摩擦角的应用

1、物 体 的 平 衡 之 巧 妙 方 法摩 擦 角 的 应 用一、摩擦角的定义摩擦角指的是： 物体在受到摩擦力情况下，物体的滑动摩擦力（或最大静摩擦力）FfFN ,支持面的支持力FN的方向固定不变，我们将支持力与摩擦力合成为支持面作用力 ，则支持面的作用力 F与支持力FN的方向成tan 1角（如的作用力或平面对物体的作用力都为此力） 图1所示），而这个角就称之为摩擦角。 解析：由摩擦公式:Ff F N 得F （以下讲到的斜面对物体1tanFN摩擦角=ta n-1二、意义 引入摩擦的意义：摩擦力与支持面的支持力是成后，可以将这对力合成一个力，在物体的平衡态 上起到问题简化的效果。尤其是在物体在四个

2、力对出现的，引入摩擦角受力分析中很大程度 作用下保持动态平衡” 的问题中，引入摩擦角后就可以简化成我们熟悉的三力平衡问题（如：三个力中有一个力确定，即大小、方向不变，另一个力方向确定，这个力的大小和第三个力的大小、方向变化情况待定） 说明的是：在物体的三力平衡问题中，作用在物体这三个力合力为 线汇交于一点，即三力汇交。三、方法的应用 例1,如图2所示，用绳通过定滑轮物块，使物块在平面上从图示位置开始沿地面匀速直线运动，若物块 地面的摩擦因素1 ,滑轮的质量及摩擦不计，则块运动过程中，以下判断正确的是（ A.绳子的拉力将保持不变B.断增大 C.地面对物块的摩擦力不断减小 力不断减小 解析：如图3

3、所示，取物体 O点，,这里特别补充0,等效于三力共点，则三力的作用D.）。绳子的拉力将物块对地面的作力的三角形。重不水 与 物压为有向线段，从该线段箭头端点做地面作用力的作 所在射线，作从射线上任意点指向O点且将图形封闭成三角系列的有向线段，它们就是绳子拉力矢量，用曲箭头标明变化 1知力三角形中和的夹角小于45o ,初始状态绳子拉力呈450,力三角形中和的夹角从45o开始慢慢减小，图 3中不难得岀结论：绳子的拉力不断增大，地面的作用力不断减小， 知，地面支持力与摩擦力均随之减小，所以BCD正确。例2,如图4所示，倾角45o的斜面上，放置一质量 m的小物块，3,欲使小物块能静止在斜面上，应3与斜

4、面的动摩擦因素对小物块再施加一力，该力最小时大小与方向是（A. mg Sin 150 ,与水平成15o斜向右直向上C. mg Sin 75,沿斜面向上向右D.）。B. mg Sin 300 ,竖mg tan 150，水平力解析：由#得，摩擦角tan 1tan1f 30，力的三角形，如图 5所示，蓝色有向线段为重力，黑色射线为对物块的作用力，红色有向线段为施加的力，青色有向线段为的力的最小位置（与斜面的作用力相垂直），则F mgs in （45） mg Si n15方向与水平成I5o斜向右。正确。例3，（ 2009.辽宁、宁夏理综）水平地面上有一木箱，木箱与之间的动摩擦因数为（01）。现对木箱施

5、加一拉力F，箱做匀速直线运动。设F的方向与水平面夹角为，如图6，从0逐渐增大到90 的过程中，木箱的速度保持不变， 则（） A. F先减小后增大B. F直增大C. F的功率减小D. F的功率不变解析：方法一（传统方法）：由于木箱的速度保持不变，因此始终处于平衡状态，受力分析如图所示，则由平衡条件得：mg N F Sin ， f N F CQS 两式联立解得Fmgmg,可见F有最小值,CQS Sin .12 Sin（）先减小后增大，A正确；B错误；F的功率作出斜面施加即A地面使木 在木箱所以FP FV CQSmgvcoSCQS Sinmgv ,可见在从01 tan逐渐增F1 45q大到90的过程

6、中tan 逐渐增大，则功率 P逐渐减小，C正确，D错误。（此常规方法对数学要求比较 高，如果是在高考时过于紧张，一时半会儿对其中的F表达式里变化情况弄不清楚从而半途而废）方法二（引入摩擦角）：由（01）得，摩擦角 45q ,作岀力的三角形，如图7所示，黑色射线为地面对木箱的作用力 F1,红色有向线段为拉力 F,蓝 色有向线段为重力。由题意在从0逐渐增大到90的过程中，F的变化趋势为青色曲箭头方向变化，易得到：F先减小后增大。对于 F的功率，由矢量表达式：F F1 G ,重力的功率显然为 0 （重力与速度成90q）,得到F的功率与F1的功率互为相反数，F1的功率P1 F 1 ? VCQS ,显然

7、F1与V的角度保持不变，而F1不断的减小，从而 F的功率P IPIllF1?VCOS |的值不断的减小，所以答案为ACO结论：对比两种方法，方法二显然要简单容易的多。因 此高中有必要掌握摩擦角的应用，而不一定非得参加竞 赛的学生才掌握。例4,（竞赛训练题）如图8所示，质量为m的物体放在水平地面上,物体与地面的动摩擦因素，想用力F推动物体沿水平地3面滑动，推力方向与水平夹角在什么范围内事可能的？答案：600 Si n 1 mg2F解析：摩擦角 tan 1300 ,考虑临界情况，重力mg地面对物体的作用力以及推力F构成闭合三角形时，则有777777777777777777777Vmg,临界角0si

8、n（60 0） Sin0时物体可在地面上滑动。即四、拓展实践练习1.一物体质量为 m置于倾角为600 Sin 1mg ,由图9可知2F600.1 mg Sin2F的斜面上，图10所示，物体与斜面间的动摩擦因数为，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值。练习2.（竞赛训练）结构均匀的梯子AB,靠在光滑竖直墙上，已知梯子长L,重为G,与地面间的动摩擦因数为,如图 11所示，（1）求梯子不滑动，梯子与水平地面夹角的最小值 0 ；（2）当=时，一重为P的人沿梯子缓慢向上，他上到什么位 梯子开始滑动？练习3.（竞赛训练）一架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在直的墙上，同图11所示，梯子与地

9、面及梯子与墙的静摩擦系数分别为1求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。答案解析竖 2,置,Sin cos练习 1, Fminmgcos（ ）2mg1解析：（引入摩擦角）如图12所示，摩擦角 tg ,由件得，作力的矢量三角形，其中：蓝色有向线段为重力，黑色 段为斜面对物体的作用力，红色有向线段为拉力。显然：当拉 直于全反力方向时此时F的拉力最小，即：平衡条 有向线 力F垂Fmin mgcos(Sin cosJ 2mg练习2,解析：（1）（引入摩擦角）将梯子的重力 G ,根据 交，作岀力的三角形，如图 13所示，其中Ni为竖直墙面对楼 持力，F为水平面对楼梯的作用力，摩擦角：tan 1 。由平衡条件可得：LLCoSO L Sin 0 tan21所以有：0 tan 2（2）如图14所示，将梯子和人的重力用其等效重力代替G，当等效心还在梯子重心下面时梯子还不会滑倒，当等效重力的重心还在梯子 时梯子就会滑倒，所以当人上到梯子一半即L/2时，梯子开始滑动。练习3,解析：系统达到临界平衡状态（极限平衡状态）时，即梯 平所成的夹角最小时，各处摩擦力均达到最大值。现把两端