(整理)5韩国平考研串讲之定积分.0001

1、精品文档 精品文档 CH5 定积分(1518) 一、重要概念、公式 (一) 定积分的定义及几何意义 bnbafba 1、f(x)dx =lim 瓦i 2、几何解释 站nYy n Ib 丿 bbb 注：a f(x)dxa f (t)dt = a f (u)du， b J f (x)dx只与积分区间和被积函数有关，而与自变量用哪个字母表示无关. 3、定积分的存在性：如果f(x)在la,b 上连续，或有界且只有有限个第一类间断 b 点，贝U f (x)dx存在. (二) 定积分的性质 1、被积函数代数和的定积分等于定积分的代数和； 2、被积函数的非零常数因子可以提到积分号外； bb 3、 定积分具有

2、区间可加性;4、如果f(x)Mg(x)，则J f(x)dx兰g(x)dx； 5、如果f (x)在a,b 上连续，且m,M分别为其最小值、最大值， bbbb 则 m(ba) f f (x)dx 兰 M (ba) ;6、 一f(x)Ef f(x)dxEj f(x)dx ； 7、定积分中值定理：如果f(x)在a,b 1上连续，则在a,b内至少存在一点，使 b f (x)dx = f (b - a)； a (三) 定积分的换元积分法和分部积分法 1、可变限函数求导： g(x) 如果f (x)在相应区间上连续，h(x),g(x)可导， f (t)dt ： - f lg(x)丨 g(x) - f h(x)

3、 h(x) x 注：连续函数一定存在原函数 如f(t)连续，贝U . f(t)dt即为其原函数 ba 2、牛顿一莱布尼兹公式 如果函数F(x)是连续函数f(x)在a,b 1上的一个原函数， b 则：f(x)dx = F(b) F(a) 注：此公式说明要求定积分两步：(1)求原函数；(2)代公式 3、换元积分法 如果函数f(x)在区间a,b 上连续，函数x=q(t)满足： (1) q ： =a qi： b ; (2) q(t)在L：i, ： 1或匸,上具有单调连续导数 且其值域二 a,b 丨，贝U ： f (x)dx = f lq t 1 qt dt 注：(1)定积分的换元积分法换元必换限，换后

4、接着算。下限对应下限，上限对 应上限 (2)条件，单调可导 4、分部积分法 u(x)v(x)dx = u(x)v(x) b v(x)u(x)dx a 注：边运算边代值 (四)常用公式 1、 a f(x)dx = - -a i 0 f (x) f ( -X)dx = a 2(。f(t)dt f (x)为奇函数 f (x)为偶函数 2、如果f (x)为周期为T的周期函数, T f (x)dx f(x)dx 二 T f (t)dt , 2 a fnTT a f(t)dt = n0 f(t)dt n：匹 3、 02 f (sin x,cosx)dx = 02 f (cos x, sin x)dx H-

5、 5、0 f (sin x)dx = 2 p2 f (sinx)dx 4、 ji o xf sin x dx = Tt n f (sin x)dx 6、积分不等式 (x)g(x)dx 2 b 2b 2 a f2(x)dxag2(x)dx 平方的积分结构 (五)定积分的应用 1、平面图形面积： b (1)s= f(x)dx ; 1 T 2 (2)-r d 3就 3、平面曲线的弧长： (1) y = f (x) a兰x兰b 1 十1 + f2 (x)dx ； (2) r =r (日) a e P p 1 = L Jr2 +r2dH ； (3) x = x(t) Ct y = y(t) t p 1

6、= Hx2 + y2dt ； 3 ， 4、变力作功 5、静液压力 6、引力 7、平均值 （六）广义积分 A （1） 无穷区间f（x）dx=ima f（t）dt ； （2） 无界函数bf（t）dt = iim bf（t）dt Laa屮十叭 二、重要考点 1、计算定积分其步骤: (1) 确定区间的对称性及被积函数的奇偶性、周期性 (2) 运用定积分的性质及换元积分法和分部积分法进行计算 x sin3 2 x dx = 4 -兀 1. ；(1 cosx) 解原式= xarcta n a 0 一 2ax I (a x)2 x a 02、a2-x2 1 ad(a2x2) G 02a21x2 =a2-x2

