时间管理第三章连续时间系统的频域分析

1、最新卓越管理方案 您可自由编辑3第三章.连续时间系统的频域分析一、任意信号在完备正交函数系中的表示法( 6.3-6.4)信号分解的目的:将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。简化电路分析与运算，总响应 =单元响应之和。1. 正交函数集任意信号f(t)可表示为n维正交函数之和：f(t) C1g1 (t) C2g2(t)Crgr (t)Cngn(t)nCrgr(t)r 1原函数t2O, m ngl t ,g2 t gr t 相互正交：gm(t) gn(t)dtt1Km, m ngr t称为完备正交函数集的基底。一个信号可用完备的正交函数集表示,.正弦函数集有许多方便之处，如易实现等，我

2、们主要讨论如何用正弦函数集表示信号。2 .能量信号和功率和信号(6.6 一)2设it为流过电阻R的电流，瞬时功率为P(t) i2(t)R般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。令R = 1 则在整时间域内，实信号f t的能量，平均功率为:W lFTa 2To2f (t)dt21lTomTOToTo2To2f (t)dt2讨论上述两个式子，只可能出现两种情况:(有限值) (有限值)满足式的称为能量信号，满足式称功率信号。3.帕斯瓦尔定理设gr(t)为完备的正交函数集，即t2t2t22 2 2 2f t dtCr gr t dtCrgr(t) dtt1r 1t1r 1 t1信号的能量 基底信号的

3、能量各分量此式称为帕斯瓦尔定理P331式(6-81)(P93, P350)左边是信号能量，右边是各正交函数的能量。物理意义：一个信号所含有的能量(功率)恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量(功率)之和。二、周期信号的频谱分析一一傅里叶级数(1) 周期信号傅里叶级数有 两种形式三角形式：f(t) a0an cos n 1t bns inn 1tn 1=CoCn cos(n 1t n)n 1指数形式：f(t) F(n 1)ejn 1tn(2) 周期信号的频谱是离散谱，三个性质收敛性n , F (n 1)谐波性：(离散性)谱线只出现在n 1处, 唯一性：f (t)的谱线唯一(3) 两种频谱图的关

4、系三角形式：Cn ，fn单边频谱指数形式：F(n 1) , n双边频谱两者幅度关系 F (n 1)=19Cnn 0FOC0a指数形式的幅度谱为偶函数F(n1)1F( n 1)指数形式的相位谱为奇函数(n1)(n 1)引入负频率对于双边频谱，负频率(n 1),只有数学意义，而无物理意义。为什么引入负频率？f(t)是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对ejn 1t与e jn 1t ,才能保证f (t)实函数性质不变。(5)对特殊信号不一定满足上述三个性质例如：冲激序列T (t)(t nT)(n为整数)的付里叶级数n5分析：狄氏条件是傅里叶级数存在的充分条件。根据冲激信号的定义和特性,其积分有确定值，

5、傅里叶级数存在。即F(n 1)1T2t e jn 1tdtf(t)T(t)n1 jn 1teTT(t)的频谱，有离散性，谐波性,无收敛性，频带无限宽周期信号的功率1. 描述周期信号的平均功率=各正交分量的平均功率之和(帕斯瓦尔定理)f (t) a0an cosn 1t bn Sinn 1tn 1平均功率：1 T 2P T 0 f 1 2 2 1a0Cna0 Cn2 n 1n 12(t)dtCn是三角形式傅里叶级数的余弦形式中振幅值。 总平均功率=各次谐波的平均功率之和 对于指数形式的傅里叶级数1 TP=T 0f2(t)dtnFnFOao三、典型周期信号的傅立叶级数本节以周期矩形脉冲信号为例，讨

6、论其频谱的特点。频谱结构已知矩形脉冲信号的脉宽为 脉宽为，脉冲高度为E,周期为T1 O三角形式的谱系数f t是个偶函数bn0,只有 ao, a。指数形式的谱系数I TIZF(n 1)= - T12 f(t)e jndtTrSa n 1Z频谱牛寸点包络线按抽样形状变化XX抽样函数频谱是离散的1的函数，只在1的整数倍有值（谐波性 ）其最大值在n O处，为Ti幅度Ti谱线间隔127当Ti,时，i,旦为无限小，ft由周期信号非周期信号Ti矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点：离散性，谐波性，收敛性11对比波形：Ti -S T2-S T3 Is42jF(n i)EIO 0八 F(n i)rfi Tl

