0 xf )52(lim 3 2 xx x )52(l

19、im 3 2 xx x 5lim2)(lim 2 3 2 xx xx 95228 例例8 8 求求) 13()52(lim 23 2 xxxx x )13()52(lim 23 2 xxxx x , 03) 13(lim 2 2 xx x )13(lim)52(lim 2 2 3 2 xxxx xx 3 3 9 例例9 9 求求) 1/() 12(lim 23 xxx x ) 12/() 1(lim 32 xxx x 32 3 11 2 11 lim xx xx x 0 ) 1/() 12(lim 23 xxx x 为非负常数为非负常数) )nmba,0( 00 mn 当 m mm x axa

20、xa 1 10 lim n nn bxbxb 1 10 , 0 0 b a ,0 , mn 当 mn 当 例例10 10 求求 5 21 lim 5 x x x 4 1 5 21 lim 5 x x x )21)(5( )21)(21( lim 5 xx xx x )21)(5( )5( lim 5 xx x x 21 1 lim 5 x x 1. 1. 极限运算法则极限运算法则 (1) (1) 无穷小运算法则无穷小运算法则 (2) (2) 极限四则运算法则极限四则运算法则 注意使用条件注意使用条件 2.2.求分式函数极限求法求分式函数极限求法 0 ) 1xx 时时, ,用代入法用代入法( (

21、分母不为分母不为0)0) 0 )2xx 时时, ,对对 0 0 型型, ,约去公因子约去公因子 x)3时时, ,分子分母同除最高次幂分子分母同除最高次幂 1.1. ,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf )()(limxgxf 是否存在是否存在 ? ? 为什么为什么 ? ? 答答: : 不存在不存在 . . 否则由否则由)()()()(xfxgxfxg 利用极限四则运算法则可知利用极限四则运算法则可知)(limxg存在存在 , , 与已知条件与已知条件 矛盾矛盾. . ? 321 lim 2222 n n nnn n 解解: : 原式原式 2 2 ) 1( lim n nn n ) 1

22、1( 2 1 lim n n 2 1 2.2. 问问 . )1(lim 2 xxx x 解法解法 1 1 原式原式 = = xx x x 1 lim 2 1 1 1 1 lim 2 x x 2 1 解法解法 2 2 令 令, 1 x t tttt 1 1 11 lim 2 0 2 1 则则 原式原式 = = 2 2 0 11 lim t t t 11 1 lim 2 0 tt 0t .0)1(lim 33 xax x 解解 : : 令令, 1 x t 则则 t a t t 3 3 0 1 1lim0 01a t at t 33 0 1 lim 01lim 33 0 at t 故故 1a因此因此

23、 二、两个重要极限二、两个重要极限 1 sin lim. 1 0 x x x )(),(),(xhxgxf , )()(xhxg)(xf Axhxg xxxx )(lim)(lim 00 Axf xx )(lim 0 例例11 11 证明证明 1coslim0sinlim 00 xx xx ； 22 2 2 sin21cos0 2 2 2 xxx x xx sin0 0 x 2 ,xx 1coslim0sinlim 00 xx xx ； 证明证明 ) 2 0(, xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆 ,tan ,sin ADx ABxBCx 弧于是有 .ADO，得作单位圆的切线 ,xOA

24、B的圆心角为的圆心角为扇形扇形 ,BCOAB的高为 D C B A x 1 o 圆扇形圆扇形AOB的面积的面积 即即 xsin 2 1 x 2 1 xtan 2 1 AOB 的面积的面积AOD的面积的面积 1 sin cos x x x 1 sin lim 0 x x x 1 )( )sin( lim sin lim 00 x x x x xx 1 sin lim 0 x x x 故 . tan lim 0 x x x 解解: : x x x tan lim 0 xx x xcos 1sin lim 0 x x x sin lim 0 x xcos 1 lim 0 1 . cos1 lim 2

25、 0 x x x 解解: :原式原式= = 2 2 2 0 sin2 lim x x x 2 1 2 1 2 1 2 0 sin lim x 2 x 2 x 2 1 例例14 14 求 x x x 1 sinlim 练习：求练习：求. arcsin lim 0 x x x 解解: :令令,arcsin xt 则则,sintx 因此因此 原式原式 t t tsin lim 0 1 lim 0 t t tsin 1 解：解：, tx 1/ x x x 1 sinlim x x x1 1 sin lim t t t sin lim 0 1 则则 e n n n )1(lim 1 .590457182

