信号与系统第八章 Z变换、离散时间系统的Z域分析

1、第八章第八章 z变换、离散时间系统的变换、离散时间系统的z域分析域分析 8.1 8.1 引言引言 8.2 z8.2 z变换定义、典型序列的变换定义、典型序列的z z变换变换 8.3 z8.3 z变换的收敛域变换的收敛域 8.4 8.4 逆逆z z变换变换 8.5 z8.5 z变换的基本性质变换的基本性质 8.6 z8.6 z变换域拉普拉斯变换的关系变换域拉普拉斯变换的关系 8.7 8.7 利用利用z z变换解差分方程变换解差分方程 8.8 8.8 离散系统的系统函数离散系统的系统函数 8.9 8.9 序列的傅里叶变换（序列的傅里叶变换（dtftdtft） 8.10 8.10 离散时间系统的频率

2、响应特性离散时间系统的频率响应特性 8.1 引言引言 离散系统也可用类似于分析连续系统所采用的变换法进行分离散系统也可用类似于分析连续系统所采用的变换法进行分 析。析。 在分析连续系统时，经过拉氏变换将微分方程变换为代数方在分析连续系统时，经过拉氏变换将微分方程变换为代数方 程，从而使分析简化。程，从而使分析简化。 在分析离散系统中，在分析离散系统中，z z变换的地位的作用类似于连续系统中变换的地位的作用类似于连续系统中 的拉氏变换，利用的拉氏变换，利用z z变换把差分方程变换为代数方程，从而变换把差分方程变换为代数方程，从而 使离散系统的分析大为简化。使离散系统的分析大为简化。 抽样信号的拉

3、普拉斯变换抽样信号的拉普拉斯变换 理想抽样信号理想抽样信号 )()()(ttxtx ts n s ntttx)()( n ss nttntx)()( 对以上信号求拉氏变换对以上信号求拉氏变换 )(txs t ttt2 0 )(tx t 0 )(t t t ttt2 ) 1 ( 0 n nst s st n ss st s s s entxdtenttntxdtetxsx)()()()()( 0 上式中，令上式中，令 ，于是于是 n snt ss s entxsx)()( n n s zntx)( ze s st 8.2 z变换的定义、典型序列的变换的定义、典型序列的z变换变换 一、一、设有序列

4、设有序列x(n)，定义它的双边定义它的双边z变换为变换为 n n znxzx)()( 二、定义它的单边二、定义它的单边z变换为变换为 0 )()( n n znxzx 记为记为 )()(nxzzx )()(zxnx zt )(nx n 112 0 )(txs t ttt2 0 三、常见序列的三、常见序列的z变换变换 根据的根据的z变换的定义，可以求得常用信号的变换的定义，可以求得常用信号的z变换。变换。 1、单位样值信号：、单位样值信号：(n) n n znnz)()(1 2、单位阶跃序列：、单位阶跃序列：u(n) n n znunuz)()( 0n n z 当式中当式中|z|1， 1 0 1

5、 1 )( z znuz n n 1 z z 1 z n )(n 0 1 n )(nu 0 1 1234 若有一个移位的单位阶跃序列：若有一个移位的单位阶跃序列：u(n-k)，它的它的z变换为：变换为： n n zknuknuz)()( kn n z 同样，当同样，当|z|1， 1 1 )( z z zknuz k kn n 3、单位斜变序列：、单位斜变序列：nu(n) n n znnunnuz)()( 0n n nz 321 32zzz 3 32 321 z zz zzz )1(kk zz n )2( nu 0 1 1234 n )(nnu 0 1234 )( 1 1 )( 321 1 zz

6、z z nnuz 同样，当同样，当|z|1， 1 1 1 11 1 z z z 21 1 )1 ( z z 1 z 4、单边指数、单边指数 序列：序列：anu(n) n )(nx 0 1 1234 n )(nx 0 1 1 2 3 4 n )(nx 0 1 1234 n )(nx 0 1 1 2 3 4 n nnn znuanuaz)()( 0n nn za 0 1 )( n n az 当当|z|a|时，时， 0 1 )()( n nn aznuaz 1 1 1 azaz z az 不管不管a为何值，按照定义，单位指数序列的为何值，按照定义，单位指数序列的z变换为变换为 如果指数序列是如果指数

7、序列是n0时的单边序列，其的时的单边序列，其的z变换为变换为 n nnn znuanuaz)1()1( 1 n nn za 1 1 )( n n za 1 1 )( n n za 当当|a-1z|1，即即|z|1时，时， 2 0 1 0 1 0 cos21 cos1 )()cos( zz z nun zt 1 z 2 0 1 0 1 0 cos21 sin )()sin( zz z nun zt 1 z 由于由于z变换的定义式。是一个无限项求和式，这就有和是否存在变换的定义式。是一个无限项求和式，这就有和是否存在 的问题。由上面常用信号的的问题。由上面常用信号的z变换的求解可以知道，其变换的求

