泛函分析读书笔记(上)

1、第一部分线性代数第一章线性空间第一节线性空间一、基本概念1、 定义：数域P复数子集四则运算封闭2、 定义：线性空间 （ V； P； ，?） 数域 P 上的线性空间V 线性空间V、解释：、解释：、解释：V 非空集合VVV 【加法，加法保持封闭】?PVV 【数乘，数乘保持封闭】、解释：（，?） 线性运算【满足8 条规则】3、 8 条规则加法规则：、交换律：、结合律：()()、零元素：0V ，对于V ，都有0、负元素：对于V ，V ，使得0 【记为：】数乘规则：、1、 k(l)(kl )加法数乘规则：、k ()kk、 (kl )kl二、基本性质1、 性质、性质：零元素唯一、证明：假设： 01V ，对

2、于V02V ，对于V对于V ，都有01，都有01，都有02特别： 020102对于V ，都有02特别： 01 02 010201 02 01 【交换律】01 02、性质：负元素唯一2、 性质、性质：00， k00， (1)、证明：001(01)1【规则 5规则 8】0 0 ()()0( )0() 00 0 【结合律】( )0 【负元素的定义】00第二节线性无关一、基本概念1、 概念：线性组合（线性表出）如果：k1 1k2 2krr则称：向量是向量组1，2， ， r的一个线性组合或称：向量可由向量组1，2， ，r 线性表出2、 概念：线性相关如果：存在不全为0 的 k， k， ， k P12r使

3、得： k1 1k2 2krr0则称：向量组1，2， ， r线性相关3、 概念：线性无关如果：不存在不全为0 的 k ， k ， ， kP12r使得： k11k2 2krr0则称：向量组1，2， ，r 线性无关4、 关键： k1 1 k22kr r 0k1k2kr 0二、基本性质1、 性质、性质：向量组1，2， ， r线性相关其中某一向量可由其余向量线性表出、证明：必要性：k1 1k22krr01( k2 ) 2(kr ) rk1k1充分性：1k22krr1( k2 )2( kr ) r02、 性质、性质：如果：向量组1，2， ， r线性无关并且：可由向量组1，2， ， s 线性表出则有： rs

4、ss、证明： 1t11 1t212ts1 s1t j1 jit jijj 1j1rrssrk11k22kr r0ki iki t ji j kit ji ji1i 1j 1j1i 1k1t11k2 t12kr t1r0k1t21k2 t22kr t2 r0s 个方程， r 个未知数k1t s1k2ts2kr tsr0如果 rs ，则方程存在非零解k1， k2， ， kr向量组1，2， ， r 线性相关矛盾3、 等价、概念：两个向量组等价【互相线性表出】、性质：两个等价的线性无关向量组，必定含有相同数目的向量、证明：假设：向量组1，2， ， r 线性无关向量组1， 2， ， s 线性无关4、 性

5、质、性质：如果：向量组1，2， ， r 线性无关并且：向量组1，2， ，r，线性相关那么：可由向量组1，2， ，r 线性表出，并且表法唯一、证明：向量组1， 2， ， r，线性相关存在不全为0 的 k1， k2， ， kr ， kP使得： k11k22krrk0k0(k1 )2(k2 )2(kr )rkkk假设：k11k22krrl11l22lr r(k1l1 ) 1(k2l 2 ) 2(kr l r ) r0k1l1， k2l2， ， krlr表法唯一第三节维数、基和坐标1、 定义： n 维线性空间V ：恰好存在n 个线性无关的向量2、 定义： n 维线性空间 V 的一组基： n 个线性无关

6、的向量1，2， ， n3、定义：坐标：对于V ，向量组1， 2， ， n 线性无关向量组 a， 1， 2， ，n 线性相关【否则n1 维】a1 1a2 2an n坐标( a1， a2， ， an )4、 定理、定理：如果：向量组1，2， ，n 线性无关并且：线性空间V 中的任意向量，均可由它们线性表出那么： V 的维数n ，并且1， 2， ， n 是 V 的一组基、证明：假设： V 的维数n 11， 2， ， n 1 线性无关，可由向量组1， 2， ，n 线性表出n1n矛盾第四节极大线性无关组1、 定义：极大线性无关组：一个向量组的一部分组称为极大线性无关组如果：该部分组线性无关并且：添加任一

