放缩法的数列不等式证明

1、放缩法放缩法是要证明数列不等式的一种常见方法，如当证明AB成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小，以达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的理论依据主要有：（1）不等式的传递性；（2）等量加不等量为不等 量；（3）同分子（分母）异分母 份子）的两个分式大小的比较。常用的放缩技巧有：舍 掉（或加进）一些项；在分式中放大或缩小分子或分母；应用均值不等式进行放 缩。常用数列不等式证明中的裂项形式(1)1(n(n+1)1 1n 1 n(n+k)1 1 1/1 1 、 k2 k2 -12 (芦 _ 芦)(3)11(k 1)k1(k _1)kk 一1 k1n(n 1)(n 2)1亠2 |

2、t_n(n 1)1(n 1)(n 2)n!(6) 2jn 十1_需= l 21)Jn+Vn+1JnJn+/n-12 nn(n +1)2n =C0 C： C： C；c：C： _C0 C： cT C： =2(n 1)= 2n -1 一2n 1已知各项均为正数的数列 an 的前n项和满足Sn 1，且6Sn =（an 1）（an 2）, n N*（1）求an的通项公式；（2）设数列bn满足an（2bn -1） =1，并记Tn为g的前n项和，求证： 3Tn 1 Iog2n 3), n N(I)解：由 a1 =3 =丄匕 1)(a1 - 2),解得 a1 = 1 或 a1 = 2,由假设 a1 = Si

3、1,因6此 ai = 2。又由 an+1 = Sn+1- Sn= - (an 11)(an 1 2) (an 1)(an 2),6 6得 an+1- an-3= 0 或 an+1 - an因an0,故an+1= -an不成立，舍去。因此 an+1- an-3= 0从而 an是公差为3,首项为2的等差数列，故 an的通项为 an= 3n-2。(U)证法一：由an(2b -1) =1 可解得bz =iogz1 丄=logan3n ； z 3n -1 ；从而T n=b1 b2 亠 亠 bn= logz3n3n - 1因此3Tn1 -log z(a.3) = log z | -6 -33n -1 3n

4、 23n令 f(x)= |-| 記 3n 2(3n3)3。(3n5)(3 n 2)2f(n+1) 3n+2 i3n +3 _f(n) 一3n +5 +2 丿- 因(3n 3)2 -(3n 5)(3n 2)2 =9n 70，故f(n 1)f (n).27特别的 f(n)_f(1)1。从而 3Tn 1Tog(an 3)=logf(n)0 ,20即 3Tn1 log2(an 3)。证法二：同证法一求得bn及Tn。由二项式定理知当C0时，不等式(1 c)31 3c 成立。由此不等式有3Tn 1 =log2 2 1253n _1 log 2 2 13 1I 2人=log2 2 2 43353n _1伫？

5、 Jog 2(3n 2) Jog 2(a. 3)3n 1证法三：同证法一求得 bn及Tn令 An= 3-6 竺,Bn= 3 2 5 3n4 63n 13n 3n 2。3n 1因王印2，因此A； AnBnCn3n _13n 3n 13n 2_ 2从而263n 、3阳log2r 芥=log2A; log2 2AnBnCn =log2(3n 2) = log2(an 3)在数列 a中，a =2 , a1 =4an -3n 1，n N*(i)证明数列fan - n ?是等比数列；(n)求数列的前n项和Sn ；(川)证明不等式Sn 1 4Sn，对任意n N*皆成立.(i)证明：由题设an q = 4an

6、 -3n 1，得an 1 -(n 14(an -n) , n N* .又d -1 =1,所以数列an - n?是首项为1，且公比为4的等比数列.(n)解：由(i)可知 an -n = 4n，于是数列1an ?的通项公式为n 4an =4n.所以数列an f的前n项和Sn 口4n -1n(n 1)(川)证明：对任意的 n N ,4n+ -(n +1)(n+2)4 2n _1 * n(n +1)32- 32-1(3n2 n 一4) 0 .2所以不等式Sn , 4&，对任意n N*皆成立.已知函数f (X)=x2 - 4,设曲线y= f (X)在点(Xn, f (Xn)处的切线与X轴的交 点为(Xn