8、解可以知道，其z变换能够用变换能够用 一个封闭的式子表示，是有条件的，这个条件就是在此域内一个封闭的式子表示，是有条件的，这个条件就是在此域内z变换变换 存在，此域就是存在，此域就是z变换的收敛域。而序列变换的收敛域。而序列z变换的收敛域，与序列的变换的收敛域，与序列的 形态有关。形态有关。 8.3 z变换的收敛域变换的收敛域 序列序列z变换的收敛域，与序列的形态有关。反之，同一个变换的收敛域，与序列的形态有关。反之，同一个z变换变换 的表达式，不同的收敛域，确定了不同序列形态。例如：序列的表达式，不同的收敛域，确定了不同序列形态。例如：序列 n n znunuz)1()1( n 1 5 4

9、3 2 ) 1( nu 1 1 n n z 1n n z 当当|z|0。 n )(nx 1 n 2 n 0, 0 21 nn z变换式中各变换式中各 项项z均为正的幂次均为正的幂次 方，其收敛域应方，其收敛域应 该是该是|z|。 n )(nx 1 n 2 n 0, 0 21 nn z变换式中各变换式中各 项项z均为正的幂次均为正的幂次 方，其收敛域应方，其收敛域应 该是该是0|z|。 rez imzj 1 j 1 j z变换式是有限项之和变换式是有限项之和。 n nnnnx nx 其他, 0 ),( )( 21 ;)(,)()( 21 2 1 nnnznxznxzx n n nn n ，若 ;

10、)( 21 nnnznx n ，是有界的，必有考虑到 n )(nx 1 n 2 n n )(nx 1 n 2 n n )(nx 1 n 2 n 平面”。即所谓“有限 ，外的开域也就是除所以收敛域 ，则只要时，同样，当 ，则只要时，因此，当 z zzz zzzzn zzzzn n n n nnn ), 0(, 00 ,0 0,/10 2、右边序列。即、右边序列。即 other nnnx nx 0 )( )( 1 1 )()( nn n znxzx n )(nx 1 n 0 1 n 由根值判别法：由根值判别法： z变换式是无限项之和变换式是无限项之和。 1)(lim n n n znx 1 )(l

11、imrnxz n n n )(nx 1 n 0 1 n 此时相当于增加了一此时相当于增加了一 个个n10的有限长序列，的有限长序列， 还应除去原点：还应除去原点： 2 0rz 2 )( nn n znx rez imzj 2 r 4、双边序列。即、双边序列。即 )() 1()()(nununxnx n n znxzx)()( 0 1 )()( n n n n znxznx 0 )( n n znx的收敛域设为：的收敛域设为： 1 rz 1 )( n n znx的收敛域设为：的收敛域设为： 2 rz 当当r1r2，序列序列z变换不收敛，因而不存在。变换不收敛，因而不存在。 当当r1r2，序列序列

12、z变换的收敛域为：变换的收敛域为： 21 rzr rez imzj 2 r 1 r n )(nx rez imzj 2 r 1 r 例如：已知序列例如：已知序列)() 1()(nuanubnx nn ba , 试求试求z变换变换x(z)。 解：解： n n znxzx)()( 0 1 n nn n nn zazb bz z zb n nn 1 其中其中 当当bz az z za n nn 0 当当az 所以所以 az z bz z zx )(bza rez imzj b a 例如：已知序列例如：已知序列)()( 1 nuanx n ，试求，试求z变换变换。 解：解： n n znxzx)()(

13、 11 0n nn za 1 n nn za az az ) 1()( 2 nuanx n 1 1 1 az az z n n znxzx)()( 22 1 1 )( n n za 1 1 )( n n za za za 1 1 1 az z rez imzj a rez imzj a 例如：已知序列例如：已知序列 n anx )(1, a，试求，试求z变换变换x(z)。 解：解： n n znxzx)()( 0 1 n nn n nn zaza 1 1 az z za n nn 其中其中 当当 1 az az z za n nn 0 当当az 所以所以 1 )( az z az z zx 1

14、 aza rez imzj 1 a a 例如：已知序列例如：已知序列 )() 3 1 () 2 1 ()(nunx nn ，试求，试求z变换变换x(z)。 解：解： n n znxzx)()( 00 ) 3 1 () 2 1 ( n nn n nn zz 2 1 ) 2 1 ( 0 z z z n nn 其中其中 当当 2 1 z 3 1 ) 3 1 ( 0 z z z n nn 当当 3 1 z 所以所以 3 1 2 1 )( z z z z zx 2 1 z rez imzj 2 1 3 1 例如：已知序列如下，写出其例如：已知序列如下，写出其z变换的收敛域。变换的收敛域。 ) 1( )n

15、a) 1( )nb)( ) 4 nrc)2( ) 4 nrd )() 2 1 ( )nue n ) 1() 2 1 ( )nuf n n g) 2 1 ( ) )() 3 1 ()() 5 1 ( )nunuh nn 答：答： 0z )a z )b0z )c z0 )d 2 1 z )e 2 1 z )f 2z 2 1 )g 3 1 z )h 8.4 逆逆z变换变换 一、反一、反z变换的公式变换的公式 由由z变换的公式变换的公式 n n znxzx)()( 两边同乘两边同乘zm-1， n nmm znxzzx 11 )()( 上式两边同在上式两边同在x(z)zm-1的收敛域内作围线积分，的收敛