7、向量均线性相关2、 性质、性质：极大线性无关组与向量组本身等价、证明：假设：向量组1， 2，k， ， r极大线性无关组1，2， ， k1，2， ，k 可由1， 2， ， k， ，r 线性表出对于 1， 2， ， k， ， r 1，2， ， k，线性相关【否则与极大线性无关组矛盾】可由1，2， ，k 线性表出3、 性质、性质：向量组的极大线性无关组，含有相同个数的向量、证明：向量组与极大线性无关组1 等价向量组与极大线性无关组2 等价极大线性无关组1 与极大线性无关组2 等价【等价的传递性】第五节线性子空间1、 定义：（ W； P； ，?）是线性空间 （ V； P； ，?）的一个子空间 W 是数

8、域 P 上的线性空间 V 的一个子空间 W 是线性空间 V 的一个子空间如果：、 WV 的非空子集、两种运算封闭：W，W，WkP，W， kW2、L ( 1，2， ，r )、性质：如果：1， 2， ， r线性空间 V那么：所有可能的线性组合k1 1k2 2kr r 构成 V 的一个子空间称为：由1，2， ，r 生成的子空间记为： L(1，2， ，r )、证明：非空子集两种运算封闭3、 性质、性质： L( 1，2， ， r )L (1，2， ， s)向量组1，2， ， r 与向量组1，2， ， s 等价、证明：L(2， ， r )k1k2 2krrki i：充分性：1，1ri1ssit11 1t2

9、1 2ts1st j1jit jijj1j1rrssrkiiki t ji j ki t ji ji1i 1j 1j1 i 1L( 1， 2， ， s )L(1， 2， ， r )L ( 1， 2， ， s )：必要性： iL( 1，2， ， r )iL(1，2， ， s )i 可由向量组1，2， ， s线性表出4、 性质、性质：如果：W 是 n 维线性空间V 的一个 m 维子空间并且：1，2， ，m 是 W 的一组基那么：1，2， ，m 可以扩充为线性空间V 的一组基、证明：V，使得 1，2， ， m，线性无关反证法：V，1， 2，m， 线性相关可由1，2， ，m 线性表出线性空间V 的维数

10、m矛盾第六节子空间的交与和1、定义：V1V212| 1V1，2V22、 性质、性质：如果：V1， V2 是线性空间V 的两个子空间那么： V1V2 也是线性空间V 的子空间、证明： V1V2非空子集【至少都包含零元素】V1V2V1，V2V1V2V1，V2V1，V2V1 V23、 性质、性质：如果：V1， V2 是线性空间V 的两个子空间那么： V1V2 也是线性空间V 的子空间、证明：V1V212， 1V1， 2V2V1 V212， 1V1， 2V211V1，22V2( 12)(12)(11)(2 2)V1V24、 维数公式、公式：维 V1维V2 维 (V1 V2)维 (V1 V2)、证明：假

11、设：1， ，m 是 V1 V2 的一组基1， ，m， 1， ，n1 是 V1 的一组基1， ，m， 1， ，n2 是 V2 的一组基证明：1， ，m， 1， ，n1， 1， ， n 2 是 V1V2 的一组基、线性无关： k11kmmp1 1pn1 n1q11qn2 n 20k1 1km mp1 1pn1 n1q1 1qn2 n 2V1，V2V1V2l1 1lm mk11km mp1 1pn1 n1l1 1lm mk1l1， kml m， p1pn10q1 1qn 2 n 2l1 1lm ml1l m0， q1qn 20、V1V2 ，均可由1， ，m， 1， ， n1， 1， ， n2 线性表

