一元二次方程根的分布

1、一元二次万程根的分布 一元二次方程根的分布 一. 知识要点 二次方程ax2 bx c 0的根从几何意义上来说就是抛物线y ax2 bx c与x轴交点的横坐标，所 以研究方程ax2 bx c 0的实根的情况，可从 y ax2 bx c的图象上进行研究. 若在（，）内研究方程ax2 bx c 0的实根情况，只需考察函数y ax2 bx c与x轴交点个数 及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由y ax2 bx c的系数可判断出 ，捲 x2, x1 x2的符 号，从而判断出实根的情况. 若在区间（m, n）内研究二次方程ax2 bx c 0，则需由二次函数图象与区间关系来确定. 表一：（两根与

2、0的大小比较即根的正负情况） 11 / 17 分布情 况 两个负根即两根都小于0 x10, x2 0 两个正根即两根都大于0 为 0, x20 一正根一负根即一个根小于0, 一个大于0石 0 x2 得出的结 论 2ao o 大致图象 a 得出的结论 o o o b2ao 不讨论a 综合结论 o o a a O O f a 分布情况 O 大致图象 a 得出的结论 O 大致图象 a 得出的结论 综合结论不讨论a 一元二次万程根的分布 表二：（两根与k的大小比较） 两根都小于k即 x1 k, x2 k 2a f k b 2a b 2a 两根都大于k即 b 2a b 2a f k b 2a a f k

3、 x1 kx2 k k L 3 J x 一个根小于k，一个大于k即 一元二次万程根的分布 表三：（根在区间上的分布） 分布情况 两根都在m, n内 两根有且仅有一根在 m, n内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在m, n内，另一根在 p,q 内，m n p q O 大致图象 a 得出的结论 0 f m 0 f n 0 b mn 2a O 大致图象 a f m 0 fn0亠 fmfn0 或 fp0 fpfq0 f q 0 得出的结论 0 f m 0 f n 0 b m n 2a f m 0 fn0fmfn0 或 fp0fpfq0 f q 0 综合结论不讨论a 元二次方程根的分布 根在区间上

4、的分布还有一种情况：两根分别在区间 m, n夕卜，即在区间两侧x1 m, x2 n ,(图形分别 如下)需满足的条件是 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1) 两根有且仅有一根在 m, n内有以下特殊情况: 0,则此时f m gf n 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为 m,n内，从而可以求出参数的值。如方程 m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 2 x 4mx 2m 6 0有且一根在区间 3,0内，求m的取值范围。分析：由 f 3 gf 0 14m 15 m 3 0得出 15 ； 14 ； 1时，根x 3,0 ，即 3 2， 33 1满足题意；当m 时，根x

5、 33,0，故m 不满 22 2 由 0即16m 4 2m 6 0得出m1或m 足题意; 综上分析，得出3 15亠 或m 14 厶 mx m 2 x 20 在区 间 1,3 上有 根 ，因 为 f 10， 所以 2 mx m 2 x 2 x 1 mx 2， 2 另一根为，由1 2 3得2 m 2即为所求； m m 3 2 方程有且只有- 根，且这个根在区间 m, n内，即 0，此时由 0可以求出参数的值， 然后再 将参数的值带入方程, 求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程 元二次方程根的分布 二例题选讲 ( 1)两个根在实数 k 的同一侧 例 1已知方程 4

6、x2 2(m 1)x (2m 3) 0(m R) 有两个负根，求 m 的取值范围 变式 1：已知方程 2x2 m 1 x m 0 有两个不等正实根，求实数 m 的取值范围。 变式 2：已知二次方程 mx2 (2m 1)x m 20的两个根都小于1,求m的取值范围. 2)两个根在实数 k 的异侧 例 2：已知二次方程 2m 1 x2 2mx m 1 0 有一正根和一负根，求实数 m 的取值范围。 变式 1：已知二次函数 y m 2 x2 2m 4 x 3m 3与x轴有两个交点，一个大于1, 一个小于1, 求实数 m 的取值范围。 2(m 1)x 2m 6 0 . 变式 2：求实数 m 的范围,使