16、域内作围线积分， c n nm c m dzznxdzzzx)()( 11 c nm n dzznx 1 )( 上式右边当上式右边当n=m，围线积分是柯西积分围线积分是柯西积分 other mnj dzz c nm 0 2 1 所以所以 c m dzzzxmjx 1 )()(2 c n dzzzx j nx 1 )( 2 1 )( 二、反二、反z变换的求解变换的求解-围线积分法围线积分法 由留数定理由留数定理 c n dzzzx j nx 1 )( 2 1 )( i zz n i zzx)( sre 1 zi是是x(z)zn-1在围线在围线c内的极点。内的极点。 当当x(z)zn-1在在z=z

17、i处有处有k阶极点，对应的留数按下式求解阶极点，对应的留数按下式求解 i zz nk i k k n zzxzz dz d k zzx )()( )!1( 1 )(sre 1 1 1 1 例如：已知序列的例如：已知序列的z变换及其收敛域如下，试用留数法求其变换及其收敛域如下，试用留数法求其z反变换。反变换。 )5 . 0)(1( )( 2 zz z zx1 z 解：由留数法解：由留数法 i zz n i zz z nx )5 . 0)(1( sre)( 1rez imzj 1 选择以原点为圆心，收敛域中的闭合围线。选择以原点为圆心，收敛域中的闭合围线。 当当n0，围线内只有两个一阶极点：围线内

18、只有两个一阶极点：1、0.5 1 1 1 1 )5 . 0( )5 . 0)(1( sre z n z n z z zz z 2 5 . 0 1 5 . 0 1 ) 1( )5 . 0)(1( sre z n z n z z zz z 1 )5 . 0(2 n 所以所以 )()5 . 0(1 2)( 1 nunx n )()5 . 0(2nu n n )(nx 2 1 0 123456 例如：已知序列的例如：已知序列的z变换及其收敛域如下，试用留数法求其变换及其收敛域如下，试用留数法求其z反变换。反变换。 )5 . 0)(1( )( 2 zz z zx15 . 0 z 解：还是求以原点为圆心，

19、收敛域中围线所解：还是求以原点为圆心，收敛域中围线所 包含极点的留数法包含极点的留数法 i zz n i zz z nx )5 . 0)(1( sre)( 1 rez imzj 1 此时围线内只有一个极点：此时围线内只有一个极点：0.5，其留数与前例相同。，其留数与前例相同。 5 . 0 1 5 . 0 1 ) 1( )5 . 0)(1( sre z n z n z z zz z 1 )5 . 0(2 n 然而然而 当当nr1，则将分子、分母多项式均按降幂排则将分子、分母多项式均按降幂排 列；然后作长除；取长除结果的系数即是所求序列。列；然后作长除；取长除结果的系数即是所求序列。 例如：已知序

20、列的例如：已知序列的z变换及其收敛域如下，试用长除法求其变换及其收敛域如下，试用长除法求其z反变换。反变换。 )5 . 0)(1( )( 2 zz z zx1 z 解：由收敛域知道序列是因果的，将解：由收敛域知道序列是因果的，将x(z)写成写成 5 . 05 . 1 )( 2 zz z zx z 作长除作长除 5 . 05 . 1 22 zzz 1 5 . 05 . 1 2 zz 5 . 05 . 1 z 1 5 . 1 z 1 75. 025. 25 . 1 zz 1 75. 075. 1 z 2 75. 1 z 21 875. 0625. 275. 1 zz 所以所以 .75. 1 , 5

21、 . 1 , 1)( nx n k k 0 )5 . 0( 5 . 01 )5 . 0(1 1 n )()5 . 0(1 2 1 nu n 若若x(z)的收敛域为：的收敛域为：|z|r1，其对应的其对应的z反变换是一个因果序列：反变换是一个因果序列： )()()( 1 nunxnx 对同一个对同一个z变换的函数式变换的函数式，当收敛域为一圆的内域：当收敛域为一圆的内域：|z|r2，其对应其对应 的的z反变换是一个左边序列，形式为：反变换是一个左边序列，形式为： ) 1()()( 1 nunxnx 若还是此若还是此z变换的函数式变换的函数式，当收敛域为一环域：当收敛域为一环域：r1|z|1 与与

22、0|z|0，s平面上的右半平面平面上的右半平面，映射到映射到z平面上的单位圆外。平面上的单位圆外。 rez imzj 1 j 1 j res0，s平面上的左半平面平面上的左半平面，映射到映射到z平面上的单位圆内。平面上的单位圆内。 s平面上平面上 的带域的带域，即映射到即映射到z平面的全平面。平面的全平面。 ss tt 每一个这样的平行带域，均全映射至每一个这样的平行带域，均全映射至z平面上一次。平面上一次。 因此，因此，s平面至平面至z平面上的映射是多对一的映射。平面上的映射是多对一的映射。 j rez imzj 1 j 1 j s t s t s t 3 s t 3 二、二、z变换与拉氏变

23、换表达式的对应变换与拉氏变换表达式的对应 若连续时间信号若连续时间信号x(t)经均匀抽样构成序列经均匀抽样构成序列x(n)，且已知，且已知x(t) 的拉氏变换为的拉氏变换为x(s)，下面讨论能否由，下面讨论能否由x(s)写出写出x(n)的的z变变 换换x(z)。 若若 则其拉普拉斯变换为则其拉普拉斯变换为 若若 则其则其z变换为变换为 )()()( 11 tueatxtx n i tp i n i i i n i i i ps a sx 1 )( )()()( 11 ntueantxntx n i ntp i n i i i n i tp i ze a zx i 1 1 1 )( 在在t=0t