7、rlrrl20 iIFwm UiJjTP *”k频带宽度周期矩形脉冲信号的频谱每当n im （ m取整数）时，通过零点。其中第2n A一个零点在一-,即n i,此后谐波的振幅相对减小。能量主要集中在第一个零点以内。信号一般主要集中在低频段。定义：在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范 围称为频带宽度。一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：2 1B或Bf ,带宽与脉宽成反比。宽度。一 一 1对于一般周期信号，将幅度下降为一Fni max的频率区间定义为频带10 ma系统的通频带 信号的带宽，才能不失真四. 非周期信号的频谱分析一傅里叶变换傅里叶变换当TI时，f(t

8、)：周期信号非周期信号谱系数:F(n )f (t)ejnItdt(1)T1 Fn IFn1 Fn11 T1f单位频带上的频谱值11当T1F时，Iim TIF n 1T1Iim ；2 f(t)e jn 1tdtT12f (t)e j tdtF称为频谱密度函数，简称频谱函数。由f (t)求F()称为傅立叶变换。F()一般为复信号，故可表示为F( ) |F( )ej ()| F( )| :幅度频谱() :相位频谱反变换ft应是F的反变换。f(t)F ej td傅立叶变换对f(t)F()f(t)eJ tdtf(t)ejtdf(t)称为付里叶变换对,简写,其中f（t）称为原函数，F（）称为象函数。傅立叶

9、变换的特殊形式F FejjX实部虚部tgf(t) fe tFf (t)e J tdtfe(t) fo(t)COS tJ Sint dt2 f e(t)cos tdt 0 e V ,J2 fJ 0o(t)sintdt实部虚部R2 0 fe(t)cos tdt关于的偶函数X20 f(t)sin tdt关于的奇函数FQR 2 X2关于的偶函数偶分量奇分量的奇函数关于实信号偶函数（奇分量为零）为实函数，只有R,相位奇函数（偶分量为零）为虚函数，只有X,相位奇偶虚实性傅里叶变换的物理意义f (t)为实函数1f（t）2Fejtd1Fj （)jee21Fcost21Fcost210Fcos tFd2ej t

10、tdd.1j 2FSindtdF d CoS t 0求和 振幅 正弦量由上式可得出，非周期信号可分解为:1d )的连续指数信号之和,占据整个频域,无穷多个幅度为无穷小(丄F2无穷多个振幅为无穷小(-Fd )的连续余弦信号之和,频域范围:傅里叶变换存在的条件f t dt有限值 充分条件即f(t)绝对可积，F存在。所有能量信号均满足此条件。当引入函数的概念后，允许作变换的函数类型大大扩展了。五. 典型非周期信号的频谱矩形脉冲JIf tSa 2幅度频谱：E Sa2相位频谱：单边指数信号01325t当f t直流信号Ef (t) Etf t不满足绝对可积的条件，不能直接用定义求F利用矩形脉冲的频谱求极限

11、。E 2IFA 2 EO1时，F 12这个信号不满足绝对可积条件。处理方法,求极限得到F符号函数1,f (t) Sgn t I做成一个双边函数 f1 t2Sgn tjt 0Sgn t e I It,求F12 2 j2L e冲激函数F()t e j tdt 1(t)11t看作-的矩形脉冲，O时,B冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不满足绝对可积条件,不能用定义求。u1Ot t()2L对称性1OFf t冲激偶的付里叶变换f t t dt f Ott e j tdt e j t t O j j单位阶跃函数u(t)u(t)六傅立叶变换的性质傅立叶变换具有唯一性。付氏变换的性质揭示了信号的时

12、域特性和频 域特性之间的确定的内在联系。讨论付里叶变换的性质，目的在于： 了解特性的内在联系；用性质求F ；了解在通信系统领域中的实用。对称性线性奇偶虚实性微分性质尺度变换特性时移特性频移特性时域积分性质4微分性质时域微分 f(t)F(),则 f (t) j F()如果f t中有确定的直流分量，应先取出单独求付氏变换，余下部分再用微分性质。频域微分若f (t) F (),则 tf (t)jdF d或 jtf (t) d F d5.尺度变换特性若f (t)F(),则f(at)信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。6时移特性)j to