7、关于 x 的方程 x2 (1) 有两个实根，且一个比2大，一个比2小. (2) 有两个实根，且满足014 . (3)至少有一个正根. 元二次方程根的分布 变式3:如果二次函数y=mx2+(m 3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范 围. (3)在区间 (m,n) 有且只有一个实根 2 例3已知二次方程 mx 2m 3 x 4 0只有一个正根且这个根小于1,求实数m的取值范围。 变式：已知关于 x的二次方程x2+2mx+2m+仁0.若方程有两根，其中一根在区间(一1, 0)内，另一根在区 间(1, 2)内，求m的范围. 4)在区间 (m,n) 有两个实根 例 4 ：

8、已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0, 1)内，求m的范围. 变式1:已知方程2x2 -2(2a-1)x + a+2=0的两个根在-3与3之间，求a的取值范围. 变式 2：已知方程 x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0 的两个根都属于 ( -3, 3),且其中至少有一个根小于 1,求 m 的取 值范围. 一元二次方程根的分布 (5)在区间m, n有实根 例5已知a是实数，函数 f(x) 2ax2 2x 3 a，如果函数y f (x)在区间1,1上有零点，求a的 取值范围. (6)二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些

9、场合下也可以适 当运用. 例6.1 求函数y = x2-3x+2 (1x0 (1) 当mv 0时，二次函数图象与 x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意 0 (2) 当m0时，贝U 3m 解得0 mwi 0 m 综上所述，m的取值范围是m|mwi且m0. (3)在区间(m, n)有且只有一个实根 例3 已知二次方程 mx2 2m 3 x 4 0只有一个正根且这个根小于 1,求实数 m的取值范围。 、.、 1 解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则f 0 gf 10 4g3m 10 m -即 3 为所求范围。 变式：已知关于 x的二次方程x2+2mx+2m+仁0.若方程有两根，其中一根

10、在区间(一1, 0)内，另一根在区 间(1, 2)内，求m的范围. 解：条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(一1, 0)和(1, 2)内，贝U 14 / 17 元二次方程根的分布 m f (0) 2m 10, f( 1) 2 0, m f (1) 4m 20, m f (2) 6m 5 0 m 2 R, 1 2 51 实数m的范围是(，捫 (4)在区间(m,n)有两个实根 例4：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+仁0.若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围. 解：据抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与 x轴交点落在区间 (0，1)内，列不等式组

11、 1 f(0) 0, f(1) 0, 0, 0 m 1 m2, -m04(2a-1)2 -8(a+2)0 f(-3)018+6(2 a-1)+a+20 f(3)018-6(2a-1)+a+20 2a-12a-1 -3 3-3 3 a=0时，不符合题意，所 以 0方程 f(x)=0 在-1 ,1上有解 f( 1) f(1) 0 或 af( 1)0 af (1) 4 0 8a(3 a) 01 1.1 所以实数a的取值范围是 2 解析2： a=0时，不符合题意，所以 2 - f (x)2ax 2x 3 a =0 在-1 , 1上有解，(2x2 1)a3 2x在-1 , 1上有解 2x21 卄 葫在-

12、1，1 上有解， 问题转化为求函数y 空 1 -1 , 1上的值域；设 t=3-2x , x -1 , 3 2x 1，则 2x 3 t , t 1,5, y (t 3)2 2 设 g(t) t 7 -g(t) t t2 7 1 2(t 6), 1, 7)时，g(t) 0 ,此函数g(t)单调递减，t ( 7,5时, g(t)0,此函数 g(t) 单调递增, y的取值范围是L.73,1, / f (x) 2 1 2ax 2x 3 a =0 在-1 , 1上有解 a .73,1 a 1 1 - a 22 / 17 (6)二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下

13、也可以适 当运用. 例6.1 求函数y = p (1x2)的值域. x -3x+2 解：原函数即为y (x2-3x+2)=x+1, yx2-(3y+1)x+2y-仁0, 由题意，关于x的方程在(1,2)上有实根. 易知y0,令f(x)= yx2-(3y+1)x+2y-1，则f(1)= -20, f(2)= -30 131 2，解得 y=5-2 .6 . 2y 原函数的值域为(-,-5-2 6 . 例6.2 已知抛物线y = 2x2-mx+m与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段(除去两个端点)有公共 点，求m的取值范围. 解：以(0,0), (1,1)为端点的线段所在直线为y