24、=0点处，点处，x(ntx(nt) )与与x(tx(t) )不相等，即不相等，即 因此，在按抽样规律建立二者的联系时必须在因此，在按抽样规律建立二者的联系时必须在0 0点点 补足补足a ai i/2/2，即，即 见书上例子见书上例子8-148-14，8-158-15 0 0 00 )( 0 0 2 00 )( tea ta t ntx tea t a t tx ntp i ii tp i i i i i 0, 2 )()( 0,)()( )()( n a tutx ntutx nuntx i ntt i ntt i i 8.7 利用利用z变换解差分方程变换解差分方程 利用利用z变换求解线性常系

25、数差分方程方法如下：变换求解线性常系数差分方程方法如下： 对差分方程两边求单边对差分方程两边求单边z变换。注意：方程左边应用非因果的移变换。注意：方程左边应用非因果的移 位性，方程右边应用因果序列的移位性。位性，方程右边应用因果序列的移位性。 解代数方程，求输出序列的解代数方程，求输出序列的z变换变换y(z)。 求反求反z变换，得到输出的时间序列变换，得到输出的时间序列y(n)。 设差分方程为：设差分方程为： m r r n k k rnxbknya 00 )()( 两边同求两边同求z变换：变换： m r r r n kkn nk k zxzbznyzyza 00 1 )()()( m r r

26、 r kn n n k k k n k k k zxzbznyzazazy 0 1 00 )()()( )()()( 1 000 kn n n k k k m r r r n k k k znyzazbzxzazy n k k k kn n n k k k m r r r za znyzazbzx zy 0 1 00 )()( )( 其中：其中： )()( 0 0 zx za zb zy n k k k m r r r zs n k k k kn n n k k k zi za znyza zy 0 1 0 )( )( 例如：已知因果系统的差分方程、输入序列与起始条件如下，试求：例如：已知因果

27、系统的差分方程、输入序列与起始条件如下，试求： 系统的全响应，并指出零输入响应、零状态响应和自由响应系统的全响应，并指出零输入响应、零状态响应和自由响应 与受迫响应。与受迫响应。 ) 1()()2(1 . 0) 1(7 . 0)( nxnxnynyny )()(nunx 7)2(, 2) 1(, yy 解：对方程两边同求解：对方程两边同求z变换变换 )1)() 1()2()(1 . 0) 1()(7 . 0)( 1221 zzxzyzyzyzzyzyzzy )1)() 1()2( 1 . 0) 1(7 . 0)1 . 07 . 01)( 1121 zzxzyyyzzzy ) 1()2( 1 .

28、 0) 1(7 . 0)1)()1 . 07 . 01)( 1121 zyyyzzxzzzy 求输出求输出y(n)的的z变换变换 )1 . 07 . 01 ( ) 1()2( 1 . 0) 1(7 . 0)1)( )( 21 11 zz zyyyzzx zy 21 1 21 1 1 . 07 . 01 )2(1 . 0) 1()1 . 07 . 0( )( 1 . 07 . 01 1 zz yyz zx zz z 代入代入x(n)的的z变换变换1/(1-z-1)与起始条件与起始条件 21 1 21 1 . 07 . 01 7 . 0)1 . 07 . 0(2 1 . 07 . 01 1 )(

29、zz z zz zy 1 . 07 . 0 )2 . 07 . 0( 1 . 07 . 0 22 2 zz zz zz z 1 . 07 . 0 2 . 07 . 0 1 . 07 . 0 )( 22 zz z zz z z zy )5 . 0)(2 . 0( 2 . 07 . 0 )5 . 0)(2 . 0( zz z zz z 5 . 0 2 1 2 . 0 5 1 5 . 0 3 5 2 . 0 3 2 )( zzzzz zy 5 . 0 2 1 2 . 0 5 1 5 . 0 3 5 2 . 0 3 2 )( z z z z z z z z zy 求反求反z变换变换 )()5 . 0(

30、 2 1 )2 . 0( 5 1 )5 . 0( 3 5 )2 . 0( 3 2 )(y nun nnnn 零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应 )()5 . 0( 6 13 )2 . 0( 15 7 nu nn 自由响应自由响应 与拉氏变换解微分方程类似，用与拉氏变换解微分方程类似，用z变换解差分方程可以一次求变换解差分方程可以一次求 出系统的全解。同样因为带有起始条件，使运算繁杂。出系统的全解。同样因为带有起始条件，使运算繁杂。 例如：有一因果系统方程为：例如：有一因果系统方程为：)( 2 1 ) 1( 2 1 )(nxnyny 若若y(-1)=2，求系统的零输入响应；求系统的零输入响