26、818284. 2)1( 1 n n n n )1( 1 n e n n n )1(lim 1 e x x x )1 (lim 1 ,/1 tx 则则 ,)1 (lim 1 0 et t t 令令即即 ex x x 1 )1 (lim 0 .)1 (lim 1 0 x x kx 解解: : k e x x kx 1 0 )1 (lim )( ) 1 ( 0 )(1 lim k kx x kx 例例16 16 求求 x x x x ) 1 1 (lim x x x x ) 1 1 (lim ) 1 2 1 (lim.) 1 2 1 (lim 2 ) 2 1 ( xx x x x )12 . 2

27、1 ( ) 1 2 1 (lim x x x 2 e 1 sin lim) 1 ( 0 e ) 1 1(lim)2( 或或e 1 )1(lim 0 注注: : 代表相同的表达式代表相同的表达式 1. 1. 数列极限存在的夹逼准则数列极限存在的夹逼准则 函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则 填空题填空题( 1( 14 )4 ) ;_ sin lim. 1 x x x ;_ 1 sinlim. 2 x x x ;_ 1 sinlim. 3 0 x x x ;_) 1 1 (lim. 4 n nn 0 1 0 1 e ,0时x x xxxx 1 sin,sin,3 22 都是无穷小都是无穷小

28、, ,引例引例: : x x x3 lim 2 0 ,0 2 0 sin lim x x x , x x x3 sin lim 0 , 3 1 但但 2 2 0 1 sin lim x x x x x x 1 sinlim 0 不存在不存在, ,不可比不可比. . 极限不同极限不同, ,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同. . x x x sin lim 0 1 而而 )()0)()(xxx及 中中, ,设设在自变量同一变化过程在自变量同一变化过程)( 0 xxx或 存在 )( )( lim x x ,0 )( )( lim x x 若若 则称则称 是比是比 高阶高阶

29、的无穷小的无穷小, , );()(xox 记作记作 , )( )( lim x x 若若 则称则称 (x)(x)是比是比 (x)(x)低阶的无穷小低阶的无穷小; ; 若若), 1 ,0(lim为常数ccc , ,则称则称 (x)(x)与与 (x)(x)的同阶无的同阶无 穷小穷小; ;特别当特别当c=1c=1时时, ,称称 (x)(x)与与 (x)(x)是等价无穷小是等价无穷小, ,记记 )()(xx作作 ).0()3( 2 xxox 例如，例如， ，0 3 lim 2 0 x x x x x x 3 sin lim 0 , 3 1 2 0 sin lim x x x , 2 2 ，1 sin

30、lim 0 x x x )0(sinxxx )(o 0 x时时 3 x 2 6xxsin; x xtan;x xarcsinx 2 0 cos1 lim x x x 2 2 0 sin2 lim x x 2 2) (4 x 2 1 故故0 x时时, ,xcos1是关于是关于x x的高阶无穷小的高阶无穷小, , xcos1 2 2 1 x 且且 又如又如, , 0 lim ,0 , , )0(C ,1 ,0lim C k 1. 1. 无穷小的比较无穷小的比较 设设 , , 对同一自变量的变化过程为无穷小对同一自变量的变化过程为无穷小, ,且且 是是 的的高阶高阶无穷小无穷小 是是 的的低阶低阶无

31、穷小无穷小 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小 是是 的的等价等价无穷小无穷小 是是 的的 k k 阶阶无穷小无穷小 ,0时当 x xsinxtanxarcsin,x,x,x xcos1 , 2 2 1 x 常用等价无穷小常用等价无穷小: : 设函数设函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0的某一邻域内有定的某一邻域内有定 义义, ,当自变量由点当自变量由点x x0 0变到另一点变到另一点x x时时, ,称称x-x- x x0 0 值为自变量的增量值为自变量的增量, ,记为记为x=x-xx=x-x0 0, ,相应地相应地 f(xf(x0 0+x)-f(x+x)-f(x0 0) )值为函数的

32、增量值为函数的增量, ,记为记为 y=f(x)-f(xy=f(x)-f(x0 0). ). 【增量定义增量定义】 xxx 0 , ,故有故有 )()( 00 xfxxfy )(xfy xo y x y 0 x )( 0 xf x )(xf 【定义定义1111】 )()(lim 0 0 xfxf xx 0lim 0 y x 设函数设函数y=f(x)y=f(x)在在x x0 0点的某一邻域内有定义点的某一邻域内有定义, , 在在x x0 0点给自变量以增量点给自变量以增量x=x-xx=x-x0 0 , ,相应地函数 相应地函数 的增量的增量y=f(x)-f(xy=f(x)-f(x0 0)=f(x)