7、 2 2.计算积分0爲an； :dx a 0. 1 1 1 2. x a x lax (A)0 (B) 16 (C)8 (D) 8*2 3 4 设 f (x 1 xeft 求：f（：）dx 解：此题被积函数含可变限函数，因此利用分部积分 原式= 2xf (x) ；2 xf(x)dx 十1 、，、X2 7.设函数 y = y（x）满足 y= 也x+o（Ax）,且 y（1） = 1,贝打 y（x）dx=兀 /4 . x!2x-xxa + x F x = xf x - - ftdt- x f x a 2 1 2、变上限求导问题一般步骤： （1）作代换并化简整理（2）能提出先提出 （3）运用求导法则

8、3、定积分等式证明 （1）考虑换元积分，根据被积函数的结构特点和积分区间确定代 换。 （2）分部积分 假设f （ x）, g （x在 -a,a （a 0）上连续，g（x）为偶函数，且f （x）满足条件 f（x） f （-x）二 A（ A 为常数） aa （1）证明 / f xg xdx 二 A。g xdx ； （2）利用（1）的结论计算定积分flsin x arctanexdx S 4、积分不等式的证明： 常用方法： （1）考虑被积函数的最大、小值，然后利用估值定理； （2）对被积函数作适当放大，缩小然后运用估值定理； （3）运用积分中值定理及柯西公式。 （1）中值定理（2）积分公式 设f x

9、在l.a,b上连续，且单调增加，证明：btf t da b bf t dt 2 La 人xa + x x 证：令 F x 二 tf t dt -一 - f t dt F a = 0 a2a 精品文档 x -a 2 f x - 2 a f t dt 二 af x f t bt 一 0 所以F x单调增加，故当x a时，F x _F a =0，F b _ F a 5、平面图形的面积：先画图后计算 6、旋转体的体积: 已知曲线y =3ax2 bx与直线y =ax - b,且曲线y = 3ax2 bx在0,1丨上与x 轴所夹部分面积为Si,将Si绕x轴旋转所得立体的体积为V ,直 ax b在x 0,1

10、1上与x轴所夹面积为S2,将S2绕y轴旋转所得立体 体积为V2,已知Si二S2,求a,b的值,使7、-V最小 133 b 2 5. 解 由题意知 S2 = 0 (3ax +bx)dx = (ax +- x ) 1a 2 S2 = (ax+b)dx = (? x +bx) 0 b 由 3 = S2 二 a = b 2 V1 二二 132124322 o(3ax bx) dx = o(9a x 6abx b x )dx -(9a2 -ab )： 52330 109 2 a 二 1a b 5 yg bg2飞寸評 V1-V2=9a25a： 303 珂!0-5)二=0二 ad2T da 153109 1

11、09 300 所以喘当时取极小值也是最小值 7、 平面曲线的弧长: 8、 求变力做功、静液压力、引力 9、 广义积分 求广义积分的步骤（1）确定类型（无穷，无界） （2）求定积分 （3）求极限 精品文档 精品文档 31 计算dx =兀 1 J(x1)(3x) 10判定广义积分敛散性(多项式商式) a f Xdx a、确定f x的分母分子中x的最高次数差p b、由p与1的关系给出结论，p1收，p乞1发 b .f xdx x = a为无穷间 a a、确定f x的分母分子中x-a的最低次数的差p. b、由p与1的关系给出结论. lim x a p f x 存在 P . 1 收敛. x a Ch6空间

12、解析几何（26） p ： 1收，p _ 1 发 lim xp f x 存在，p 1 x J：: 一、重要考点 1、向量的运算: 2. 求曲面方程：其步骤为 (1) 在曲面上任取一点x, y,z (2) 由此点所满足的条件建立方程 3、求平面方程 (1) Ax By cz 02平面束 3过特殊轴 4求直线方程: CH7多元函数微分学(814) 一、重要概念、公式 多元函数的偏导数及复合函数偏导数、隐函数求导法 1、偏导数：设函数z=f x, y在点po x,yo的某一邻域内有定义，如果极限 f (X。+Ax,y ) f(xo,y。)血 f（x,y）fg）、存在, X - X。丿 则称此极限为z