31、应； 若若x(n)=(1/4)nu(n)，求系统的零状态响应；求系统的零状态响应； 解：解： 求零输入响应，系统方程为齐次方程。求零输入响应，系统方程为齐次方程。 0) 1( 2 1 )( nyny 系统方程求系统方程求z变换变换0) 1()( 2 1 )( 1 zyzyzzy ) 1( 2 1 ) 2 1 1)( 1 yzzy ) 2 1 1 ( ) 1( 2 1 )( 1 z y zy ) 2 1 1 ( 1 1 z )() 2 1 ()(nuny n 求零状态响应，对方程两边求求零状态响应，对方程两边求z变换，但不考虑起始条件。变换，但不考虑起始条件。 )( 2 1 ) 1( 2 1 )

32、(nxnyny )( 2 1 ) 2 1 1)( 1 zxzzy )( 2 1 1 2 1 )( 1 zx z zy 4 1 )(x z z z ) 4 1 )( 2 1 ( 2 1 )( 2 zz z zy ) 4 1 )( 2 1 ( 2 1 )( zz z z zy 4 1 6 1 2 1 3 1 zz 4 1 6 1 2 1 3 1 )( z z z z zy )() 4 1 ( 6 1 ) 2 1 ( 3 1 )( nuny nn 练习练习1：因果系统方程为：因果系统方程为： )() 1(2)(nxnyny2) 1(y )()2()(nunnx试求系统的响应。试求系统的响应。 练习练

33、习2：因果系统方程为：因果系统方程为： )( 3 4 )2() 1(2)(nxnynyny 0) 1(y )()3()(nunx n 试求系统的响应，并指出零输入和零状态响应。试求系统的响应，并指出零输入和零状态响应。 3 4 )0(,y 答案：练习答案：练习1： )()2(50)23( 9 1 )(nunny n 练习练习2： )() 1)(74()3(9 12 1 )(nunny nn zs 0)(nyzi 8.8 离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数 一、离散时间系统函数的定义一、离散时间系统函数的定义 设有离散时间线性时不变系统，其单位样值响应为设有离散时间线性时不变系统，其单

34、位样值响应为h(n)，现有现有 一激励信号一激励信号x(n)=zn作用于它，作用于它， )()()(nxnhny n znh )( m mn zmh)( n m m zzmh)( n zzh)( 零状态响应零状态响应y(n)为：为： )(nh n znx)( n znhny)()( 所以，信号所以，信号x(n)=zn是系统的特征函数，是系统的特征函数，h(z)是系统的特征值或是系统的特征值或 称系统函数。称系统函数。 n n znhzh)()( 系统函数系统函数h(z)是系统单位样值响应的是系统单位样值响应的z变换。变换。 另一方面，由另一方面，由z变换的卷积定理变换的卷积定理 )()()(n

35、xnhny )()()(zxzhzy 于是于是 )( )( )( zx zy zh 即系统函数是系统零状态响应的即系统函数是系统零状态响应的z变换比上激励的变换比上激励的z变换。变换。 二、离散时间系统函数的获取二、离散时间系统函数的获取 1、作系统单位样值响应的、作系统单位样值响应的z变换。变换。 n n znhzh)()( 例如：已知系统单位样值响应例如：已知系统单位样值响应h(n)=(1/2)nu(n) 则系统函数则系统函数 n n znhzh)()( 0 ) 2 1 ( n nn z 1 2 1 1 1 z 2 1 z z 2 1 z 2、由系统方程的、由系统方程的z变换变换 设系统方

36、程设系统方程 m r r n k k rnxbknya 00 )()( 于是于是 m r r r n k k k zxzbzyza 00 )()( )( )( )( zx zy zh n k k k m r r r za zb 0 0 即由一常系数线性差分方程表示的系统，其系统函数完全由方程的即由一常系数线性差分方程表示的系统，其系统函数完全由方程的 系数所确定，是一个系数所确定，是一个z的有理分式。的有理分式。 例如：设系统的差分方程：例如：设系统的差分方程：) 1()() 2(1 . 0) 1(7 . 0)( nxnxnynyny 系统函数与单位样值响应。系统函数与单位样值响应。 首先，对

37、方程求首先，对方程求z变换变换 )1)()1 . 07 . 01)( 121 zzxzzzy 21 1 1 . 07 . 01 1 )( zz z zh 对系统函数求对系统函数求z反变换反变换 1 . 07 . 0 1)( 2 zz z z zh ) 5 . 0)(2 . 0( 1 zz z 5 . 0 3 5 2 . 0 3 8 zz 5 . 0 3 5 2 . 0 3 8 )( z z z z zh)()5 . 0( 3 5 )2 . 0( 3 8 )(nunh nn 三、系统函数零极点分布与系统的时间特性三、系统函数零极点分布与系统的时间特性 1、系统函数的零极点、系统函数的零极点 由上

38、例可见，系统的单位样值响应等于系统函数的由上例可见，系统的单位样值响应等于系统函数的z反变换。而反变换。而 单位样值响应的时间形式，完全由它分母多项式的根确定；与连续单位样值响应的时间形式，完全由它分母多项式的根确定；与连续 时间系统同样，分子多项式决定了时间信号的幅度与起始相位的大时间系统同样，分子多项式决定了时间信号的幅度与起始相位的大 小。小。 )( )( )( zx zy zh n k k k m r r r za zb 0 0 当系统函数是有理分式的形式，可以表示为当系统函数是有理分式的形式，可以表示为 n k k m r r zp zz a b 1 1 1 1 0 0 )1 ( )