33、=f(x0 0+x)-f(x+x)-f(x0 0),),如果如果 0lim 0 y x , ,则称函数则称函数 y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0连续连续, ,并称并称 点点x x0 0为函数为函数f(x)f(x)的连续点的连续点. . 【定义定义1212】 设函数设函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0的某一邻域内有定的某一邻域内有定 义义, ,若当若当 时时, ,函数函数f(x)f(x)的极限存在且等的极限存在且等 于于f(xf(x0 0),),即即 则称函数则称函数 y=f(x)y=f(x) 在点在点x x0 0连续连续. . , )()(lim 0 0 xfxf x

34、x 0 xx 即函数即函数)(xf在点在点 0 x (1) (1) )(xf在点在点 0 x 即即)( 0 xf (2) (2) 极限极限)(lim 0 xf xx (3)(3)()(lim 0 0 xfxf xx 连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件: : 存在存在 ; ; 有定义有定义, ,存在存在 ; ; 。 0 0 limxx xx )lim()()(lim 00 0 xfxfxf xxxx 例例17 17 验证函数验证函数y=sinxy=sinx在区间在区间 上是连续上是连续 , xxxxfxxfysin)sin()()( x在区间在区间 上任取一点上任取一点x,x,当当x x有

35、增量，有增量， , 对应的函数增量为：对应的函数增量为： )cos(sin2 22 xx x )cos( 2 x x )sin( 2 x 0 x )cos(sin2 22 xx x 0lim 0 y x , ,所以函数所以函数 , y=sinxy=sinx在区间在区间 上连续上连续 同样可证同样可证: : 函数函数 xycos在在),(内连续内连续. . 【定义定义1313】 设函数设函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0的左邻域内的左邻域内(x(x0 0+ +,x,x0 0 内有定义内有定义, ,若若 , ,则称函数则称函数y=f(x)y=f(x)在在 点点x x0 0处左连续。处

36、左连续。 )()(lim 0 0 xfxf xx 0 0 )()(lim 0 0 xfxf xx )()(lim)(lim 0 00 xfxfxf xxxx 0, 1 0, 0 0,2 )( xx x xx xf 当 当 当 )2(lim)(lim 00 xxf xx 1 )(lim 0 xf x 0 ) 1(lim)(lim 00 xxf xx ),0(f y o x 121 1 2 1 若若f(x)f(x)在区间（在区间（a,ba,b）上每一点都连续）上每一点都连续, ,则称则称 f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)上连续上连续; ;如果如果f(x)f(x)在在x=ax=a点右连续点右

37、连续, ,而而 在在x=bx=b点左连续点左连续, ,则称则称f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上连续上连续 )()(lim, ),( 00 0 xPxPx xx 例如例如, , n nx axaaxP 10 )( 在在),(上连续上连续, ,即即: : ( (有理整函数有理整函数) ) 又如又如, ,有理分式函数有理分式函数)(/ )()(xQxPxR 义域内连续。义域内连续。 在其定在其定 只要只要,0)( 0 xQ都有都有)()(lim 0 0 xRxR xx 种情况之一时种情况之一时, ,点点x x0 0为函数为函数f(x)f(x)的间断点的间断点: : (1)(1)函数函数f(

38、x)f(x) 0 x在在无定义无定义 ; ; 在在 在在 (2)(2)函数函数f(x)f(x) 0 x)(lim 0 xf xx 不存在不存在; ; (3)(3)函数函数f(x)f(x) 0 x)(lim 0 xf xx 存在存在, , 但但 )()(lim 0 0 xfxf xx 虽有定义虽有定义, ,但但 虽有定义虽有定义, ,且且 根据定义根据定义1212可知可知, ,当函数当函数f(x)f(x)在点在点x x0 0有下列三有下列三 1 1 )( 2 x x xf y o x 121 1 2 1 2 1 1 )( 2 x x xf 0, 1 0, 0 0,2 )( xx x xx xf

39、当 当 当 )2(lim)(lim 00 xxf xx 1 )(lim 0 xf x 0 ) 1(lim)(lim 00 xxf xx y o x 121 1 2 1 0, 2 0, 1 )( x xx xf )0(1) 1(lim)(lim 00 fxxf xx y o x 121 1 2 1 2 2 x为其无穷间断点为其无穷间断点 . . 0 x为其振荡间断点为其振荡间断点 . . x y 1 sin) 2( xytan) 1 ( xytan 2 x y o x y x y 1 sin 0 1 ) 1 (1)(lim 1 fxf x 显然显然 1x 为其可去间断点。为其可去间断点。 1,