12、出第七节子空间的直和1、 直和、定义： V1V2直和任何元素的分解式唯一、分析：V1V212，1V1，2V2唯一2、 性质、性质： V1V2直和零元素的分解式唯一、证明：充分性：假设：V1V212，1V1， 2V212，1V1，2V20(12)( 12 )( 11 )(22)11， 223、 性质、性质： V1 V2 直和V1V2 0、证明：充分性：V1V212， 1V1， 2 V2012， 1V1， 2V2121V1， 2V2， 1V2， 2V11V1V2， 2V1V2120必要性：V1V2V1，V2V1，V2()004、 性质、引理：V 0维 V0、证明：必要性：向量0 线性相关不存在线性

13、相关的向量组充分性：假设：线性空间V 至少包括一个非零向量0向量线性无关可以扩充为线性空间V 的一组基维V1矛盾、性质： V1V2直和维 V1维 V2维 (V1V2 )第八节线性空间的同构1、 定义：同构如果： V，W线性空间并且：存在 VW 的双射【双射一一映射满射单射】并且：满足两条性质：()()() ( k)k()则称： V 和 W 同构，同构映射2、 基本性质、性质：数域P 上的 n 维线性空间 V 与 Pn 同构、证明：、 ( Pn； P， ，?)线性空间【两种运算封闭满足8 条性质】(a1， a2， ， an )Pn，(b1， b2， ， bn ) Pn(a1b1， a2b2， ，

14、 anbn )k P，( a1， a2， ， an ) Pnk ?(ka1， ka2， ， kan )、构造 VPn 的双射【向量到坐标的双射】假设：1， 2， ， nV 的一组基Va1 1a2 2an n( ) (a1， a2， ， an )、满足两条性质Va1 1a2 2an n( ) (a1， a2， ， an )Vb1 1b2 2bn n( ) (b1， b2， ， bn )( a1b1 ) 1(a2b2 ) 2(anbn ) n()(a1b1， a2b2， anbn )()()3、 性质群 1、性质：(k1 1 k2 2kr r ) k1 ( 1) k2 ( 2 )kr ( r )、

15、证明：的两条性质、性质： ， ，r线性无关(1)，(2)， (r) 线性无关12、证明：必要性：假设：k1 ( 1 )k2 (2 )kr ( r )0(k1 1k2 2kr r ) 0由于(0)0 ，并且双射k11k2 2kr r 0k1 k2kr 0、性质： ， ，r线性相关(1)，(2)， (r) 线性相关12、证明：反证法、性质：同构的线性空间同维、证明：假设：线性空间V 和 W 同构，并且维(V )n，维 (W )m维 (V ) n存在 n 个线性无关的向量组1， 2， ， nV存在 n 个线性无关的向量组( 1)，( 2 )， ， ( n )W维(W)mn同理： mnm n4、 性质

16、群 2、性质：如果：V1 是线性空间V 的一个子空间那么：(V1)() |V1 是线性空间(V ) 的子空间、证明：、 V1非空子集(V1 ) 非空子集、两种运算封闭假设：*(V1)*( )1(*)V1 【双射】*(V1)*( )1( *)V11 (*)1(*)V1 【运算封闭】1 (*)1 (*)(V1) 【定义】【的两条性质】1 (*)1 (*)1( *)1 (*)*(V1 )、性质：1、同构映射1、证明：、双射、1 的两条性质1 ()1()1( )1()1 ( )1 () 【 的两条性质】1 ()1()1 ()第二章欧几里得空间第一节实线性空间1、 定义：实线性空间( Rn； R； ，?

17、)、两种运算：、向量加法( a1， a2， ， an )Rn，(b1， b2， ， bn ) Rn(a1 b1， a2b2， ， anbn )、向量数乘kR，( a1， a2， ， an )Rnk ?(ka1， ka2， ， kan )、两种运算封闭满足8 条性质第二节欧几里得空间一、基本概念1、 定义：内积(，)内积的 4 条性质、交换： (，)(， )、数乘： (k ，)k(， )、分解： (，)(， )(， )、正定： (，)0，(， )002、 欧几里得空间【欧氏空间】、定义：欧几里得空间、分析：未确定因素(V； R； ，?) V；，?；内积内积、典例： En实线性空间 (Rn； R；