13、若f(t) F(),则f(t to)F( )e j t0;若F( ) F( )ej (),则f(t to) F( )| ej (幅度频谱无变化，只影响相位频谱，7当f(t)时移和尺度变换都有时若f(t) F()，则 f at b1-F a a.bja _e , a8频移特性通信中调制与解调，频分复用若 f(t)F()O为常数，注意则fWf (t)e J otF009.时域积分性质若ftF,贝yF 00 时，t f dFjtJFF 0 0时，f dF 0J七.卷积定理1.时域卷积定理若 f 1 tF1, f 2 tF2贝yf1 tf21F1F2意义：时域卷积对应频域频谱密度函数乘积2. 频域卷积

14、定理12-FIF2F 2若 f1 t F1意义：时间函数的乘积各频谱函数卷积的贝y f1 t f2 t23. 作用卷积定理：揭示了时间域与频率域的运算关系，在通讯理论中有重要作4. 应用:用时间卷积定理求频谱密度函数求t f d的傅立叶变换。求系统的响应f t g t h t g t f t h t5. 调制原理与频分复用调制：将信号的频谱函数搬移到任何所需的较高频段上的过程。图1为幅度调制U (AM)O解调将已调信号恢复成原来的调制信号的过程。图 4所示为同步解调mOmmIA2tF -AT m2 C0mm2 CG()F21f1f频分复用所谓频分复用，就是以频段分割的方法在一个信道内实现多路通

15、信的传 输体制。发信端：调制，将各信号搬移到不同的频率范围。再利用一个低通滤波器(带宽m2 a m，)，滤除再2 a附近的分量，即可取出f t ,完成解调八.周期信号的傅立叶变换周期信号：f t 傅里叶级数 F n I非周期信号f t 傅里叶变换 F nCoS 0t正弦信号：Sin Ot jf tn一般周期信号：FTFn I F ejn lt离散谱连续谱000 j0Fjn 1tn I e2F n In 1可见：1 f t的频谱由冲激序列组成；位置:n i 谐波频率强度：2 Fn i ,与F(n i)成正比，离散谱2谱线的幅度不是有限值，因为F表示的是频谱密度收信端：带通滤波器，分开各路信号，解

16、调Fo周期信号的F只存在于频率范围无限小，幅度为求 F n 1 ：T2T fo t e2j tdtFnTIF单位冲激序列的11112T1 T1 oT1 2T1tjnnTFn I eT tTiejn 1t厂I I11T121101 2111111211O1 21IFnT t的频谱密度函数仍是冲激序列，强度和间隔都是1周期矩形脉冲序列的傅氏变换n 1n IF( ) EISaf(t)九.抽样信号的傅立叶变换理想抽样（周期单位冲激抽样）连续信号抽样信号f tfs t4t抽样脉冲S)S(p(t)T(t)(tnTS)fS(t)f(t)T(t)f(n TS)频域:FSF f tT t(t nTs)丄F2若接

17、一个理想低通滤波 增益为TS 截止频率m滤除高频成份，即可重TSn器,C现原信号抽样定理f Smin 2 fm是最小抽样率,称为奈奎斯特抽样率TSmaX 是最大抽样间隔，称为奈奎斯特抽样间隔2 f m一个频率受限的信号f t ,如果频谱只占据 m0 m的范围, 则信号ft可用等间隔的抽样值来 唯一地表示。其抽样间 隔必须 不大于丄，即TS 丄（其中m 2 fm）,或者说最低抽样2fm2fmm m频率为2fmo抽样定理的应用-时分复用 用于时分复用，在同一时间里传送不同信号。十.系统函数H(j )R() 响应信号的傅氏变换 E()激励信号的傅氏变换物理意义表征系统固有的性质或特性h t为冲激响应

18、，取决于系统本身的结构，描述了系统的固有性质。H也仅仅决定于系统结构，H是表征系统特性的重要参数。系统冲激响应的傅立叶变换当e(t) (t)时，r(t) h(t)，此时 (t)1,R( ) E( )H( ) H()，即 h(t) H (),或h(t) H (j )。系统的频率响应特性H( ) H( )ej ()H( ) :系统的幅频特性() :相频特性系统的功能系统可以看作是一个信号处埋器:当激励信号的频谱密度 函数为E时,则响应的频谱密度函数便是HE。系统改变了激励信号频谱。E()E()ej e( )H()H( ) ej h()R()E()H( )r()e()h()系统可以看作是一个信号处埋器 ：H是一个加权函数，对信号各频率分量进行 加权。信号的幅度由IH ()加权，信号的相位由 修正。对于不同的频率 ，有不同的加权作用，这也是信号分解，求响应再