7、+I,u) ( U,N +)，其中为正实数.(I)用 Xx 表示 Xn+1 ；(U)若ai=4，记an=lg J，证明数列 ai成等比数列，并求数列冷的通Xn -2项公式；(川)若X1= 4，bn= Xn-2，Tn是数列 bn的前n项和，证明Tn3.解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算 及解决问题的能力.(I)由题可得f(X) =2x .所以曲线y = f (x)在点(Xn，f (Xn)处的切线方程是：y - f (Xn)二f (Xn)(x - X.).即 y -(丈 -4) =2Xn(X-Xn).令 y = 0，得 一( 一 4) = 2xn (xn 1

8、- Xn ).即 * 4 =2XnXn i .(廿2)22Xn显然“0，X十.(U)由和=严 2，知 xm-，2 二，2 Xn2 Xn2XnXn1_2=( ).xn 丄 2Xn 2从而 lg 口 2lg nXn 1 * 1 2 3Xn-2即an 1 = 2an .所以，数列an成等比数列.n An 1 X1故 an =2a1 =2 lg-2nJlg3 .即lgXn - 2从而Xn2Xnn 13 - -2所以Xn2n_1_2(31)2n 132-1（川）由(U)知 x2(321 1)n 1?32 -1-2盲40-12* J_.bm32-12nbn32 -132“ 1.21丄32当 n =1 时，

9、显然T；=2 ：3 .1 1当n 1时，bnbn(1)2bn八叽 Tn二0b2川 be苍1丨1( (1)n4bi331b1已知实数列an是等比数列，其中a1,且a4,45 1忌 成等差数列.(I )求数列an的通项公式；(n )数列an的前n项和记为Sn,证明:Sn, 128( n=123,). 解：(I)设等比数列fan ?的公比为q(q R),由 a? =qq6 =1,得 aq-6，从而 a4 =qq3 =q,兔=心4, a a1q qJ .因为a4, a5 1, a6成等差数列，所以a4 a = 2(a5 1),即 q q=2(q，1)，q(q1r2(q 1).1所以q v 故ann A

10、_6|c I 1 :=qqq q 64 (n) Sn/D641-1-_ I2丿设数列g的首项a,),汗守，n=2,3,4,(1)求an的通项公式；(2)设bn =an,门五，证明bn ：bn1，其中n为正整数.解：(1)由 an =3, n =2,3,4,，21整理得 1 -an - - (1-anJ 2又1弋=0，所以1-an是首项为1y，公比为-1的等比数列，得2an方法3由(1)可知 0 “n，故 bn 0 那么，b i -bn2 2=an 1(3 2an 1)an (3 2an )3一2匕I 22- an (3 - 2an )f3 -务=2号(an -1)2.4又由(1)知an 0且4

11、 ，故臭-圧0 ,因此bn : bn 1, n为正整数.方法二:3由(可知 Og ，an，因为a所以(3 - an) an2由 an -1 可得 an(3-2an)即a；(3-2an)：行玉 曲 两边开平方得an匕厂鬲:节弘L乳.即bn : bn 1，n为正整数.已知数列春中4=2， an 1 - C 2-1)(an 2)，n =1,2,3,.(I)求方鳥的通项公式；(U)若数列:中 0=2 , 01=3 4 , n =1,2,3,-,2bn +3证明：、2：bn a4n 卫,n =1,2,3,.解：（I）由题设：am =（J2-1）（an 2）=（、.2-1）（寺-、2）（、2-1）（2、2）2一1）2）,an 1 -迈= （.2-1）（an - J）.所以，数列an八刃是首项为2-迈，公比为.2-1的等比数列,an -、22（、. 2-1）n,即an的通项公式为an八2 （、.2-1）n / , n =1,2,3,.（U）用数学归纳法证明.（i）当n =1时，因.2 ： 2 , b二印=2，所以 2 : b a1，结论成立.（ii）假设当n=k时，结论成立，即J2山 印心,也即 0 : bk - J2 a4k - -.3 .当n =k 1时，bk从一2bk 3_（3-2&血（4-3、,