39、1 ( 上式中，上式中，zr与与pk分别是系统函数的零点与极点。分别是系统函数的零点与极点。 2、系统函数极点分布对应的时间特性、系统函数极点分布对应的时间特性 极点位于正实轴上：极点位于正实轴上：|pk|1，对应的时间函数是单调增加的；例如：对应的时间函数是单调增加的；例如： )()2 . 1 ()( 2 . 1 )(nunh z z zh nizt n )(nh 0 123 极点位于负实轴上：极点位于负实轴上：|pk|1，对应的时间函数是震荡衰减的；例对应的时间函数是震荡衰减的；例 如：如： rez imzj 11 )() 2 1 ()( 2 1 )(nunh z z zh nizt |p

40、k|=1，对应的时间函数是等幅震荡的；例如：对应的时间函数是等幅震荡的；例如： )() 1()( 1 )(nunh z z zh nizt |pk|=1，对应的时间函数是增幅震荡的；例如：对应的时间函数是增幅震荡的；例如： )()2 . 1()( 2 . 1 )(nunh z z zh nizt n )(nh 0 1 2 3 n )(nh 0 1 2 3 n )(nh 0 1 2 3 极点位于单位圆上：极点位于单位圆上：pk =e j， ，对应的对应的 时间函数是等幅变化的；当时间函数是等幅变化的；当=0，对应的对应的 时间函数相当于直流信号；例如：时间函数相当于直流信号；例如： rez im

41、zj 11 )() 1()( 1 )(nunh z z zh nizt )() 2 cos()( 1 )( 2 2 nu n nh z z zh izt n )(nh 0 1 2 3 n )(nh 0 123 )()( 1 )(nunh z z zh izt 当当=，对应的时间函数等幅震荡，对应的时间函数等幅震荡， 且频率是最高的；例如：且频率是最高的；例如： 当当=/2，对应的时间函数等幅震荡，对应的时间函数等幅震荡， 但频率介于以上两者之间；例如：但频率介于以上两者之间；例如： n )(nh 0 1 2 34 极点位于极点位于z平面的其它地方：平面的其它地方：pk=|pk|e j， ， 对

42、应的时间函数是变幅震荡的；当对应的时间函数是变幅震荡的；当|pk|1，对应的时间函数增幅震荡对应的时间函数增幅震荡；例如：例如： )() 4 cos()2()( 422 )2( )( 2 nu n nh zz zz zh nizt n )(nh 0 1 2 3 n )(nh 0 1 2 3 4 5 6 四、离散时间系统的因果性与稳定性四、离散时间系统的因果性与稳定性 1、稳定系统的极点分布、稳定系统的极点分布 根据系统根据系统“有限的输入产生有限的输出有限的输入产生有限的输出”的稳定性定义，在的稳定性定义，在 lti系统的时域分析一章我们知道，稳定的线性时不变系统，其单系统的时域分析一章我们知

43、道，稳定的线性时不变系统，其单 位样值响应必定满足绝对可和，即位样值响应必定满足绝对可和，即 n nh)( 因为系统函数是单位样值响应的因为系统函数是单位样值响应的z变换，即变换，即 n n znhzh)()( 而而系统函数存在的条件，即其收敛条件：系统函数存在的条件，即其收敛条件： n n znhzh)()( n n znh)( 比较上两式可见，对于稳定系统为满比较上两式可见，对于稳定系统为满 足收敛条件，应该有足收敛条件，应该有|z|=1；或者说稳定系或者说稳定系 统的系统函数的收敛域，应该包含单位圆。统的系统函数的收敛域，应该包含单位圆。 即稳定系统的系统函数，其极点不应分布即稳定系统的

44、系统函数，其极点不应分布 在单位圆上！在单位圆上！ rez imzj 11 2、因果系统的极点分布、因果系统的极点分布 我们知道，因果系统的单位样值响应我们知道，因果系统的单位样值响应h(n)是因果信号，即是因果信号，即 )()()(nunhnh 因果系统的时域描述因果系统的时域描述 因果系统的因果系统的z域描述域描述 由由z变换的收敛域知道，对于以上因果信号的变换的收敛域知道，对于以上因果信号的z变换，即系统函变换，即系统函 数，其收敛域应满足数，其收敛域应满足|z|r1。 rez imzj 1 r n n znhzh)()( 0 )( n n znh 1 rz 即因果系统的系统函数的极点，

45、只应分布即因果系统的系统函数的极点，只应分布 在某圆的内部。在某圆的内部。 因果系统的系统函数是有理分式时，分子多项式的阶次不应高因果系统的系统函数是有理分式时，分子多项式的阶次不应高 于分母多项式的阶次。于分母多项式的阶次。 例如：若系统函数为例如：若系统函数为 8 1 4 1 2 )( 2 23 zz zzz zh ) 4 1 )( 2 1 ( 8 9 4 9 2 zz zz z 4 1 4 3 2 1 3 )( z z z z zzh 此时，系统是非因果的。设单位样值响应是右边序列，此时收敛域此时，系统是非因果的。设单位样值响应是右边序列，此时收敛域 为为1/2|z|。 )() 4 1

