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1、指数增长和e的重要limx1+ ） x=e是微积分教科书中两个重要极限之一 ,它的重要性体现在什么地方呢？像许多数学知识一样， 极限 e 有它的实际背景， 我们来看自 然界存在的一类现象：一种物质的数量变化（增加或减少）的速 度与它当时的数量成正比。例如：放射性元素的衰变；药物在人 体内的吸收；在一定条件下生物种群（细菌、昆虫）成员数量的 变动；。现以放射性元素的衰变为例，讨论这类现象变化过 程的共同规律。某放射性元素（例如镭）的质量为mQ由实验知道，放射速度v与当时所剩余的质量 m成正比，比例常数为入， 称为此种元素的衰变系数，求经过时间 t 以后，所剩余的质量 m （t ）。放射过程中质量

2、m不断减少，因而放射速度不断减慢，我们 采用极限的方法来求出函数 m（t ）。在某种意义上，极限方法 是唯一可以采用的方法。把Q,t 这段时间分为相等的几个小段，Q, t/n , t/n,2t/n ,（n-1 ） t/n,t ,对于相当大的n在每一小 段上，质量变化很小，放射速度 v 就近似于不变，于是在第一小 段Q, t/n 内，放射的质量近似地为 vQ=入mQ。其中， vQ 是初始时刻 t=Q 的放射速度，第一小段末所剩的 质量为 mQ-入mQ =mQ （1-），它也是第二段t/n,2t/n （近似)的初始质量，类似的计算，这一段时间内放射的质量为 v( )=x m0( 1-)，所以第二小

3、段末所剩的质量为：mO( 1-)-入 m0 (1- ) =m0(1- ) 2以此类推，第n个小段末，即整个0, t 这段时间末，所 剩余的质量：mO( 1- ) n 显然，由于我们假设在每一小段时间内， 放射性元素的质量 不变，从而速度是不变的所以( 1)式这个数值是近似的，但容 易看出，当 n 越大，每一小段时间越短， 质量及速度的变化越小， 所以数值( 1)就越接近于精确值。由于从物理意义上说， 经过时间 t 以后， 所剩的质量是确定 的，所以( 1)式得极限是存在的，它就是所求的m( t )，即：m( t )= m0( 1- )在上式中，令-=x，贝U( ) n= (1+ )-入 tx= ( 1+ ) x:-入T当nx ,x于是m (t) = m0 (1- ) n=mO (1+ ) x -入 t=mOe-入 t这里极限 (1+ x 存在问题我们不给出数学严格证明了。 特别地：令 =t ，( 1+ x= ( 1+t( 1+a% =e我们求放射性元素剩余质量 m( t 的问题，由于应用了极 限 (1+ =e 而得到了解决，与此同时，我们也因此揭示了本 节开头提出的一类自然现象变化过程的规律， 若 =ky ，贝类似于 本例的 m(t) =mOe-入 t,y (t) =yOekt 其中 y0, y (t)分别是 所讨论物质初始的和 t 时

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