不定积分求解方法及技巧

1、不定积分求解方法及技巧小汇总 摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列 举个别典型例子，运用技巧解题。 一. 不定积分的概念与性质 定义1如果F (x)是区间I上的可导函数，并且对任意的x I，有 F (x)=f(x)dx 则称F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数。 定理1 (原函数存在定理)如果函数f(x)在区间I上连续,那么f(x)在区间I上一定有原 函数，即存在可导函数F (x)，使得F (x) =f(x) (x I) 简单的说就是，连续函数一定有原函数 定理2设F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则 (1) F (x) +C也是f(x)在

2、区间I上的原函数，其中 C是任意函数； (2) f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。 定义2设F (x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F (x) +C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为 f(x)d(x), 即 f(x)d(x)=F(x)+C 其中记号 称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变 量，C称为积分常数。 性质1 设函数f(x)和g(x)存在原函数，则f(x) g(x)dx= f(x)dx g(x)dx. 性质2设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，贝9 kf(x)dx=k f(x)dx. 二. 换元

3、积分法的定理 如果不定积分g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f(x) (x). 做变量代换u= (x),并注意到(x) dx=d (x),则可将变量x的积分转化成变量u 的积分，于是有g(x)dx= f (x) (x)dx= f(u)du. 如果 f(u)du可以积出，则不定积分g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类 换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。 定理1设F(u)是f(u)的一个原函数，u= (x)可导，则有换元公式 f (x) (x)dx= f(u)du=F(u)+C=F (x)+C. 第一类换元法是通过变量代换u= (x),将

4、积分 f (x) (x)dx化为 f(u)du.但有些积分需要用到形如x= (t)的变量代换，将积分 f(x)dx化为 f (t) (t).在求出后一积分之后，再以x= (t)的反函数t= 1(X)带回去，这就 是第二类换元法。即 f(x)dx= f (t) (t)dt t i(X). 为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t= 1( x )存 在的条件，给出下面的定理。 定理2设x= (t)是单调，可导的函数，并且(t)0.又设f (t) (t) (t)dt=F(t)+C=F1 (x)+C 具有原函数F( t),则 f(x)dx= f (t) 其中 1 (x)是x= (

5、t )的反函数 常用积分公式 1基本积分公式 (1) kdx=kx+C(k 是常数)； (3) dx . =ln x x +c； (5) dx =arcs in x+C; (6) 1 _x7 (7) sin xdx=-cosx+C ; (8) (9) dx = 2 sin x csc2 xdx=-cotx+C;(10) (11) cscxcotxdx=-cscx+C; (12) (13) axdx= e x+C; (14) (15) chxdx=shx+C. (16) xu 1 (2) xudx=- +C(u -1); u 1 dx (4)=arcta nx+C; 1 x cosxdx=s i

6、n x+C; d： =sec2 xdx=ta nx+C; cos x secxta nxdx二secx+C; exdx= e x+C; shxdx二chx+C; tan xdx=-In cosx +C; (19)cscxdx=ln cscx cotx +C;(20) dx 22 a x =l|nl a| a x +C; (21) 一dx一=arcsin -+C; .a2 x2a (22) dx =ln(x+ 2 a +C; (23)=rln x 孑r|+c. 珀x a 2.凑微分基本类型 四.解不定积分的基本方法 四.求不定积分的方法及技巧小汇总 1利用基本公式。(这就不多说了) 2第一类换元

7、法。(凑微分) 设f(卩)具有原函数F(卩)。贝U 其中(x)可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一 步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝 试，或许从中可以得到某种启迪。如例 1、例2: 【解】(ln(x 1) lnx) 1 x(x 1) ln( x 1) ln x , dx x(x 1) (ln(x 1) ln x)d(ln(x 1) lnx) 1 (ln(x 1) ln x)2 C 例 2: 2 1 ln x 2dx (xl nx) 【解】(xlnx) 1 ln x 3第二类换元法： (t)是单调、可

8、导的函数，并且 (t)0又设f (t) (t)具有原函数，则有换元公 式 第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有 以下几种： 4分部积分法. 公式: 例1: ln( x 1) ln x , dx x(x 1) 具体选取、 时，通常基于以下两点考虑: （1）降低多项式部分的系数 （2）简化被积函数的类型 举两个例子吧！ 例3： 3 x arccosx. dx 1 x2 【解】观察被积函数，选取变换t arccosx,则 例4： arcs in2 xdx 1 x2 arcs in xdx 【解】22 arcs in xdx xsin x 上面的例3,降低了多项

9、式系数；例4,简化了被积函数的类型 有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。 在 dd中，、的选取有下面简单的规律： 有理函数鵲先化为多项式和真分式 需之和，再把孟分解为若干个部分分式 之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现 In 2 厂时，记得用递推公式： （a x ） 将以上规律化成一个图就是: / 1-： l/As；、 但是（当arcsxxarcpmx时，是无法求解的。入 V 对于（3）情况，有两个通用公式： 5几种特殊类型函数的积分 （1）有理函数的积分 x2n 3) T22、n 1 1 n 1)_ 2a (n 1)(x a ) 2a (n 1) 例5： 64 x x

10、4x2 2dx 3/ x (x 2 1)2 解 64 x x 4x2 64 2x x 4x22 x4x2 2 x (x 1)2 3/2八 2 x (x 1) x3(x2 1)2 x2 1x3(x2 1)2 故不定积分求得。 （2）三角函数有理式的积分 sin x x 2ta n 2 万能公式: ta n2? 2 cosx tan2- 2 P(sinx,cosx)dx可用变换t tan化为有理函数 的积分，但由于计算较烦，应尽量避免 Q(sin x,cosx)2 对于只含有tanx (或cotx)的分式，必化成 沁或叱。再用待定系数 cosx sinx A(a cosx bsinx) B(a cosx bsinx) acosx bsinx (3) 简单无理函数的积分 来做。 般用第二类换元法中的那些变换形式 像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现 .X和1 x时，可令x tan2t ；同时出现 x和.1 x时，可令x s