46、( 4 3 ) 2 1 (3) 1()(nunnh nn 考虑到稳定性，则因果稳定系统的系统函数考虑到稳定性，则因果稳定系统的系统函数 的收敛域应该是半径的收敛域应该是半径r2 则则 )2)( 2 1 ( 2 5 2 )( 2 zz zz zh 2 2 1 z z z z )(2) 2 1 ()( nunh nn 系统是因果的，但不稳定，因为其收敛域没有包含单位圆。系统是因果的，但不稳定，因为其收敛域没有包含单位圆。 例如：若系统函数为例如：若系统函数为 ) 4 1 )( 2 1 ( 8 9 4 9 )( 2 zz zz zh 其收敛域为其收敛域为 |z|1/2，则则 4 1 4 3 2 1

47、3 )( z z z z zh )() 4 1 ( 4 3 ) 2 1 (3)(nunh nn rez imzj 11 练习练习1：已知系统函数：已知系统函数h(z)，求系统是因果的非因果但是稳定，求系统是因果的非因果但是稳定 的的 非因果且不稳定的时的非因果且不稳定的时的h(n)。 15 . 2 3 )( 2 zz z zh 练习练习2：已知系统的差分方程：已知系统的差分方程：y(n)+3y(n-1)=x(n)，试求系统因果，试求系统因果 时的非因果时的单位样值响应。时的非因果时的单位样值响应。 练习练习3：因果系统的差分方程：因果系统的差分方程：y(n)+y(n-1)=x(n)，试求系统函

48、数，试求系统函数 与单位样值响应说明系统的稳定性当输入与单位样值响应说明系统的稳定性当输入 x(n)=10u(n)时时 的响应。的响应。 答案：练习答案：练习2)() 3()( ) 1 (nunh n ) 1() 3()( ) 2(nunh n 练习练习3)()() 1()( , 1 )( ) 1 (nuenunh z z zh jnn 为奇数 为偶数 n n nuny n 0 10 )() 1(1 5)( )3( 8.9 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换-dtft 一、离散时间傅里叶变换的定义一、离散时间傅里叶变换的定义 设离散时间序列设离散时间序列x(n)的的z变换变换 n n znx

49、zx)()( 单位圆被包含在它的收敛域之内。于是单位圆被包含在它的收敛域之内。于是 n nj ez j enxzxex j )(| )()( 定义为序列定义为序列x(n)的离散时间傅里叶变换（的离散时间傅里叶变换（dtft）。）。记为记为 n njj enxnxdtftex )()()( 由离散时间序列由离散时间序列x(n)的反的反z变换变换 c n dzzzx j nx 1 )( 2 1 )( 由于单位圆在由于单位圆在x(z)的收敛域之内，以上围线积分可沿单位圆上进行。的收敛域之内，以上围线积分可沿单位圆上进行。 于是于是 1 1 )( 2 1 )( z n dzzzx j nx jnjj

50、deeex j ) 1( )( 2 1 djeeex j jnjj) 1( )( 2 1 deex njj )( 2 1 记为记为 deexexidtftnx njjj )( 2 1 )()( 于是，我们得到一对变换关系：于是，我们得到一对变换关系： n njj enxnxdtftex )()()(-dtft变换式变换式 deexexidtftnx njjj )( 2 1 )()(-dtft反变换式反变换式 )()( jdtft exnx 记为记为 由以上反变换式可见，由以上反变换式可见，dtft是将序列是将序列x(n)分解为不同角频率分解为不同角频率 的复指数序列的复指数序列ejn的组合，的

51、组合，x(ej)是不同分量的复振幅的相对大小，是不同分量的复振幅的相对大小， 习惯上，称习惯上，称x(ej)是序列是序列x(n)的频谱。的频谱。 二、离散时间傅里叶变换的举例二、离散时间傅里叶变换的举例 1、单边指数序列、单边指数序列 )()(nuanx n 1 a 于是于是 n njj enxex )()( 0n njne a j ae 1 1 以上序列的以上序列的z变换为变换为 1 1 1 )( az zx az rez imzj 1 a 当当|a|1，单位圆被包含在收敛域中，所以单位圆被包含在收敛域中，所以 jez j ae zxex j 1 1 )()( n )(nx 0 1 2 3

52、4 5 0 a n )(nx 0 12345 0 a j dtftn ae nua 1 1 )( 即即 2、双边指数序列、双边指数序列 n anx )(1 a 于是于是 n njj enxex )()( 0 1 n njn n njn eaea 其中其中 1 1 n njn n njn eaea j j ae ae 1 所以所以 jj j j aeae ae ex 1 1 1 )( 2 2 cos21 1 aa a 3、矩形窗序列、矩形窗序列)()()()(nnununrnx n n )()( 4 nrnx 0 12345 1 n njj enxex )()( 1 0 n n nj e j n

53、j j e e ex 1 1 )( 2/2/2/ 2/2/2/ )( )( jjj njnjnj eee eee 2 1 ) 2 sin( ) 2 sin( n j e n ) 2 sin( ) 2 sin( )( n ex j )( )( jj eex 2 sin 2 sin arg 2 1 )( n n )( j ex 2 4 n 0 )( 2 0 4 3 4 3 n )()( 4 nrnx 0 12345 1 三、离散时间傅里叶变换的基本性质三、离散时间傅里叶变换的基本性质 1、周期性、周期性 )()( )2( jj exex 即序列是时域离散的，其离散时间傅里叶变换是以即序列是时域离散