18、 ，?)内积、分析：、 VRn ；、，?向量加法向量数乘；、内积：( a1， a2， ， an )Rn，(b1， b2， ， bn ) Rn(， ) a1b1 a2b2anbn 【满足内积的 4 条性质】3、 基本概念、概念：向量长度|(，)、概念：单位向量|、概念：向量距离、概念：夹角d ( ， ) |(，)，cos1 ( ，)| |二、柯西不等式1、 基本公式、公式： |( ， )| |、证明：0|0， (， )00令t（，）（t ，t2）（ ， ） 2t（ ， ） t（ ， ） 0（2，）2（4 ，）（ ， ） 0 【开口向上单根或者无根】（，）2（，）（，）等号成立条件： （ ， ）

19、00t0tb（ ， ）t【单根】2a（ ， ）（ ， ）、线性相关（ ， ）2、 推论、推论： | |、证明：（，）（，）（2，）（，）|2 2|2| |2、推论：|、证明：令，【代入上式】第三节标准正交基1、 基本概念、定义：两个向量正交【如果( ，)0，则称、正交，记为】nn、性质： n 维欧几里得空间V 的内积( ， )aibj ( i， j )j 1i 1、证明：假设：1， 2， ， nV 的一组基Va11a22an nVb11b22bn n2、 基本概念0ij、定义：正交向量组两两正交的非零向量组( i，j )0ij、定义：正交基正交向量组基、定义：标准正交基正交基单位向量3、 基本

20、性质、性质：正交向量组线性无关、证明：假设：1，2， ，r正交向量组k1 1k2 2kiikr r0(k1 1 k22kiikrr， i )ki ( i， i ) 0ki04、 定理、定理：任何一个正交向量组，可以扩充为一组正交基、证明：假设：1，2， ，m线性空间V 的正交向量组V ，使得1，2， ， m，线性无关否则：V，1，2， ， m，线性相关可由1，2， ， m 线性表出维 Vm矛盾m m 1kjjj1( m 1， i )(mk j j， i )， i 1，2， ， mj1m（ ， i ) （k jj， i）（ ， i ) （ ki i， i） 0j 1（ ， i )ki （ i，

21、i）5、 定理、定理：如果： 1，2， ， nV 的一组基那么：可以找到一组标准正交基1，2， ， n并且： L(1， 2， ， n ) L ( 1， 2， ， n )、证明：11| 1假设：已经找到一组单位正交向量1，2， ， m使得： L(1，2， ， m )L( 1，2， ， m)mm 1m 1( m 1， j ) jj 1m( m 1， i )( m 1( m 1， j )j， i )， i1，2， ， mj 1m( m 1， i )(m 1， j ) j， i )( m 1， i )( m 1， i ) i， i )j1( m 1， i )( m 1， i )(i， i )0m 1m

22、 1|m 1 |n m 1 | m 1 |m 1( m 1， j ) jj1m 1 可由 1， 2， ， m 1 线性表出m1 可由 1， 2， ， m 1 线性表出1， 2， ， m 1 与 1， 2， ， m 1 等价L ( 1， 2， ，m 1)L( 1，2， ，m1)第四节正交补1、 基本概念、定义：V：如果V，都有(，)0则称、V正交，记为V、定义： VW：如果V，W，都有 ( ，)0则称 V、 W 正交，记为 VW、定义：正交补：假设：V1， V2线性空间V 的两个子空间如果： V1V2， V1V2V则称： V2V1 的正交补，记为：V2V12、 性质、性质：如果：V1， V2，

23、， Vs 两两正交那么： V1V2Vs 直和、证明：假设： 012s， iVi( 12s， i ) 0( i， i ) 0i03、 性质、性质：任何子空间的正交补，存在并且唯一、证明：假设： V1线性空间V 的一个子空间， V2 V1、 V1 0V2V、 V101，2， ， mV1 的一组正交基可以扩充为1， ，m， ， nV 的一组正交基V2L(m 1， ， n )V2V1【证明集合相等】 【根据定义证明正交】、假设： V1V2 ，并且 V1V2VV1V3 ，并且 V1V3V2V22V213， 1V1， 3V3（ 2，1）(1，1）（3，1） (1，1）01032，3V32V3V2 V3同理