14、=x,代入抛物线方程得: x = 2x2-mx+m 即 2x2-(m+1)x+m=0, 由题意，方程在区间(0, 1)上有实根，令 f(0) f(1)0 m+1 0 T 0 f(1)0 m0 -1m3m0 故m的取值范围为 (-,0) U (0, 3-2 2 . 例6.3设关于x的方程4x2x 1 b 0(b R), (1 )若方程有实数解，求实数b的取值范围； (2)当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。 分析：可用换元法，设 2x t，原方程化为二次方程t2 2t b 0,但要注意t 0 ,故原方程有解并不 等价于方程t2 2t b 0有解，而等价于方程t2 2t b 0在

15、(0, )内有解另外，方程有解的问题 也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是：若关于 值域. x的方程a f (x)有解，则a f (x)的 解：(1)原方程为b 4x 2x 1 4x2x 1 (2x)2 2 2x (2x 1)2 1 当b 1,)时方程有实数解； (2)当b 1时，2x 1 ,方程有唯一解 x 0 ； 当 b 1 时， (2x 1)2 1 b 2x 1 71 _b. 2x 0,1 1 b 0,2x 1 J b 的解为 x log 2 (1.1 b)； 令 11 b 0,1b 11 b 0, 当 1 b 0时,2x11 b 的解为 x log2(1 .1 b)； 综合

16、、，得 1 )当1 b 0时原方程有两解：x log2(11 b)； 2) 当b 0或b1时，原方程有唯一解 x log2(1 1 b)； 3) 当b1时，原方程无解。 变式：已知方程 m 22x (2m 1) 2x m 0在(，1)上有两个根，求 m的取值范围. 解：令 t 2x，当 x (,1)时，t (0,2) 由于t 2x是一一映射的函数，所以 x在(，1)上有两个值，则t在(0,2)上有两个对应的值.因而方 2 程mt (2m 1)t m 0在(0, 2) 上有两个不等实根，其充要条件为 2 (2 m 1) 3.已知二次方程(m 1)x(3m 4)x (m 1) 0的两个根都属于(-

17、,1),求m的取值范围. 解：令二次函数 f(x) = (m-1)x2+(3m+4)x+m+1，贝U m-1 工，0即 m 工 1 f(x)=0的两个实根均在(-1,1)上，当且仅当 2 4m 0 (1) m20 (2) m(9m 2) 0 (3) c 2m 1 0 2 (4) 由(1)得： m 1 4， 由(2)得： m 0, 由(3)得： m 0 或 m -, 9 由(4)得： 1 6 1 m. 2 2 1 2 1 9 m 4，即口的取值范围为(越) 三. 巩固练习 1.已知二次方程(3m 1)x2 (2m 3)x m 4 0有且只有一个实根属于(-1, 1)，求m的取值范围. 解：易知

18、X1 = -1是方程的一个根，则另一根为 m-4 x2 =市 ，所以原方程有且仅有一个实根属于(-1, 1) 当且仅当 -1 m-4阳 0 3m-1 m-4.- -1 0 3m-1 2m+3 0 35一 m 4 , m的取值范围为 (-,- + ). 2.已知二次方程(2m1)x2 2mx (m 1) 0有且只有一个实根属于(1, 2),且x 1,x2都不是方程 的根，求m的取值范围. 解：设 f(x) = (2m1)x2 2mx (m 1)，由于f(x)是二次函数，所以 2m+1工 ,0即m 3 5 m2. f(x) =0在(1, 2)上有且仅有一个实根当且仅当f(1) f0(5m+3)(m-2)0 a-1_ 0 -兀 2解得-3 0 f(2) 0 3 a的取值范围是-,-1). 143- . 213+ .2126 - m或m 13 m 4 或 411 . 故a的取值范围是 (-詈,3-14 * * * * * * 21 u