13、= f x, y在点p0处对x的偏导数，记作: fx xo, yo xl。 注：（1分段函数分段点的偏导数必用定义；（2）偏导与连续之间无关; （3）F,fx为一整体符号；（4） fx xo, yo从几何上解释为曲面z = f x,y与 y = y。的交线在x二X。处的切线与x轴夹角正切。 2、高阶偏导数：若函数z = f x, y的二阶混合偏导数fxy x, y和fyx x,y都在点 x,y连续，则fxy二fyx注意：条件高阶偏导连续=相等。 3、 全微分：（1）如果函数z = f（ ,x ）y在点Po （ x。yo处的全增量 “z 二 f x。r：x, y。为-f x。，y。可表示为 z

14、= A x B y ， 其中代B不依赖于.：x ：y，、，匕x2 -y2，则称z = f x, y在点x,y。处可微， 此时A：, x B：叫作z= f x y在点xo, yo处的全微分，记作dz，即 dz 二 A=x B=y ； 注：全微分dz是自变量x与的线性函数； 全微分dz与全增量z之差，当0时，是比:-=.：xTy2高阶无穷小； 可微二.连续；可微=偏导，连续、偏导是可微的必要条件、 （2） 必要条件：若函数z=f x,y在点xo,yo处可微，即在点x,y。的全增量 丄z可表示成 z = A x B y Oi t ，则z = f x, y在点x0, y0的偏导数， fx X。, yo

15、 , fy x。, yo 都存在。且 A = f x X。，y。， B = fy x。，y。 （3）充分条件：若函数z = f x, y的两个偏导数在点（x,y）处连续，则函数f（x,y） 在点（x, y）处可微。 4、复合函数微分法： 如果Z二f Ui,U2,llluk在对应点Ui,U2,lHu处可微，且Ui Xi,X2 X|的偏导数 凹j=1,2I 都 存 在， 则 复 合 函 数 Xj z = f|UiXi,X2“lxHII|U2川UkX1X2IIIX在Xil|X|点对 Xj 的偏导数存在, 且 亘=空凹+空竺+十亘空(j=1”|)； .XjjUi :Xj;:U2 .Xj.:Uk:Xj

16、dz 二三 du 三 dv ； cucv 设z = f u, v具有连续偏导数，u二x, y ,v Vx, y也具有连续偏导数，则复 合函数z = f仁x, y :-： x, y在点x, y处的全微分为: 全微分的运算公式：O1 d u _ v=du _ dv ；dcu=cdu （c为常数）; df u = f u du。 O d(uv )=udv+vdu ; d 巴=vdu ；udv iv丿v 5、隐函数及其微分法 （三）偏导数的应用 1、空间曲线的切线与法平面: x - X。y - y z - Zo x to y toz to 面方 程为 (1) 曲线 L : x = x(t), y =

17、y(t), z = z(t)，其中 x(t) , y(t) , z(t)都是可导函数, 且xt , yt ,zt不全为0,则切线方程为: 法 平 X to X -Xoytoy -yoztoz -z=0 ; (2)曲线L : y-yx,z-zx切线方程为：一 y y 一, 1y(x) z(xo) 法平面方程为： X - Xoy Xo y - yoz(x) z -z =0 ; (3) 曲线 L :F(X, y,z) o 台 y = y(x)z=z(x) 、G(x,y,z)=O 切线方程为：亍二黄鋼罗，法平面方程为： x-Xo yxo y - yz Xo z-z =0 2、空间曲面的切平面与法线：

18、(1) 曲面方程：F(x,y,z)=0切平面方程为 Fx Xo,y,zo x-XoFyy-y。FzZ-Zo1=o, 法线方程为：肾弋弋，法线的方向余弦为： 精品文档 精品文档 cos： ,cos :,cos r = FyFz I (2) 曲面方程：z 二 fx, y, F x, y,z 二 f(x, y)-z 则切平面方程为：f x xo, yo x-xo fy xo, yo y - y Lz - zo =0, 法线方程为： X _ Xoy _ Yoz _ Zo fxf y- 1 （四）多元函数的极值、方向导数、梯度 1、定义：设f （x, y）在点xo,y的某一邻域内有定义，对于该邻域内异于

19、xo, yo 的点(x, y)，如果恒有 f x,y : f xo, yo f x, y f xo, yo ，则称 f xo,y 为 f x,y的极大值，xo, yo为f （x, y）的极大值点，否则极小值; 2、极值存在的必要条件：如果函数z = f x y在点xo, yo取得极值，且 fx xo, yo , fy xo, yo 都存在，则必有 fx xo,yo = o，fy xo, yo =o， Y （x y）=0 满足X 的点（驻点）：可能极值点，包括驻点和偏导数不存在的点 Jy（x,y）=O 注：f x, y在D内为常数丄二丄=o ex cy 3、极值的充分条件：设函数z二f x, y

