专题25 以分段函数为载体的应用题(解析版)

1、专题25以分段函数为载体的应用题以分段函数为载体的应用题是应用题中一种重要的题型，可以更多的考查多个函数，由于参数的范围不同得到的函数的解析式不同，但要注意无论分成几段，都是一个函数，因此，解决分段函数要根据范围不同都要进行讨论，然后比较大小，得出最后的答案。一、例题选讲例1、（江苏省泰州中学、江都中学、宜兴中学2020届高三10月月考数学试题）某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本c(x)万元，当年产量小于7万件时，c(x)=13x2+2x（万元）：当年产量不小于7万件时，c(x)=6x+lnx+e

2、3x-17（万元）.己知每件产品售价为6元，若该同学生产的产品当年全部-3x+42-2,0x0)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)x1(1)求函数q(x)的表达式；(2)当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值ab2060，规范解答(1)当20x180时，由得9035x，x1，12600x20，故q(x)20180.(2)设总利润f(x)xq(x)，(4分)当0x20时，f(x)126000，f(x)在(0,20上单调递增，由(1)得f(x)(6分)126000x126000x1x1所以当x20时，f(x)有最大值120000.(8分)

3、当20x180时，f(x)9000x3005xx，f(x)90004505x，令f(x)0，得x80.(10分)当20x0，f(x)单调递增，当80x180时，f(x)180时，f(x)0答：当x为80时，总利润取得最大值240000元(14分)易错警示本题易错在忽视了题目中所给单位“百台”导致14分全部扣完应用题的数据上要注意两个方面：一题目所给单位是什么？如百台，千件；二是数据的值比较大，计算要谨慎，而这两类问题多出自函数应用题变式2：（2016常州期末）几名大学毕业生合作开3d打印店，生产并销售某种3d产品已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元该店的月总成本由两

4、部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20000元假设该产品的月销售量t(x)(件)与销售价格x(元/件)(xn*)之间满足如下关系：当34x60时，t(x)a(x5)210050；当60x76时，t(x)100x7600.设该店月利润为m(元)(月利润月销售总额月总成本)，求：(1)m关于销售价格x的函数关系式；(2)该打印店月利润m的最大值及此时产品的销售价格规范解答(1)当x60时，t(60)1600，代入t(x)a(x5)210050，解得a2.(2分)所以m(x)(2x220x10000)(x34)20000，34x60，xn*，(100x7600)(x34

5、)20000，60x76，xn*.2x348x210680x360000，34x60，xn*，即m(x)(4分)100x211000x278400，60x76，xn*.(注：写到上一步，不扣分)u(2)设g(u)(2u220u10000)(u34)20000，34u60，r，则g(u)6(u216u1780)令g(u)0，解得u182461(舍去)，u282461(50,51)(7分)当34u0，g(u)单调递增；当51u60时，g(u)0)，所以s=将点c(1,1)代入，得2p=1，即曲线段bc的方程为y=x(0x1).又由点c(1,1),d(2,3)得线段cd的方程为y=2x-1(1x2)

6、.而ga=2-x，x(2-x),0x1,(2x-1)(2-x),1x2.（2）当00，所以s递增；3当x(2,1)时，s0，所以s递减，所以当x=323时，smax=469；当1x，所以当x=米时，s8948变式2、如图，某新建小区有一片边长为1(单位：百米)的正方形剩余地块abcd，中间部分mnk是一片(x)的图象，另外的边缘是平行于正方形两边的直线池塘，池塘的边缘曲线段mn为函数y=2129x33l段为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路（宽度不计），直路l与曲线段mn相切（切点记为p），并把该地块分为两部分记点p到边ad距离为t，f(t)表示该地块在直路l左下部分的面积（1）求f(t

7、)的解析式；（2）求面积s=f(t)的最大值解析（1）因为y=29x，所以y=-29x2，由于点p到边ad距离为t，所以点p的坐标为(t,29t)，所以过点p的切线方程为y-2224=-(x-t)，即y=-x+，9t9t29t29t令x=0，得y=49t，令y=0，得x=2t.所以切线与x轴交点e(2t,0)，切线与y轴交点f(0,49t).4114449tt,144t-24t-11249t2329t9t29t2t,1449tt,2t-t2,t,439所以f(t)=(+2t)1=2t-t2，综上所求函数f(t)的解析式f(t)=,t,99,1,当1,即1,即t时,切线左下方的区域为一直角梯形,

