排列组合的策略

1、专题计数原理、排列组合编讲：张老师一、两个计数原理1.分类计数原理：完成一件事，有 n类办法，在第1类办法中有m!种不同的方法，在第 2类办法 中有m2种不同的方法，在第 n类办法中有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有： mi m2mn种不同的方法.2 .分步计数原理：完成一件事，需要分成 n个步骤，做第1步有mi种不同的方法，做第 2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 mi m?m.种不同的方法.3 两个基本原理都是涉及完成一件事的不同方法种数的计数方法它们的区别在于：分类计数原 理与“分类”有关，各种方法相互独立，用任何一种方法都可以独立完成这件事；分

2、步计数原理 与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.简单地说，分类加法计数原理：如果每种方法都能将规定的事件完成分步乘法计数原理：如果需要通过若干步才能将规定的事件完成二、排列与组合排列：从n个不同元素中取出 m(m n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.n !排列数公式：Am = n(n 1)(n 2)(n m +1) =(m , n N + ,且 m n).(注：规定 0 !n m !=1).组合：从n个不同元素中取出 m(m n)个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素 的一个组合.Amn!nn 1 n

3、 m + 1组合数公式：cm=.Am m ! n m !m!组合数的两个性质：cm = cn m : cm + cm1 = cm+1(注：规定 cm = 1).注意 ：排列组合主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题， 需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队因此，分析解决排列、 组合问题的基本思维是 “ 先选，再排 ”2 解排列组合题的“ 16 字方针， 12 个技巧 ”：(1) “十六字”方针是解排列组合题的基本规律即分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合(2) “十二”个技巧是速解排列组合题的捷径即相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多

4、排问题单排法；定序问题缩倍法；定位问题优先法；有序分配问题分步法；多元问题分类法；交叉问题集合法；至少(或至多)问题间接法；选排问题先取后排法；？局部与整体问题排除法；？复杂问题转化法分析 ：点评：本考点所涉及的主要问题有： 数字问题，人或物有条件排列问题，平面的个数问题， 异面直线的对数问题，选代表或选物品的问题，集合的子集问题等解决这些问题常用的数学方法有：直接法；利用分类计数原理的“分类法” ；利用分步计数原理的“分步法” ，一一列举所有 可能的“穷举法” ；有条件限制的应用题中的“特殊元素分析法”及“特殊位置分析法”；相邻问题“捆绑法” ；相间问题“插空法” ；定序问题“缩倍法” ；交

5、叉问题“集合法” ；至多至少“排除 法”；未知问题“转化法” ；综合问题“先选后排法”及“图表法”等?3 解排列组合的应用题，要注意以下四点 ：?(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步?(2)深入分析，周密考虑，注意分清是“乘”还是“加” ，既不少也不多?(3)对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决?(4)有关排列、组合混合问题，应遵循先选后排的原则?4 解排列、组合应用题的一般步骤? (1) 分析题意? 认清应把问题中的哪些具体对象看作元素 (如人、物、数、图形

6、等 ) ? 分析完成这件事需有几类办法，找到分类标准，做到不重不漏；执行各类办法时又分别 需要进行几步才能完成事件?(2) 选定解法? 通常不含限制条件的排列、组合问题都可以直接求解；含有限制条件的排列、组合问题有 直接法和间接法两种解法 (其中分类法和排除法最为常用 )但无论用直接法或间接法，都 要注意从不同角度，正、反两方面考虑同一问题，复习中要注意一题多解的训练? (3) 列式求解1 排列、组合问题的解题方法：(1) 在解决具体问题时，首先必须弄清楚是 “分类”还是“分步”，接着还要搞清楚 “分类”或者 “分步 ”的具体标准是什么(2) 区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与

7、顺序是否有关若交换某两个元素的 位置对结果产生影响， 则是排列问题； 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响， 则是组合问题 也 就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关(3) 排列、组合综合应用问题的常见解法： 特殊元素 (特殊位置 )优先安排法； 合理分类与准确 分步；排列、组合混合问题先选后排法； 相邻问题捆绑法； 不相邻问题插空法； 定序问题倍 缩法；多排问题一排法； “小集团”问题先整体后局部法； 构造模型法；正难则反、等价转 化法总结提高解有条件限制的排列与组合问题的思路：(1) 正确选择原理，确定分类或分步计数；(2) 特殊元素、特殊位置优先考虑；(3)

8、再考虑其余元素或其余位置 .解决排列组合问题的一般方法编讲：张老师一. 特殊元素和特殊位置优先法技巧：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法。例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数练习1 : 7种不同的花种在排成一列的花盆里 ，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法？二. 相邻元素捆绑法技巧：要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法练习2 : 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起，有多少种不同的排法？三. 不相邻问题插空法技巧：元

9、素不相邻问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端例3.一个晚会的节目有 4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？练习 3 ：某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）四. 定序问题倍缩法或空位插入法技巧： （倍缩法 ） 对于某几个元素顺序一定的排列问题 ,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数即可 （定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位 插入模型处理）例 4. 7 人排队 , 其中

10、甲乙丙 3 人顺序一定共有多少种不同的排法练习 4：期中安排考试科目 9 门 ,语文要在数学之前考 ,有多少种不同的安排顺序 ?五. 重排问题求幂法技巧：一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为 mn 种例 5. 把 6 名实习生分配到 7 个车间实习 ,共有多少种不同的分法练习 5：某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人 , 他们到各自的一层下电梯 ,下电梯的方法（）六 . 排列组合混合问题先选后排技巧：解决排列组合混合问题 ,先选后排是最基本的指导思想 .例 6. 有 5 个不同的小球 ,装入 4 个不同的盒内 ,每盒至少装一个球 ,共有多少不同的装法 .练习 6

11、：一个班有 6 名战士 ,其中正副班长各 1 人，现从中选 4 人完成四种不同的任务 ,每人 完成一种任务 ,且正副班长有且只有 1 人参加 , 则不同的选法有 种七 . 元素相同问题隔板法技巧：将n个相同的元素分成 m份（n , m为正整数），每份至少一个元素，可以用m-1块隔板, C n 1插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中，所有分法数为例 7.有 10 个运动员名额，在分给 7 个班，每班至少一个 ，有多少种分配方案？练习 7： 10 个相同的球装在 5 个盒中 ,每盒至少一个，有多少种装法？变式： 将n个相同的元素分成 m份（n , m为正整数），每份可以没有元素，可以用m-

12、1块隔板, Cn m 1插入 n 个元素和 m-1 块板共 n+m-1 个位置中，所有分法数为有 10 个运动员名额，分给 7 个班，有些班级可以把名额让给其它班 ，有多少种分配方案？10 个相同的球装在 5 个盒中 ， 盒可空，有多少种装法？八. 平均分组问题除法技巧：平均分成的组 ，不管它们的顺序如何 ，都是一种情况 ，所以分组后要一定要除以 Ann （n 为均分 的组数 ） 避免重复计数。例 8.6 本不同的书平均分成 3 堆，每堆 2 本共有多少分法？练习 8：（1） 将13 个球队分成 3 组，一组 5 个队，其它两组 4 个队， 有多少分法？（ 2） 2. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为 九 . 合理分类与分步策略 技巧：解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程