20、在点xo, yo的某一邻域内具有二阶连续 偏导数，且 fx xo, yo =o , fy xo, yo =o ，记 A = fxx Xo, yo , B = fxy Xo, yo , C = fyy xo, Yo : （1） 如B2 - AC o 4、求多元复合函数偏导数 (1)弄清复合关系 (2)代公式 5、隐函数求导 (1) 由要求的结果确定函数关系。 (2) 方程两端关于相应自变量求偏导数，因变量看作自变量的复 合函数。 注：在求偏导数时，可先代值再计算。 6、偏导数的应用 (1) 求曲线的切线和法平面 确定曲线方程的表达形式。O2代公式 (2) 曲面的切平面和法线 定义曲面F x,y,

21、z =0求F“ Fy、Fz代公式 7、求多元函数的极值 (1)求f x,y的极值的步骤: 求丄=0 ex 丄=0的点 y xfy ；：2f (A) B2 AC :：: 0 A 0 C : 0 极大值 A . 0 C . 0 极小值 (B) b2_ac 0不取极值 (2) 求 u = f x, y, z 在条件x, y,z i；=O x, y,z (7)(二重积分中值定理)设f x, y在有界闭区域D上连续，则至少存在一 点, D，使!.!. f x, y dxdy = f ,Sd D 2、公式: (1 )如果z = fx, y关于y为奇函数，积分域D关于x轴对称，则： | if x, y dx

22、d 戶0 D (2) 如果z = f x, y关于y为偶函数，积分域D关于x轴对称(D1表示D位于x 轴上方的部分)，贝则：Hf x, ydxdy =2 Hf x, y dxdy (注:平面域关于x轴对称) DDi (3) 连续函数u = f x, y, z关于z为奇函数，积分域门关于xoy面对称， 则：* if x,y,z dv = 0 (4) 连续函数u = f x, y, z关于z为偶函数，积分域11关于xoy面对称，门1表示 的位于xoy面上方的部分, 则：fx,y,zd,ifx,y,zdV(注：立体关于坐标面对称) (5) 如果D关于x二y对称， 0f(x,y )= f(y,x) 则

23、：D fx,ydxdy2Hf(x,ydxdyf (x, y )= f (y, x ) D1 (6) i if x dxdy = . . f y dxdy D 中 x, y地位同 DD ! f x dv ： ! f y dv 二 f z dv I】中 x,y,z地位同 (二)计算 1、二重积分的计算： (1)女口 D:丿 a Ex 兰b y (x)兰 y 兰 y2(x) 则 仃f(x, y)dxdy= fdxjy2 f(x,ydy day1 y1 2、 r 0( e P D: jje )r mW ) 三重积分的计算 a 込x y1 x y - y2 x ，则！f f zjx, y 戶z 玄Z2(

24、x,y ) (2) D: (1)。M Dfx,ydxdyd rcospsirv rdr byx x,y,z dvadxy1x dy L；yfx,y,zdz a e P -r2 vz? r,二I (2) Q J n(Mr “2(e)，则 J#f(x,y,z)dv = Jad叫肺fdz ,z1 rj z乞 Z2 rj可 ! a e 下限，终点 上限 3、两种曲线积分之间的关系： pdx Qdy = pcos= Qcos ： ds， cos：=鱼，cos ：二史， 曲线切向量的方 LLdsds 向余弦.pdx Qdy Rdz 二 pcos= 11 Qcos ： Rcosr ds， LL dxr dy

25、dz cos， cos， cosr dsdsds 4、格林公式：设函数p x, y ,Q x, y在域D及其边界L上具有一阶连续偏导数， 注：（1） p,Q具有一阶连续偏导数；（2） p,Q的位置：Pdx , Qdy ; Pdx Qdy = L .：P 7 dxdy， L取正向 （3） L为闭曲线且为正向； 4）曲线较复杂，但其趋势区域规则，常采用加一减一，加二减二方式求解 5、平面曲线积分与路径无关的等价命题 （1） Pdx Qdy在D内与路径无关； （2）Pdx Qdy =0, L为D内任一分段光滑闭曲线； L （3）卫二兰； dxcy 一xy （4） 存在 u x, y，使 du 二 P