40、1, )( 2 1 x xx xfy(4)(4) xo y 2 1 1 (5) (5) 0,1 0,0 0,1 )( xx x xx xfy x y o 1 1 , 1)0( f1)0( f 0 x 为其跳跃间断点。为其跳跃间断点。 )()(lim 0 0 xfxf xx 0)()(lim 00 0 xfxxf x )()()( 000 xfxfxf 左连续左连续右连续右连续 )(. 1xf 0 x在点在点连续的等价形式连续的等价形式 例如例如, ,),( xx cos,sin在在内连续。内连续。 xxxxcsc,sec,cot,tan在其定义域内连续。在其定义域内连续。 ),(xu 0 xx

41、 ax xx )(lim 0 )()(limafuf au xfy 0 xx )(af)()(lim 0 afxf xx au a )(lim)()(lim 00 xfafxf xxxx )( xu 0 xx )()(lim 0 0 xfxf xx )( 0 xu )()(lim 0 0 xx xx 0 xx xfy x x x 1 0 1coslim eu exx x x x x )1 (limcos)1cos(lim /1 0 /1 0 x x /1 )1cos( x xuuy / 1 )1 (,cos uycos ex x x /1 0 )1 (lim x e 1 x e 1 xuey

42、u /1, xu/ 1 ), 0()0 ,( u ey ),( x e 1 ),( . )1 (log lim 0 x x a x 解解: :原式原式 x x a x 1 )1 (loglim 0 e a log aln 1 练习练习2:2: 求求 . 1 lim 0 x a x x 解解: :令令, 1 x at则则 , )1 (logtx a 原式原式 )1 (log lim 0t t a t aln 说明说明: :当当, ea 时时, ,有有 0 xxx)1ln( xe x 1 x y 1 sin是由连续函数是由连续函数),(,sin uuy ), 0()0 ,( x 在在上连续上连续

43、. . x y o x y 1 sin x y 1 sin 解：解： ,/1 xu 因此因此 x y 1 sin复合而成复合而成, ,), 0()0 ,( x 练习练习3 3 求求 9x 3x lim 2 3x 解：解： 6 6 6 1 9x 3x lim 9x 3x lim 2 3x 2 3x 2 1 sin 2 x xe xf x 0 x 2 1 sin 2 x xe xf x 0)0()(lim 0 fxf x 0 1 sin lim 2 0 2 x xe x x yfx 1 例如例如, , xysin 在在 , 22 上连续单调递增上连续单调递增, ,其反其反 函数函数xyarcsin

44、在在 1,11,1上也连续单调递增上也连续单调递增. . x ey 在在),(上连续上连续 单调单调 递增递增, , 其反函数其反函数 xyln在在),0(上也连续单调递增上也连续单调递增. . 又如又如, , ) 1, 0( aaay x ) 1, 0(log aaxy a 注意注意: : 初等函数求极限的方法代入法初等函数求极限的方法代入法: : )()(lim 0 0 xfxf xx xx定义区间。定义区间。 基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续

45、连续函数的复合函数连续 初等函数初等函数 在定义区在定义区 间内连续间内连续 说明说明: : 分段函数在界点处是否连续需讨论其左、分段函数在界点处是否连续需讨论其左、 右连续性。右连续性。 作业：作业： a m 2 x o y M 1b )(xfy 注意注意: : 间断点间断点, ,结论不一定成立。结论不一定成立。 若函数在开区间上连续若函数在开区间上连续, ,或在闭区间内有或在闭区间内有 例如例如, ,)1,0(,xxy 无最大值和最小值无最大值和最小值 x o y 1 1 21,3 1,1 10,1 )( xx x xx xf x o y 1 1 2 2 也无最大值和最小值也无最大值和最小

46、值 又如又如, , ,)(Mxfm 0,max Mmk ,bax kxf )( BbfafA Cf ,ba ),(ba 3 C B a2 xo 1 A y 1P 3P 2P )(xfy b a x o y b )(xfy 0 bfaf ,ba ),(ba 0f 13 23 xx 13)( 23 xxxf 013)( 23 f013 23 xx 在)(. 1xf 上达到最大值与最小值上达到最大值与最小值; ; 上可取最大与最小值之间的任何值上可取最大与最小值之间的任何值; ; 4.4.当当0)()(bfaf时, ),(ba使. 0)(f必存在必存在 ,ba上有界上有界; ; 在)(. 2xf,ba 在)(. 3xf,ba ,)(baCxf 1. 1. 任给一张面积为任给一张面积为A A的纸片的纸片( (如图如图),),证明必可证明必可 将它一刀剪为面积相等的两片将它一刀剪为面积相等的两片. . 提示提示: :建立坐标系如图建立坐标系如图. . x