8、39123391414t-9t2944122424t-1129t223，(2)由（1）得，当1t3499444时,f(t)=2t-t2=-(t-)2+，944999t时,f(t)=当12234t-11144=-(-2)2+，9t29t99所以所求面积s的最大值为smax4=9思路分析(1)先求出ad12千米，用时间列出一个含绝对值的不等式，解出v的范围；利用pqaqap，求出f(t)pq2关于时间t的四个时间段的表达式解得v.(4分)f(t)(6t)2(vt)226tvtcosdabv25v36t2.因为v2v360，所以当tv时，f(t)取最大值，55所以v25v36v225，解得v.(9分

9、)f(t)(vt16t)29(v6)2t12例3、(2016南京三模）如图，某森林公园有一直角梯形区域abcd，其四条边均为道路，adbc，adc90，ab5千米，bc8千米，cd3千米现甲、乙两管理员同时从a地出发匀速前往d地，甲的路线是ad，速度为6千米/小时，乙的路线是abcd，速度为v千米/小时(1)若甲、乙两管理员到达d的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；(2)已知对讲机有效通话的最大距离是5千米若乙先到达d，且乙从a到d的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围路程速度(2)解法3中用向量(即物理中的“位移”)更易显示pq的长度利用函数f(t)在四

10、个时间段上的单调性，求出f(t)max，解不等式f(t)max25.规范解答(1)由题意，可得ad12千米12161由题可知6v4，(2分)646497(2)解法1设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)16由于乙先到达d地，故v2，即v8.(6分)5当0vt5，即0tv时，4848548154513当5vt13，即vtv时，v69.所以(v6)2vv62925，解得v.(13分)8因为126t0,16vt0，所以f(t)在v，v上递减，即当tv时，f(t)取最大值，12613216v13225，解得39v39.综上所述，8v.(16分)当0vt5时，f(t)5vt6t25vt2.由于5

11、vt6t25vt225，所以5v625v22对任意0tv都成立，所以5v625v2v2，解得v.(9分)1513因为v8，所以v6v，(v6)20，所以当tv时，f(t)取最大值，131393941316当13vt16，即vtv时，f(t)(126t)2(16vt)2，131613vv84394解法2设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)16由于乙先到达d地，故v2，即v8.(6分)以a点为原点，ad为x轴建立直角坐标系，434343255t43154当5vt13时，f(t)(vt16t)232.513由于(vt16t)23225，所以4vt16t4对任意vtv都成立，v65，即tt3

12、v6513对任意vtv都成立，v65v，所以解得v.(13分)13v13v6，393984综上所述，8v.(16分)1316当13vt16，即vtv，此时f(t)(126t)2(16vt)2.3978439由及知8v4，于是0126t12v12784，又因为016vt3，所以f(t)(126t)2(16vt)2423225恒成立394设从a出发经过t小时，甲、乙两管理员的位置分别为p，q，则ap(6t,0)当0tv时，aq5vt，5vt；当vtv时，aq4vtv，3(vt1,3)；当vtv时，aq12，3vtv(12,16vt)；当vt2时，aq(12,0)记f(t)pq2(aqap)2，16

13、解法3首先，由乙先到达d，得v8.(6分)543513513161316因为v8，所以在相应的t的范围内，v2v36，(v6)t1,16vt,126t均为正数，可知f(t)在0，v和v，v上递增，在v，v和v，2上递减即f(t)在0，v上递增，在v，2上递减，所以f(t)maxfv.令fv25，得14，解得8v.则f(t)48555131316161313131313(v6)39v4式f(x)31x酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚规定为驾驶员血液中酒精含量不得，x1.二、达标训练.1、某驾驶员喝了1000ml某种酒后，血液中的酒精含量f(x)(mg/ml)随时间x(h)变化的规律近似满足表