26、dx Qdy，且 u x, y = P x, y0 dxQ x, y dy “x0“y0 注：如果 ，Li、L2包围同一瑕点，贝U: .x;y 6、空间曲线积分：.Pdx Qdy - Rdz与路径无关 cP g :Q ；:R -R JP注: = ? = ? ；:x ；z .:x :z 力F二Pi Qj Rk 沿丨作功： W二 PdxQdyRdz L （二）曲面积分 1、对面积的曲面积分 （1）定义：f x,y,zds ； （ 2）性质；（3）计算公式: Z :y =y x,z : :x = x y, z : (4)应用： f x, y,zds 二 Z Hf(x,y(x,z)z0 + y2 +

27、y；dxd； Dxz ff f(x,y,zds = U f(x(y,z)y, ZDyz xfd yd z :z =z x,y : H f(x, y,zjds= “f (x, y, z(x, y )0 + z2 +zydxd ZDxy 曲面的质量：x, y, zds ； Z kx,y,zds 曲面的重心坐标：k, k为x, y,z U Pds Z 曲面的转动惯量：lx ： Iiy2 Z2 戸 X, y,z ds, I y = Ilix2 z2 萨X, y, z ds 2、对坐标的曲面积分 （1）定义：11 Pdydz Qdzdx - Rdxdy ； （ 2）性质：11 = 一 ； f逻送 （3）

28、计算： :z=zx, y，投影域 Dxy，贝U ! R X, y,zdxdy ： ： 11 R lx, y, z X, y dxdy ; 送Dxy :x=xy,z，投影域 Dyz，则 iiP x,y,zdydz： 口！ Plx y, z,y,zdydz ； 送Dyz :y = yx,z，投影域 Dxz,贝 U iiQx, y, zdxdQ x, y x,z , z dxdz ZDxz 注：1、一与法向量与相应坐标轴的夹角有关：锐角-,钝角负 2、负侧一；正侧法向量的指向 3、两种曲面积分之间的关系： 11 Pdydz Qdzdx Rdxdy 二 Pcos Qcos ： Rcosr ds , 其

29、中cos：、cos -cosr为曲面的法向量的方向余弦 4、高斯公式：设P x, y,z、Q x,y,z、R x, y,z在空间闭域上具有一阶连续 偏导数，则 卅1 Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=兰+仝+还dv，其中乞是。的边 4Q 內 Ez） 界曲面外侧 注：一阶连续偏导；C2外侧；闭曲面 5、斯托克斯定理：设函数P x, y, z、Q x, y, z、R x, y, z在包含曲面二的空间域 11内具有一阶连续偏导数，设 -为曲面二的边界曲线, 贝U JPdx +Qdy +Rdz = JJ rZ dydz -：x P dzdx y Q dxdy I R 6、 流体流过曲面的流量：，-

30、Pdydz - Qdzdx - Rdxdy Z 7、梯度、散度、旋度： 设 u = u X, y, Z，则梯度：grad j k ； excycz A 二 Pi Qj Rk ,则散度：dir , ex cydz i j k 旋度：rot A = ex cy cz P Q R 二、重要考点 1、对弧长的曲线积分的计算 （1）确定曲线方程的表达形式及曲线的对称性和被积函数的奇偶性。 （2）能代入的先代入。 （3）代相应公式 注：。积分下限必小于积分上限 富对弧长的曲线积分与方向无关 2 2 1设C为椭圆-1，其周长为a,贝,2xy 3x2 4y2 ds二 43C 解：由性质 2xy 3x2 4y2 ds= 2xyds 3x2 4y2 ds= 12ds 二 12a cccc 2丄2丄 22 2、求 I = fx2ds L由 L x y z =a交线 x y z 二 0 注：。地位对称性 运过坐标原点 周长 El ds 2、曲线段的长度、质量、重心坐标、转动惯量及曲面面积 3、求坐标的曲线积分，其一般步骤： 精品文档 (1) 判定满足条件，选特殊路径； 次 dy (2) 弄清曲线的表达形式，并确定起点、终点及相应坐标； (3) 能代入先代入，然后代入公式求解。 注：G对称性、奇偶性不能用与方向