24、可证： V3V2V2V3第三章线性变换一、线性变换的定义1、 定义：线性变换假设： T线性空间（ V； P； ，?）的一个变换如果：T 满足两个条件、 T()T ()T()，V、 T (k)kT ()，kP，V则称：T线性变换2、 等价条件、性质： T 的两个条件等价于T ( k1k2)k1T ()k2T ()，k1， k2P，V、证明：必要性：T (k1k2)T (k1)T (k2)k1T ()k2T ()充分性：k1k21T ()T ()T ()k1k， k20T (k)kT ()二、线性变换的运算1、 线性变换的乘积、定义： (T1T2 )( ) T1(T2 ( )，V、性质：线性变换的

25、乘积，仍是线性变换、证明： (T1T2 )() T1(T2 () T1 (T2 (） T（2 )T1 (T2 ( )T1 (T2 ()(T1T2 )( )(T1T2 )( ) (T1T2 )(k )T1(T2 (k )T1 (kT2 (）)kT1(T2 ( ）)k(T1T2 )( ）2、 线性变换的加法、定义： (T1T2 )()T1()T2 ()，V、性质：线性变换的加法，仍是线性变换、证明：同上类似三、线性变换的矩阵1、 定理：、定理：如果：V数域 P 上的 n 维线性空间（ V； P； ，?）1，2， ， nV 的一组基a1，a2， ， an任意一组向量那么：存在唯一的一个线性变换T使得

26、： T iai， i1，2， ， n、证明：存在性和唯一性2、 唯一性、性质：如果：T1 iT2 i， i1，2， ， n那么： T1T2、证明： x Vx x11x22xn nT1 x T1 ( x1 1x2 2xn n )x1T1 1 x2T1 2xnT1 nx1T2 1x2T2 2xnT2 nT2 (x1 1x2 2xn n ) T2 x3、 存在性、性质：如果：V数域 P 上的 n 维线性空间（ V； P； ，?）1，2， ， nV 的一组基a1，a2， ， an任意一组向量那么：存在一个线性变换T使得： T iai， i1，2， ， n、证明：变换T：nx Vxx1 1x22xnnx

27、i ii1nTx x1a1x2a2xn anxi aii 1线性变换 T ：假设：nnyVyyi i， zVzzi ii 1i1nny z( yizi ) i， kykyiii 1i 1nnnT ( y z)( yizi ) aiyi aizi aiTy Tzi1i1i1nnT ( ky)kyi aikyi aikTyi 1i1证明 T iai ： i0 10 21 i0 nT i0a10a21a20anai4、 定义：如果：V数域 P 上的 n 维线性空间（ V； P； ，?）1，2， ， nV 的一组基T V 的一个线性变换T 1a11 1a21 2an1 n那么：T 2a12 1a22

28、2an 2 nT na1n 1a2 n 2ann na11a12a1na21a22a2n(T 1，T 2， ， T n )( 1， 2， ， n )an1an 2ann( 1， 2， ， n ) A(T 1， T 2， ， T n )则称： A线性变换 T 在1， 2， ， n 下的矩阵、性质：如果：取定一组基并且：线性变换 Tnn 矩阵的一个映射那么：双射、证明：单射：假设：(T1)A1，(T2 )A2A1A2T1 i T2 i T1T2 【唯一性】满射： Aai(a1i， a2i， ， ani )T i ai 【存在性】5、 定理、线性变换的加法，对应于矩阵的加法、线性变换的乘积，对应于矩阵的乘积、线性变换的数乘，对应于矩阵的数乘、线性变换的逆，对应于矩阵的逆第二部分泛函分析第一章度量空间第一节度量空间一、度量空间1、 符号约定： （V；P； ，?） （R；F； ，?）2、 定义：距离（ x，y）的两条性质、正定：（x，y） 0，（x，y） 0xy；x， yR、三角不等式：（ x，y）（ x，z）（ y，z）；x， y， zR3、 定义：度量空间（ R， ) 【距离空间】、解释： R非空集合、解释：距离【满足的两条性质】4、 对