14、达05x2，x1，53超过0.02mg/ml，据此可知，此驾驶员至少要过h后才能开车(精确到1h)答案4解析当0x1时，5x2，此时不宜开车；由0.02，得x4.51131x25532、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）将一铁块高温熔化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮(如图)，并沿虚线l1，l2裁剪成a，b，c三个矩形(b，c全等)，用来制成一个柱体现有两种方案：方案：以l1为母线，将a作为圆柱的侧面展开图，并从b，c中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案：以l1为侧棱，将a作为正四棱柱的侧面展开图，并从b，c中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或

15、l2垂直)作为正四棱柱的两个底面(1)设b，c都是正方形，且其内切圆恰为按方案制成的圆柱的底面，求底面半径；(2)设l1的长为xdm，则当x为多少时，能使按方案制成的正四棱柱的体积最大？2（1）规范解答(1)设所得圆柱的底面半径为rdm，则(2r2r)4r100，(4分)52（1）解得r.(6分)(2)设所得正四棱柱的底面边长为adm，ax，a4a，即100ax.x则a2，2x20(9分)解法1所得正四棱柱的体积x，3va2x4x400，0210，(11分)x，3记函数p(x)4x400，0210.则p(x)在(0，210上单调递增，在(210，)上单调递减，所以当x210时，p(x)max2

16、010.所以当x210，a10时，vmax2010dm3.(14分)解法22ax，从而a10.(11分)所得正四棱柱的体积va2xa2a20a2010.2（1）1110x5xa浓度g(x)228(x6)则当0x4时，由44，解得x0，所以此时0x4.(3分)14x14x20a20所以当a10，x210时，vmax2010dm3.(14分)52（1）答：(1)圆柱的底面半径为dm；(2)当x为210时，能使按方案制成的正四棱柱的体积最大(16分)解后反思这道题跳出了应用题的常规模式，它的目标函数是双变量函数，如何求它的最值，这里采用的是放缩兼消元的方法，这种方法不常见，解法1是消去a保留x，解法

17、2是消去x保留a.3、（2016苏中三市、宿迁调研）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：mg/m3)随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为161，0x4，y8x251x，4x10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4mg/m3时，它才能起到净化空气的作用(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1a4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到0.

18、1，参考数据：2取1.4)规范解答(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，644，0x4，所以浓度f(x)4y8x202x，4x10.648x当4x10时，由202x4，解得x8，所以此时4x8.综上，得0x8.故一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天.(7分)(2)设从第一次喷洒起，经x(6x10)天1616a16aa(14x)a4.(10分)因为14x4,8，而1a4，所以4a4,8，故当且仅当14x4a时，y有最小值为8aa4.令8aa44，解得24162a4，所以a的最小值为241621.6.(14分)4、（2014徐州、宿迁三检）根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件

19、，每日产品废品率p15-x,1x9,xn*,x20,xn*(日产品废品率=2与日产量x(件)之间近似地满足关系式p=x2+6054010日废品量日产量,1x9,xn*,15-x,1x9,15-x又x是整数，f(8)=64当10x20时，f(x)=-=0，所以函数f(x)在10,20上单调减，100)已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元（该车间的日利润y=日正品赢利额-日废品亏损额）（1）将该车间日利润y(千元)表示为日产量x(件)的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？24x-2x2规范解答（1）由题意可知y=2x(1-p)-px=（4分

20、）105x-x3,x20,xn*.318024x-2x2（2）考虑函数f(x)=105x-x3,x20,31801当x9时，f(x)=2-90，令f(x)=0，得x=15-35(15-x)2当1x0，函数f(x)在1,15-35)上单调增；当15-35x9时，f(x)，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大97答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是1009千元（14分）在弓形emf内)，eof.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片abcd(不计损耗)，adef，且点a，5、（2014南通期末）如图，一块弓形薄铁片emf，点m为ef的中点，其所在圆o的半径为4dm(圆心o23d在ef上，设aod2.(1)求矩形铁片abcd的面积s关于的函数关系式；(2)当裁出的矩形铁片abcd面积最大时，求cos的值当0时(如图1)，ab4cos2，ad24sin，当时(如图2)，ab24cos，ad24sin，故sab