54、的，其离散时间傅里叶变换是以2为周期为周期 的周期信号。注意，连续时间周期信号，其连续时间傅里叶变换是的周期信号。注意，连续时间周期信号，其连续时间傅里叶变换是 离散的。离散的。 例如：单边指数序列例如：单边指数序列 j nj ae nuadtftex 1 1 )()( )2( 1 1 1 1 jj aeae 2 1 1 jj eae 2、线性、线性 设设)()( j i dtft i exnx 则则 i j ii dtft i ii excnxc)()( 例如：双边指数序列例如：双边指数序列)() 1()(nuanuanx nn 1 a 则则 )()1()(nuadtftnuadtftex

55、nnj jj j aeae ae 1 1 1 2 2 cos21 1 aa a 3、时移与频移性、时移与频移性 设设)()( jdtft exnx 则有则有mjjdtft eexmnx )()( )()( )( 00 jdtftnj exenx 例如：设矩形窗序列例如：设矩形窗序列rn(n)的宽度的宽度n为奇数，为奇数， 2 1 ) 2 sin( ) 2 sin( )( n j dtft n e n nr n )()( 5 nrnx 0 12345 1 )( j ex 2 5 n 0 )( 2 0 5 4 5 4 我们已知我们已知 则则rn(n)左移左移(n-1)/2后，是一个偶对称的序列后，

56、是一个偶对称的序列, n ) 2 1 ( n nx 1233 1 12 根据时移性根据时移性 ) 2 sin( ) 2 sin( ) 2 1 ( n n nr dtft n ) 2 sin( ) 2 sin( ) 2 1 ( n n nr dtft n )( j ex 2 5 n 0 )( 2 0 )( j ex 2 5 n 0 因为，此时序列是一偶对称信号，因为，此时序列是一偶对称信号， 与连续时间傅氏变换相同，其变换应是与连续时间傅氏变换相同，其变换应是 纯实函数。变换的波形如图所示。纯实函数。变换的波形如图所示。 n ) 2 1 ( n nx 1233 1 12 离散时间信号的傅立叶变换

57、是以离散时间信号的傅立叶变换是以2 为周期的连续函数，其幅度函数的波形为周期的连续函数，其幅度函数的波形 是以是以偶对称的，相位函数是奇对称的。偶对称的，相位函数是奇对称的。 例如：设例如：设)()( jdtft exnx 则由频移性则由频移性 )()()() 1( )( jdtftjnn exnxenx )(nx n 0 1 2 3 4 )( j ex 0 22 )( 1 nx n 0 1 2 3 4 )( 1 j ex 0 2 2 4、共轭与反褶、共轭与反褶 设设)()( jdtft exnx 则有则有 )()( *jdtft exnx )()( jdtft exnx 所以有所以有 )()

58、( 2 1 )()( 2 1 )(re *jjdtft exexnxnxnx )()( 2 1 )()( 2 1 )(im *jjdtft exex j nxnx j nxj 即即序列实部的离散时间傅里叶变换是序列离散时间傅里叶变换序列实部的离散时间傅里叶变换是序列离散时间傅里叶变换 的的共轭对称分量共轭对称分量，虚部的离散时间傅里叶变换是序列离散时间傅里，虚部的离散时间傅里叶变换是序列离散时间傅里 叶变换的叶变换的共轭反对称分量共轭反对称分量。 5、奇、偶、虚、实性、奇、偶、虚、实性 设设 )()()()()()( ir jdtft ir jxxexnjxnxnx )( )( jj eex

59、当当x(n)是实序列，即是实序列，即)()( * nxnx 则则 )()( *jj exex 即实序列的离散时间傅里叶变换，实部是偶对称的，虚部是奇即实序列的离散时间傅里叶变换，实部是偶对称的，虚部是奇 对称的，模是偶对称的，相位是奇对称的。对称的，模是偶对称的，相位是奇对称的。 )( )( )()()( )()()( jj ir ir jj eexjxx jxxeex 当当x(n)是实偶序列，即是实偶序列，即)()()( * nxnxnx 则则)()()( *jjj exexex )()()()()()( iririr jxxjxxjxx 即即 0)( i x 当当x(n)是实奇序列，即是实

60、奇序列，即)()()( * nxnxnx 则则)()()( *jjj exexex )()()()()()( iririr jxxjxxjxx 即即 0)( r x 即实偶序列的离散时间傅里叶变换，是实偶对称的；实奇序列，即实偶序列的离散时间傅里叶变换，是实偶对称的；实奇序列， 其离散时间傅里叶变换是纯虚且奇对称的。其离散时间傅里叶变换是纯虚且奇对称的。 同样可求，其中的奇分量同样可求，其中的奇分量 )()( 2 1 )()( 2 1 )( jjdtft e exexnxnxnx )(im)()( 2 1 )()( 2 1 )( jjjdtft o exjexexnxnxnx 当当x(n)是实